Giải Toán 10: Bài 5. Dấu của tam thức bậc hai
§5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ TAM THỨC BẬC HAI Tam thức bậc hai đôi với X là biểu thức dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a / 0. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Định lí Cho f(x) = ax2 + bx + c (a 0), A = b2 - 4ac. Nếu A < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi X 6 R. Nếu A - 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi X = 2 • Nếu A > 0 thì f(x) cùng dâu với hệ sô a khi X x2, trái dấu với hệ số a khi Xj < X < x2, trong đó Xp x9 (Xj < x9) la hai nghiệm của f(x). Chú ý: Trong định lí trên, có thể thay biệt thức A = b2 - 4ac bằng biệt thức thu gọn A’ = (b’)2 - ac. Minh họa hình học Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau: \ < 0 A = 0 A > 0 a > 0 y +\ /+ y y / /+ +\ /+ + \ / + + + +\ + /+ V x7+ 0 X 0 X 2 a 0 X BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT Ẩn Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c > 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a / 0, X là ẩn số. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c 0). B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Xét dấu các tam thức bậc hai: 5x2 - 3x + 1 b) -2x2 + 3x + 5 X2 + 12x + 36 d) (2x - 3)(x + 5) Giải 5x2 - 3x + 1 > 0 Vx vì A = 9 - 20 0 5 -2x2 + 3x + 5 > 0 khi -1 < X < , 2 5 -2x2 + 3x + 5 -V X2 + 12x + 36 = (x + 6)2 > 0 Vx (cũng có thế giải thích vì A’ = 62 - 36 = 0 và a = 1 > 0). (2x - 3)(x + 5) < 0 khi -5 < x < — 2 3 (2x - 3)(x + 5) > 0 khi X -y BÀI 2 Lập bảng xét dâu các biếu thức sau: fix) = (3x2 - lOx + 3)(4x - 5) fix) = (3x2 - 4x)(2x2 - X - 1) f(x) = (4x2 - l)(-8x2 + X - 3)(2x + 9) d) f(x) = (3x2 - x)(3 - X2) 4x2 + X - 3 Giải a) fix) = (3x2 - lOx + 3)(4x - 5) x 1 3 5 4 3 + OC 3x - lOx + 3 + 0 - - 0 + 4x - 5 - - 0 + + fix) - 0 + 0 - 0 + b) fix) = (3x2 - 4x)(2x2 - X - 1) X “00 1 2 0 1 4 3 4~ GC 3x2 - 4x + + 0 - - 0 + 2x2 - X - 1 + 0 - - 0 .+ + f(x) + 0 - 0 + 0 - 0 + c) fix) = (4x2 - l)(-8x2 + X - 3)(2x + 9) X -oc --ỉ- -ỉ. + 00 kj Is 4x2 - 1 + + ) - 0 + -8x2 + X - 3 - - - - 2x + 9 0 + + + fix) + 0 - 0+0 ,> _ (3x2 -x)(3-x“) d) f(x) = - A„2 " o 4x + X - 3 X -V3 -1 0 y ị - ự3 +CO 3x2 - X + + + ) - 0 + + + 3 - X2 - 0 + + + + + 0 - 4x2 + X - 3 + + 0 - - - 0 + + fix) - 0 + - 0 + 0 - + 0 - BÀI 3 Giải các bất phương trình sau: a) 4x2 - X + 1 0 1.3 ' ' 2 < 2 —7 d) X2 - X - 6 < 0 X - 4 3x + X - 4 Giải Tam thức fix) = 4x2 - X + 1 có hệ sô" a = 4 > 0. biệt thức A = l2 - 4.4 0 X/x G R Bất phương trình 4x2 - X + 1 < 0 vô nghiệm. fix) = -3x2 + x + 4 = 0 o xx = -1; x2 = — 4 3 -3x2 + X + 4 > 0 -1 < X < -V O (x2 — 4)(3x2 + X-4) 8-2-4 1 C)x2-4 3x2+x-4 Bảng xét dâu X + 8 - 0 + + + + + X2 - 4 + + 0 - - - 0 + 3x2 + X - 4 + + + 0 - 0 + + Vế trái - 0 + - + - + X 2 +OC Tập nghiệm của bât phương trình s = (-co; -8) u (-2; ) u (1; 2) Tập nghiệm s = [-2; 3], BÀI 4 Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm: (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m -6 = 0 Giải a) Với m = 2 phương trình trở thành 2x + 4 = 0 có 1 nghiệm. Loại giá trị m = 2. Phương trình vô nghiệm nếu: m - 2 0 (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 m - 2 0 -m2 + 4m - 3 < 0 ' A’ = (2m-3)2 -(m-2)(5m-6)< 0 m3 Với m = 3, phương trình trở thành: -6x + 5 = 0 có nghiệm. Loại trường hợp m = 3. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: < m < -1 3 À = (m + 3)2 - (3 - m)(m + 2) < 0 c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Giải các bất phương trình: _ X + 5 2x - 1 7 1) „ + > 2 2x-l x + 5 _ ĩ 2 _2x + 3 2) —+ 15 3) X + (x + 1) < — „ X + X + 1 BÀI 2 Giải các bất phương trình: -I \ „2 0 „ o 1) X2 - 2x - 3 < 3x - 3 x-4| > X2 - 7x + 12 3) X2 — 3x + 1 X2 + X + 1 BÀI 3 Tìm m đế các bất phương trình sau có tập nghiệm là R: mx2 - lỌx - 5 < 0 , X2 + mx - 6 - 9 < —■■■-—— < 6 „ x - X + 1 BÀI 4 Cho f(x) = (a + l)x2 - 2(a - l)x = 3a - 3 Tìm các giá trị của a đế: Bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm. Bất phương trình f(x) > 0 có nghiệm. BÀI 5 Giải và biện luận các bất phương trình: (m + l)x2 - 2(m - l)x + 3m - 3 > 0 (m - l)x2 + 2x + m + 1 < 0