Giải Toán 10: Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung

trong đó 	 k
x = _ Znixi (đôi với bảng phân phôi rời rạc), n 1=1
—	1 V ()
hoặc x = _ ZnJxi V (đôi với bảng phân phối ghép lớp), n i=i
Ta gọi căn bậc hai của phương sai S2 là độ lệch chuẩn của các số liệu thông kê (hay của bảng phân phôi thực nghiệm), kí hiệu sx. Bởi vậy, theo định lí ỏ' trên ta có:
X = --(8.15 + 18.25 + 24.35 + 10.45) = 31 60
=>	(x)2 = (31)2 = 961
§2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
gọi là tang của a và kí
ĐỊNH NGHĨA
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ Tung độ y - OK của điểm M gọi là sin của a và kí hiệu là sina.
sina - ÕK
Hoành độ X - OH của điếm M gọi là cosin của a và kí hiệu là cosa.
Nếu cosa 0, tỉ số
sin a
cog a
cosa = OH
hiệu là tana (người ta con dùng kí hiệu tga)
sin a
tana - 	
cos a
Nếu sina 0, tỉ số	gọi là cotang cúa a và kí hiệu là cota (người
sin a
ta còn dùng kí hiệu cotga).
co sa
cota = —:	
	sin a
Các giá trị sina, cosa, tana, cota được gọi là các giá trị lượng giác của cung a.
Ta cuõg goi truit tung ì&cẳrục sin, còn trục hoành là trục cosin.
HỆ QUẢ
sina và cosu xác định với mọi a e R. Hơn nữa, ta cé:
sin(a + k27t) = sina, Vk e Z; cos(a + k2jr) = cosa, Vk e z.
Vì -1 < OK < 1; -1 < OH < 1 (h.48) nên ta có:
-1 < sina < 1 -1 < cosa < 1
a ^ — + krt, k e z
a * kn, k e z
/e7T
a * ——, k e z
£j
1 + tan2cx =
cos" a
1 + cot2a = -7^-—, sin a
tana.cota = 1,
sin2a + cos2a = 1 1
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
a
0
71
6
7t
4
71
3
71
2
sina
0
1
2
72
2
73
2
1
cosa
1
73
2
72
2
1
2 -
0
tana
0
1
73
1
73
Không xác định
cota
Không xác định
73
1
1
73
0
4. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cơ BẢN
Đô'i với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1) Cung đối nhau: a và -a
cos(-a) = cosa sin(-a) = -sina tan(-a) = -tana cot(-a) = -cota.
2) Cung bù nhau: a và n - a.
sin(7T - a) = sina cos(7t - a) - -cosa tan(n - a) = -tana cot(7i - a) = -cota.
Cung liơn kém 7ĩ: a và (a + ĩĩ)
sin(a + 7i) = -sina cos(a + 7t) = -cosa tan(a + 7t) = tana cot(a + 7t) - cota
4) Cung phụ nhau: a và
71
77 - a 2
BÀI 1
Giải
4
b) Không, vì — > 1 d) Không, vì -7“ > 1
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Có, vì -1 < -0,7 < 1
Không, vì -72 < -1
BÀI 2
Các đẳng thức sau có thế đồng thời xảy ra không?
sinoc = 0,7 và cosa = 0,3.
Giải
f 4'
1 ? 3Ì
l 5;
I 5j
Không, vì không thoa mãn hằng đẳng thức sin2a + cos2a = 1.
Không.
BÀI 3
b) cosl-a d) cotfa + 2
Cho 0 < a < — . Xác định dầu của các giá trị lượng giác: 2	'	f 3ĩĩ
a) sin(ct - 7ĩ)
tanía + 71)
Giải
Với 0 < a < 7 thì
sin(a - 7i) < 0 vì điểm cuối của cung a - 71 thuộc cung phần tư thứ III trên đường tròn lượng giác.
cosl ~ - a < 0 vì điếm cuối của cung 17-- ce thuộc cung phần tư
thứ III. 2	;	2
tan(a + tc) > 0.
cot^a + 2 j <0.
BÀI 4
Tính các giá trị lượng giác của góc a, nếu
.4	71	zx „ X	3tt
cosa = — và 0 < a < — b) sinoe - -0,7 và 7C < a < — 1 o	z
15	, 7t	3ĩt
c) tana = - — và — < a < lĩ d) cota = -3 và — < a < 271
Giải
,	7T
a) Nếu 0 0.
- 9	,	9	,	16	153
rư hệ thức: sin-a = 1 - cos^a = 1 - —— = ——
169	169
. 3TĨ7	sin a 3ựĨ7
la suy ra: sina = - --n , tana = — = ——— , cota
371
13
cos a
3a/Ĩ7 .
Nếu 7t < oe < -V- thì cosa < 0. Ta có:
cos2a = 1 - 0,49 = 0,51 => cosa a -0,71 (làm tròn) tana a 0,99, cota a 1,01
, 7C
Nếu — 0, cosce < 0.
2	1	49	_	7
- —V - 777-7 => cosa = , 
1 + tg a 274	V274
15	7
, _ . , cota = - —
7274	15
371	7
 since 0.
2. 9 1 1
sin2ce = 	7—— - ~ => since =
1 + cotg ce 10
_	JL °
cosa = —Ị==, tance = - —
7ĨÕ	3
cos2a =
smoe =
BÀI 5
Tính ce, biết:
a) cosce = 1
b) cosce = -1
c) cosce = 0
d) sinoe = 1
e) since = -1
f) sinoe = 0
Giải
a) a = k27t, k e Z;
b) ce = (2k + 1)71, k G z
c) a =	+ kn, k G Z;
71
a =	+ k27T, k e z
Zj
a = — + k2x, k G z
Zd
a = krc, k G z.
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Tính:
sin210° + sin220° + sin230° + ... + sin280° (8 số hạng);
coslO0 + cos20° + cos30° + ... + cosl80° (18 số hạng);
cos315° + sin330° + sin250° - cosl60°.
BÀI 2
Biết tgl5° = 2 - V3, hãy tính các giá trị lượng giác của góc có số đo 75°.
BÀI 3
Hãy tính các giá trị lượng giác của góc a trong mỗi trường hợp sau: 4	'	8	' 71
since = — và cosct <0	b) cosa =	và — <a<7i
“	3"	17	2
c) tga = 73 và 71 < a < —
BÀI 4
Chứng minh:
1-2 sin a cos a 1 - tga	, ,
	2	_• 2 .. -	(khi các biêu thức đó có nghĩa);
cos ct - sin a 1 + tga
tg2a - sin2a - tg2asin2a;
2(1 - sina)(l + cosa) = (1 - sina + cosa)2.
BÀI 5
Với số Ơ-, 0 < a < 2 , xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi số 2ct rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm o cửa đường tròn).
Tính AM2 bằng hai cách khác nhau để suy ra cos2oc = 1 - 2sin2a.
COS = 4 Ư2 + 72 rồi tính các 8 2
Tính diện tích của tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra sin2ct = 2sinctcosa.
Chứng minh rằng: sin — = — V2 - 72 , 8 2
. Z ■> X Z 371	Õ7t
giá trị lượng giác cúa các góc: — và ——.
8