Giải Toán 10: Bài 1. Hàm số
CHƯƠNG II: HÀM số BẬC NHAT và bậc hai §1. HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy ước: Tập xác định của hàm sô’ y = f(x) là tập hợp tâ’t cả các sô’ X sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. f(Xj)-f(x2) y = f(x) đồng biến trên (a; b) * _ " > 0 V X,, x9 e (a; b); Xj * x9. X1 x2 £ (x, ) — f(x9 ) y = f(x) nghịch biến trên (a; b) ——- <0 V Xp Xg e (a; b); Xj Xg. X, - x2 Khảo sát sự biến thiên của một hàm sô’ là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó hoặc xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm sô’ trên các khoảng cho trưởc. Kết quả khảo sát có thế được tổng kết vào bảng biến thiên. Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm sô’ chẵn nếu với mọi X e D thì -X e D và f(-x) = f(x). Hàm sô’ y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm sô’ lế nếu với mọi X e D thì -xeDvà f(-x) = -f(x). Đồ thị của hàm sô’ chẵn nhận trục tung làm trục đô’i xứng. Đồ thị của hàm sô' lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA BÀI 1 Tìm tập xác định của các hàm sô' sau: 3x-2 X - ,1 a) y=&7l b) y~x2+2x-3 c) y = Giải Hàm số xác định o2x + H0ox* --T. Từ đây ta suy ra tập xác định của hàm số là D = R \ Hàm số xác định X2 + 2x - 3 * 0 X2 - X + 3x - 3 íí 0 o(x- l)(x + 3)*0 o X i ỉ và X í -3 Vì vậy tập xác định D của hàm số là D - R \ (1; -31 Biểu thức \/2x + 1 - 73 - X có nghĩa 2x + l>0và3-x>0 X > - 2 và X < 3 Do đó D = 1 BÀI 2 -7; 3 2 là tập xác định của hàm số. s' _ íx + l vớix>2 (Jho ham so y = 1 X2 - 2 với X < 2 -1: X = 2. Tính giá trị của hàm số đó tại X = 3; X = Giải Khi X = 3 > 2, nên giá trị của hàm số tại x = 3 1ày = 3 + l = 4. Khi X = -1 < 2, nên giá trị của hàm số tại X = -1 là y = (-1)2 - 2 = -1. Khi X - 2 > 2, nên giá trị của hàm sô' tại X = 2 là y = 2 + 1 = 3. BÀI 3 Cho hàm sô y = 3x2 - 2x + 1, các điểm sau có thuộc đồ thị hàm sô hay không? M(-l; 6) b) N(l; 1) c) p (0; 1) I Giải ' Hướng dẫn: Muôn biết các điểm M, N, p có thuộc đồ thị (C) hay không ta chỉ cần kiểm tra xem tọa độ của các điểm này có nghiệm đúng phương trình của (C) hay không. BÀI 4 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y = |x| b) y = (x + 2)2 y = X3 + X d) y = 2x + 1 ~~~ Giải Hàm số y = |xị có tập xác định D = R vì |x| có nghĩa với mọi X e R. Do đó mọi X e D, ta có -X e D, hơn nữa ta có: f( —1) = |-x| = |x| = f(x) (với f(x) = |x| ) Vì vậy f(x) là hàm số chẵn. Hàm sô' y = (x + 2)2 có tập xác định D - R do đó Vx G D, -X e D. ff(-2) = 0 # 16 = f(2) z z . „z ' z _ Tuy nhiên ta thấy = 0 Ị _16 = _f(2) (với f(x) = (x + 2) ) Vì vậy f(x) không là hàm số chẵn và cũng không phải hàm sô' lẻ. Đặt f(x) = X3 + X Ta có hàm số đã cho