Giải Toán 10: Bài 3. Công thức lượng giác
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÔNG THỨC CỘNG sin(a + P) = sinacosp + sinpcosa sin(a - P) = sinacosp - sinpcosa cos(ct + p) - cosacosp - sinasinp cos(a - P) = cosacosp. + sinasinp tg(a + p) = ; a, p, a + p * + kn 1 -tgatgP 2 tg(a - p) = -tga - ; a, p, a - p * + kn 1 + tgatgP 2 2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin2a = 2sinacosa cos2 a - sin2 a cos2a - tg2a = 2 cos2 a - 1 1 - 2 sin2 a -—, a * — + kn, a * — + krc 1 - tg2a 2 4 3. CÔNG THỨC HẠ BẬC 1 + cos 2a C0S“a - sin2a - 1 - cos2a tg2a = l-cos2a 7T “——7- ; a * - + krc l + cos2a 2 CÔNG THỨC TÍNH THEO t = tg “ sina = cosa = 1 + t2 1-t2 1 + t2 2t 2t n tga = Ị—7 , a * — + kĩt CÔNG THỨC BIẾN Đổl TÍCH THÀNH TổNG cosacosp = •Ệ-[cos(a - p) + cos(a + P)] sinasinp = — [cos(a - P) - cos(a + P)1 sinacosp = — [sin(a - P) + sin(a + P)] CÔNG THỨC BIẾN Đổl TổNG THÀNH TÍCH a+p a - p cosơ + cosp = 2cos—-—.COS—-— BÀI 1 a + p . a - p cosa - cosp = -2sin—-— .sin—-— Á Á Ci. + p a - p since + sinp = 2sin—-— .COS——— La La a + p . a - p since - sinp = 2cos—-— .sin——— La La B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Tính: a) cos225°, sin240°, cot(-15°), tan75°; 13k b) sin^; C0S[-Ị^]; tan 12 Giải a) cos225° - cos(180° + 45°) = . 4 sin240° = sin(180° + 60°) = cot(-15°) = cot(30° - 45°) = -2-73 tan75° = tan(45° + 30°) = 1 + 73 tan(30° -45°) ” 1-73 1 + 73 = 2 + 73 . 73 + 1 = 2-73- BÀI 2 Tính: I 7t 1 . 1 „ 71 cos I a + ~ I, biết since = ựg và 0 < a < — . tan ^ce - —■ j, biết cosce = -— và^<ce<7t. cos(a + b), sin(a - b), biết _ 2 since = 7,0° < a < 90° và sinb = 7, 90° < b < 180°. 3 a) cosa = co s a + — 3 Giải 2l 3 y b) 7 1 + tan2a = tana < 0, 1 cos2 a tana = -272 _ f 71 3 1 + 272 9 + 472 tan a - — 1 - —:—-— - — z=> belli u - — 7= — — I 4y 272-1 7 c) 0° cosa > 0, 90° cosb < 0. cosa= 7~n = 7 c°sb = ’T"! cos(a + b) = cosacosb - sinasinb = sin(a - b) = sinacosb - cosasinb = = -7| 3 375 + 8 15 f— 6 + 475 15 Chứng minh các đẳng thức: cos(a-b) cota.cotb + 1 ) — cos(a + b) cota.cotb-1 sin(a + b).sin(a - b) = sin2a - sin2b = cos2b - cos2a cos(a + b).cos(a - b) = cos2a - sin2b = cos2b - sin2a Giải . cos(a-b) cos a cos b + sin a sin b -~ = ————+——; Ị—— cos(a + b) cosa cos b - sin a sin b cotacotb + 1 Chia cá tử và mẫu cho sinasinb ta được —-——-— 7 . cot a cot b - 1 sin(a + b)sin(a - b) - (sinacosb + cosasinb)(sinacosb - cosasinb) = sin2acos2b - cos2asin2b = sin2a(l - sin2b) - sin2b(l - sin2a) = sin2a - sin2asin2b - sin2b + sin2asin2b = sin2a - sin2b = (1 - cos2a) - (1 - cos2b) = cos2b - cos2a. c) Tương tự câu b). BÀI 5 Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết: ’ „ . 3ĩt since = -0,6 và 71 < a < —. Tính since và cosce. - < a < 71 Ta có: Giải sina > 0, cosa < 0. sin2cc + cos2a = 1 sin2oe = 2sinacosce = _ 4 9 2 => (sinoe + cosa)2 = — => since + cosa = 9 2 , , 3 a) Trường hợp since + cosa = — ta có hệ: 3 sin a + cos a = — sin a .cosa = -- 18 2 5 — X 3_2 2-ỰĨ4 3 Suy ra since và cosGe là nghiệm của phương trình X2 - -T X - lo _ . „ „ , . 2 + VĨ4 Vì since > 0, cosce < 0 nên since = — , cosoe = Trường hợp since + COSŨC = --T ta có hệ: O sin a + cos a = - -T 3 . 5 sin a cos a = - — 18 Suy ra sina và cosa là nghiệm của phương trình: = 0. 2 . X2 + 77 X - —7 ™ n ___ n _a_ ....... V14 - 2 2 + Vl4 Vì sina > 0, cosa < 0 nên sina - -—- , cosa = 7 ““ 2 2 + ^4 ““ 2-714 6 Dap so: since = , cosa = 3 18 „• _VĨ4-2 _ Vw+2 sinoc = - , cosa = —— BÀI 7 Biến đổi thành tích các biểu thức sau; 1 - sinx b) 1 + sinx 1 + 2cosx d) 1 - 2sinx Giải , , . „;„2 X , „ 2 X O- x_x f . X _xỴ 1 - sinx - sin 77 + COS 77-2 sin -9 COS -7- = sin —' - COS 77 2 "2 2 2 l 2 2) J 71 X 1 = 2cosTĨ+IJ- Có thể biến đối theo cách khác như sau: 71 1 - sinx = sin — - siruc = 2cos 4U r 71 's ( n + X - _ _ X 9 2 sin 2 2 I I / <4 21 2 <4 21 f . X X V - 2 f 7Ĩ X 'l b) 1 + simr = I sin 1 +COS I I =2 COS 4 2] Tương tự, ta cũng có thế biến đối 1 - sim- = sin — + sinx = 2sin f 71 1 - X 2 COS 2 1 + X + X z 1 t 1 1 7T í 71 X ' 1 + 2cosx = 2 7 + cos X = 2 cos 77 + COS X = 4 cos 77 + 77 l2 J I 3 J \6 2, 1 - 2sinx = 2^-j-sinxj = 2^sin|-sinx^| = 4cos[j| + |] cos sin 7-7- 71 X 6 - 2 71 X 12 ” 2 BÀI 8 Hút gọn biêu thức A = sin X + sin 3x + sin 5x cos X + cos 3x + cos 5x (sin X + sin 5x) + sin 3x (cos X + cos 5x) + cos 3x Giải 2 sin 3x cos 2x + sin 3x 2 cos 3x cos 2x + COS 3x sin 3x , _ „ — = tan 3x cos3x