Giải Toán 10: Bài 1. Mệnh đề

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
§1. MỆNH ĐỀ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
MỆNH ĐỀ
Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai.
MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH
Cho mệnh đề p. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mênh để phủ định của p và kí hiệu là p. Mệnh đề p và mệnh đề phủ định p làJiai câu khắng định trái ngược nhau. Nếu p đúng thì p sai, nếu p sai thì p đúng.
MỆNH ĐỂ KÉO THEO
Cho hai mệnh đề p và Q. Mệnh đề có dạng “Nếu p thì Q” được gọi là mệnli đề kéo theo và kí hiệu là p => Q.
Đôi khi người ta còn nói “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q”.
MỆNH ĐE TƯƠNG ĐƯƠNG
Cho hai mệnh đề p và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là p o Q.
Đôi khi người ta còn phát biếu mệnh đề p Q là “P khi và chỉ khi Q”.
Mệnh đề p o Q đúng nếu cả hai mệnh đề p và Q cùng đúng hoặc cùng sai.
Mệnh đề p Q đúng có nghĩa là cả hai mệnh đề kéo theo p => Q và Q => P đều đúng. r
MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
Xét câu
p(n) = “n chia hết cho 3”.
Đây không phải là một mệnh đề, nhưng với mỗi giá trị của n (thuộc tập số nguyên) ta được một mệnh đề. Chẳng hạn:
p(4) = “4 chia hết cho 3” là một mệnh đề sai; p(6) - “6 chia hết cho 3” là một mệnh đề đúng.
Ta nói p(n) là một mệnli đề chứa biến.
MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH CỦA MỆNH ĐỂ CÓ CHỨA KÍ HIỆU V, 3
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với X e X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Vx e X, P(x)” là
“3x e X, P(x)”
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với X G X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “3x e X,' P(x)” là
“VxeX, P(x)”
ĐỊNH Lí VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ
Trong toán học, địnli lí là những mệnh đề đúng. Thông thường định lí được phát biểu dưới dạng
“ Vx e X, P(x) => Q(x)” '
trong đó P(x) và Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
ĐIỂU KIỆN CẦN. ĐIỀU KIỆN ĐỦ
Cho định lí dạng (1)
“ Vx eX,P(x) => Q(x)”	(1)
Người ta gọi P(x) là giả thiết của định lí còn Q(x) là két luận của định lí.
Ta còn nói:
P(x) là điều kiện đủ đế có Q(x)
hoặc cũng nói:
Q(x) là điều kiện cần đế có P(x)
MỆNH ĐỀ ĐẢO. ĐIỂU KIỆN CẨN VÀ ĐỦ
Mệnh đề
“Vx e X, Q(x) => P(x)”	(2)
gọi là mệnh để'đảo của mệnh đề (1). Tuy nhiên mệnh đề (2) có thế
đúng, có thế sai. Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là một đinh lí đảo. Lúc đó định lí (1) sẽ được gọi là định lí thuận. Định lí thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lí
“Vx 6 X, P(x) o'Q(x)” và khi đó ta còn nói:
P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
Ngoài ra ta còn nói “P(x) nếu và chỉ nếu Q(x)” hoặc “P(x) khi và chỉ khi Q(x)” hoặc “Điều kiện cần và đủ đế có P(x) là có Q(x)”.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Khẳng định nào dưới đây là mệnh đề, mệnh đề chứa biến?
3 + 2 = 7	b) 4 + X = 3
c)x + y>l	d) 2 - 7õ < 0
Giải
3 + 2 = 7 là mệnh đề sai.
Khẳng định 4 + X = 3 không phải là mệnh đề, khẳng định này đúng với X = -1 và khẳng định này sai với X = 2. Khẳng định 4 + X = 3 là mệnh đề chứa biến.
Tương tự như câu b), khẳng định X + y > 1 không phải là mệnh đề. Khẳng định này là mệnh đề chứa biến.
2 - 75 < 0 là mệnh đề đúng.
BÀI 2
Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phú định của nó:
1794 chia hết cho 3	b) 72 là một số hữu tỉ
c) 71 < 3,15	d) |-125| < Ó	
Giải
“1794 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng. Mệnh đề phú định là: “1794 không chia hết cho 3”.
“72 là một số hữu tỉ” là mệnh đề sai. Mệnh đề phủ định là: “72 không phải là một số hữu ti”.
“ĩi 3,15”.
Mệnh đề “|-125| 0”.
BÀI 3
Cho các mệnh đề kéo theo
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
Tam giác cân có hai trung tuyến bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.
Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.
Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”.
Giải
a)
+ Nêu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c. (Mệnh đề sai).
+ Sổ” chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0. (Mệnh đề sai).
+ Tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác là cân. (Mệnh
đề đúng).
+ Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau. (Mệnh đề sai).
b)
+ a và b chia hết cho c là điều kiện đủ đế a + b chia hết cho c.
+ Một số tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để’ số đó chia hết cho 5.
+ Điều kiện đủ đế một tam giác là cân là có hai đường trung tuyến
bằng nhau.
+ Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau.
c)
+ a + b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c.
+ Chia hết cho 5 là điều kiện cần để một số có tận cùng bằng 0.