có tập xác định là R, vì vậy với Vx e R ta có - X t R và f(-x) = (-x)3 + (—x) = -X3 - X = -(x3 + x) = -f(x), do đó y = f(x) là một hàm số lẻ. Hàm sô' đã cho có tập xác định D = R. Đặt f(x) = 2x + 1, ta có 1 và -1 đều thuộc D tuy nhiên, dễ thây: 3 = f(l) * f(-l) = -1 và 3 = f(l) -f(-l) = 1 Do đó hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chăn và cũng không là hàm số lẻ. BÀI 1 c. BÀI TẬP NÂNG CAO Tìm tập xác định của hàm số y = ự-x2 + 5x - 4 + ựx - 3 Hàm sô' xác định Giải -X2 + 5x - 4 > 0 X - 3 > 0 X2 - 5x + 4 0 f(x-l)(x-4) 3 jx-4 3 o 3 < X < 4 Vậy tập xác định của hàm số: D = [3; 4] BÀI 2 Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) = V-x2 + 3x - 2 + 7-x2 + 5x - 6 Giải -X2 + 3x - 2 > 0 (1) -X2 + 5x - 6 > 0 (2) Hàm số xác định «• Ta có (1) X2 - 3x + 2 (x - l)(x - 2) < 0 x-l0 " " V _ o 1<X<2 [x - 2 > 0 [x - 2 < 0 _ Ta có (2) X2 - 5x + 6 (x - 2)(x - 3) 0 [X - 3 > 0 Jl<x<2 Hàm số xác định o ] 2 < X < 3 Vậy tập xác định D = (2|. 2 < X < 3 BÀI 3 Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm sô sau trên' các khoảng đã cho: y = -3x2 + 6x + 8 trên (-10; -2) và (3; 5) y = — trên (-co; 7) và (7; +co) X - 7 . Giải a) V Xp x2 e R và X1 x2, ta có: f(x,) - f(x2) _ -3x2 + 6xj + 8 - (-3x| + 6x2 + 8) Xo X1_X2 -3(xị - x2) + 6(x, - x2) , X1 - Xj < -2 o < -2 = -3(x1 + x2) + 6 Xj + x2 < -2 - 2 = -4 Trên (-10; -2) ta có => -3(x, + x9) >12 Từ (1), trên khoảng đã cho 1 —— > 18 > 0 và do đó hàm số đồng biến. X, > 3 Trên (3; 5) ta có: => X1 + x2 > 6 => -3(x1 + x2) < -18 Từ (1), trên khoảng đã cho > _ig + g _ _12 < 0 và do đó hàm số nghịch biến. 1 b) V Xj, x2 e (-co; 7); Xp^ x2 ta có: x2 > 3 f(x,) - f(x2) _ ( Xị x2 1 _ X -x2 "lxj-7 x2-7j X,-x2 - (x (Vì trên khoảng đó X1 - 7 < 0 và x2 - 7 < 0) Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên (-oo; 7). * Tương tự V Xp x2 6 (7; +co) ; X1 * x2, ta có: fixj-fixj = -7 < 0 x,-x2 (x,-7).(x2-7) Do đó hàm số đã cho cũng nghịch biến. BÀI 4 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: a) y = x/2x + 9 b) y = -5x2 - 3 |xị +8 -7 (x, -7).(x2-7) <0 (1) c) y = X2 +2 Giải 9. 2’+C0 Dễ thấy rằng tập xác định của hàm số đã cho là D = Tập này không đối xứng qua 0, chẳng hạn 9 e D nhưng -9 Ể Dt Như vậy hàm số không chẵn cũng không lẻ. Tập xác định của hàm sô D = R, đối xứng qua 0. Ngoài ra, f(-x) = -5(-x)2 - 3|-x| + 8 = -5x2 -3 |xị + 8 - f(x). Do đó hàm số đã cho là chẵn. Tập xác định của hàm số D = R \ (0Ị, đối xứng qua 0. Ngoài ra, ta có: f(-x) = (-x)2 +2 X" + 2 = -f(x -X Như vậy hàm số đã cho là lẻ. BÀI 5 , X e (-00; 0) Cho hàm sô y = (x - 3)(x - 2) 72x + 7 , X e [0; 9) Vx2 -12X + 35, xe [10; 200] Tìm tập xác định của hàm số. Tính giá trị của hàm số tại các điểm X = -1; X = 0; X = 10; X = 11. __ a) Tập xác định của hàm số là (-co; 9) u [10; 200] f(0) = 77 ; f(10) = 7l5 ; f(ll) = 276 BÀI 6 Khảo sát sự biến thiên của hàm số sau’ a) y = -X2 + 4x - 8 b) y Giải V Xp x2 e R ta có: , f(x,)-f(x9) —X? + 4x, — 8 + Xọ — 4x9 + 8 A = —i ỉ———í = = -(Xj + x2) + 4 X1 - X2 X1 - X2 Từ đó A > 0 4 > xx + x2. Chia trục sô' thành hai khoảng (-oo; 2) và (2; +co). V Xp x2 G (2; +oo) thì x1 + x2>4=>A hàm số nghịch biến V Xp x2 s (-A>0=> hàm số đồng biến + OC Hàm số có miền xác định là R \ )-3[. Ta chia trục số thành hai khoảng (-co; -3) và (-3; +co). V Xp x2 e (-co; -3), xx x2: f(X;)-f(x2)_ 2 X, - x2 (x, + 3)(x, + 3) (vì trên khoảng đó Xj + 3 < 0 và x2 + 3 < 0). Hàm số nghịch biến. v_y .. „ .7 .. .... f(x1)-f(x2) 2 V X X 6 (-3; +oo), X x : * Jx, + 3)(x, +3) < ° (vì trên khoảng đó Xj + 3 > 0 và x2 ’+ 3 5 0). Ham so cung nghịch biến. Ta có bảng biến thiền: + OC +OC BAI 7 Cho hàm sô: r, , ax' + bx + a fix) = -—7 " , X K +1 x Với giá trị nào cua a và b thì f(x) là một hàm sô chăn trên miến xác định 2) của nó? Với giá trị nào của a và b thì f(x) là một hàm số lé trên miền xác định 2) của nó? Giải Trước hết ta thấy miền xác định của hàm số là 2) = R, do đó với X e 2) thì -X e 10. Nếu a - b = 0 thì fix) là hàm hằng fix) = 0, hàm sô này vừa chẵn, vừa lẻ trên 2). Nếu a và b không đồng thời bằng 0, ta lập f(-x): , ax2 - bx + a . n ' n X ax - bx + a ax + bx + a fl-x) = fix) o 7—7 = 7—- X + 1 X + 1 b = 0, a # 0 Vậy fix) là hàm chẵn khi b = 0, a * 0. ,, c, X „ , . ax2-bx + a _-ax2-bx-a f(-x) = -fix) o -7-7 = -7—-Z a = 0, b * 0 Vậy f(x) là hàm lẻ khi a = 0, b 0. D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau: X2 + 3 , 77—■_ 1 a) y = ——- b) y = Vx - 6x + 8 - -7—- '- x - 4 Vx +1 d) y- c) y BÀI 2 4x2 + X - 3 + x ự2x-l 1-x ựx|x| + 1 Tìm miền xác định của các hàm sô: 2x-l 1) y X2 + X + 4 3) y = \/X + x/x2 - X + 1 BÀI 3 Cho hàm số y = ựlm + l)x - m 1 + x| - |l— x| 1 + x| + |1 -X 4) y ựmx - m + 2 Tìm tất cả các giá trị m đế hàm số xác định với mọi X > 1. BÀI 4 Định a đế hàm số xác định trên [0; 1], V = v2a - X + ựx + 3a - 5 " 3x - a _ 1 y = A?2x + a - 1 3x-a-l BÀI 5 Định a đế các hàm sô' sau xác định trên (1; +oo). y = \/2x + 2a - 1 + ựx + 2a - 5 X — 3a + 2 y = ự3x-2a + l + 2x_a BÀI 6 Cho hàm sô': y = 7-x2 + 8x - 7 + ự-x2 + (2m + l)x - m2 - m với m là tham số. Định m để tập xác định của hàm số chỉ có một phần tử. BÀ I 7 |x-lỊ X + lị |x-l| +1 x + lị y - fix) — ựx2 - X y = Vi + X + 7T Xét tính chăn, lẻ các hàm số: a) y = fix) = (x - l)2000 + (x + l)2000 ựx2 + X y: BÀI 8 Chứng minh các đồ thị các hàm số sau đây có tâm đối xứng. y = f(x) = X3 + 2x + 1 y = fix) = (x - l)(x + 2)2