+ Điều kiện cần đế tam giác là tam giác cần là nó có hai trung tuyến
bằng nhau.
+ Có điện tích bằng nhau là điều kiện cần đế hai tam giác bằng nhau.
BÀI 4
Phát biếu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”.
Một sô có tông các chữ sô chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
Giải
Điều kiện cần và đủ đế một số chia hết cho 9 là tống các chữ số cúa nó chia hết cho 9.
Đế một tứ giác là hình thoi, điều kiện cần và đủ là tứ giác ấy là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau.
Đế phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đú là biệt thức của nó dương.
BÀ ĩ 5 	
Dùng kí hiệu V, 3 để viết các mệnh đề sau:
Mọi sô' nhân với 1 đều bằng chính nó.
Có một số cộng với chính nó bằng 0.
Mọi sô' cộng với số đôi cúa nó đều bằng 0.
Giải
Vx e R: x.l = X
3x e R: X + X = 0
Vx G R: X + (-x) = 0
BÀI 6
Phát biếu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai cua nó.
Vx e R: X2 > 0	b) 3n e N: n2 = n
c) Vn e N: n < 2n	d) 3x G R: X < —
	X	
Giải
“Lũy thừa bậc hai của mọi số thực đều nhận giá trị dương”. Đây là mệnh đề sai. (Cụ thế với X - 0)
“Có ít nhất một số tự nhiên n bằng bình phương của nó”. Đây là mệnh đề đúng, cụ thế với X = 1.
“Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó”. Đây là mệnh đề đúng.
“Có ít nhất một số thực X nhỏ hơn sô nghịch đảo của chính nó”. Đây là mệnh đề đúng, cụ thể với X = 0,5.
BAI 7
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:
Vơ e N: n chia hết cho n	b)	3x e Q: X2 = 2
c) Vx G R: X < X + 1	d)	3x G R: 3x = X2 + 1
Giải
Mệnh đề phủ định: “Tồn tại số tự nhiên n sao cho n không chia hết cho n”. Mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng khi X = 0.
Mệnh đề phủ định: “Vx e Q, X2 * 2”. Đây là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phú định: “3x G R, X > X + 1”. Đây là mệnh đề sai.
Mệnh đề phú định: “Vx e R, 3x ■*- X2 + 1”. Đây là mệnh đề sai, vì phương trình:
3x = X2 + 1 có nghiệm.
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
_ V	•	•
BÀI 1
Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai.
Năm 2003 không có nạn ùn tắc giao thông ở Hà Nội.
Phương trình X2 - 3x + 2 = 0 có nghiệm.
210 - 1 chia hết cho 11.
Có vô số số nguyên tô.
BÀI 2
Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình vuông.
Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”. Phát biểu mệnh đề p Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó
đúng hay sai.
BÀI 3
Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
Tứ giác ABCD đã cho là một hình chữ nhật.
Sô 9801 là số chính phương.
BÀI 4
Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A nếu và chỉ nếu AB2 + AC2 = BC2”. Khi viết mệnh đề này dưới dạng p Q, hãy nêu mệnh đề p và mệnh đề Q.
BÀI 5
Phát biếu phủ định của các-^mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của chúng:
Phương trình x2 + X + -- - 0 có nghiệm.
73 >1,73	c) “
,	, v ,	1 ~ A, 1	' V
Hai đường chéo của hình chữ nhật băng nhau.
BÀI 7
Phát biểu các mệnh đề sau, sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”:
lại.
Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược
Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó là tam giác cân và có một góc bằng 60°.
Hình thoi là một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.
BÀI 8
Nếu n là một số nguyên lẻ 'thì 3n + 1 là một sô nguyên chăn.
Tổng hai số nguyên lế là một số nguyên chẵn.
BÀI 9
Xét các mệnh đề chứa biên p(x) = “3 + X = 0” q(n) = “n < 0”
Phát biểu các mệnh đề Vx 6 R : p(x) ; 3x e R : p(x) ; Vn e N : q(n) ; 3n 6 N : q(n) và xét tính đúng, sai của các mệnh đề đó.
BÀI 10
Dùng kí hiệu V, 3 đê viết các mệnh đề
Mọi sô nhân với 1 đều bằng chính nó.
Có một số cộng với chính nó bằng 0.
Mọi sô cộng với sô đối của nó đều bằng 0.
BÀI li
Phát biêu thành lời các mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của chúng: a) Vx e R : X2 > 0	b)3n 6 N:n2 = n
Vn 6 N : n < 2n	d) 3x e R : X < Ã
BÀI 12	x
Lập mệnh đề phú định của các mệnh đề sau và xét tính đúng, sai
cúa chúng:
a) Vn e N : n chia hết cho n	b) 3x e Q : X2 = 2
X/x 6 R : X < X + 1	d) 3x e R : 3x = X2 + 1
BÀI 13
Chứng minh các định lí sau bằng phản chứng:
73 là một sô vô tỉ.
Nếu n2 không chia hết cho 3 thì n cũng không chia hết cho 3.
Một tam giác không phải là tam giác đều có ít nhất một góc (trong) nhỏ hơn 60°.