Giải Toán 10: Bài 3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

§3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT NHIỀU Ẩn
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tông quát là ax + by = c	(1)
trong đó X và y là hai ẩn; a, b, c là các số thực đã cho, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
Chú ý:
Khi a = b = 0 ta có phương trình Ox + Oy = c. Nếu c 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0; y0) đều là nghiệm.
Khi b y: 0, ax + by = c tương đương với
° ’x,t	XL íx„„
Cặp sô (x0; y0) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x0; ỳg) thuộc đường thẳng (2).
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhát hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn liìnli học tập nghiệm của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI AN
Hệ hai phượng trình bậc nhát hai ấn có dạng tổng quát là
ajX + bjy = c,
1	,	(3)
a2x + b.2y = c2
trong đó X, y là ẩn; các chữ còn lại là hệ số.
Nếu tồn tại cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) gọi la một nghiệm của hệ phương trình (3).
Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.
HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT BA Ẩn
Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là a,x + bjy + c,z = d,
< a2x + b,y + c2z = d2 a3x + b3ỵ + c3z = d3
trong đó X, y, z là ấn; các chữ còn lại là hệ số
Mỗi bộ ba số (x0; y0; ztì) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Cho hệ phương trình Í7x - 5y = 9 ịl4x - lOy = 10
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
f7x-5y 7x - 5y :
Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm?
Từ đây ta thấy ngay không tồn tại cặp (x; ỳ) nào tn ỏ
9 5
1 mãn hệ phương
trình nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
BÀI 2
Giải các hê phương trình:
3x + 4y = 5
4x - 2y = 2
a)
2x-3y = 1
X + 2y = 3
M-
c) •
2	1	2
— X +	— y = —
3	2	3
1 ..	3..	1
d)
0,3x - 0,2y = 0,5
0,5x + 0,4y = 1,2
X	y —
,3	4	2
Giải
Đáp số
ill. 5>	, , í 9 . 7 ì
a)u;|)	b)(u;nJ
(2; 0,5)
BÀI 3	
Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu?
Giải
Gọi X (đồng) là giá tiền một quả quýt, y (đồng) là giá tiền một quả cam (x > 0, y > 0). Ta có hệ phương trình
10x + 7y = 17800
' 12x + 6y = 18000	x = 80°’ y = 1400
Giá mỗi quả quýt là 800đ, giá mỗi quả cam là 1400đ.
BÀI 4	
Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai dây chuyền thứ nhất tăng năng suât 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyềnmay được 1083 áo. Hỏi trong ngày, thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi? 
Giải
Gọi X là số áo sơ mi dây chuyền thứ nhât may được, y là số áo dây chuyền thứ hai may được trong tháng thứ nhất, điều kiện X, y nguyên dương. Ta có hệ phương trình
ix + y = 930
[1,18x + l,15y = 1083 X = 450, y = 480
BÀI 5
Giải hệ phương trình
X + 3y + 2z = 8
a)
2x + 2y + z = 6 3x + y + z = 6
BÀI 6
b)
X - 3y + 2z = -7 -2x + 4y + 3z = 8 3x + y - z = 5
Giải
Đáp số: a) X = 1, y = 1, z = 2
i i.ịỉ ’5 ’ ĩ
b) x = —> y = —> z =
14	2	7
Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5349000đ. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5600000đ. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5259000đ. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu?
Giải
12x + 21y + 18z = 5349 (ngàn đồng) 16x + 24y + 12z = 5600
Đặt X, y, z theo thứ tự là giá tiền bán một áo sơ mi, một quần âu và một váy nữ. Điều kiện X, y, z > 0. Ta có hệ phương trình:
y = 125
•	í X = 98
24x + 15y + 12z = 5259	^z = 86
Vậy giá tiền một áo là 98 nghìn, một quần âu nam 125 nghìn và một
váy nữ là 86 nghìn đồng.
BAI 7
Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi:
'3x-5y = 6
í-2x + 3y = 5
a)
4x + 7y = -8
5x + 2y = 4
2x - 3y + 4z = -5
—X + 2y — 3z = 2
c) '
-4x + 5y - z = 6	(ị) ■
2x + y + 2z = -3
3x + 4y - 3z = 7
-2x - 3y + z = 5
Giả
i
a) Hướng dẫn câu a)
Nếu sử dụng máy tính CASIO FX-500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím
□ □ 0 0 E10 □ □ □ 0
□ lãi 00
thấy hiện ra trên màn hình X = 0.0487
Ấn tiếp phím □ ta thấy y = -1.1707
Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là íxạò, 05
ly ~-1,17	
Nếu muốn viết nghiệm đó dưới dạng phân số thì khi xuất hiện X = , sẽ có giá trị X = -7-, còn khi xuất hiện y =
0.0488 ta ấn SHIFT // , sẽ có giá trị : -1.1707 cũng ấn hai phím đó ta được y = -
48
41
41
_2_
41’
48
41
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) =
Hướng dẫn câu c)
Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím
mode] [mo5e| □□□□□□□□□□□□
000□□□□□□□□□□□□ 0 □ □ □
ta thấy hiện ra trên màn hình X = 0.2178 Ấn tiếp phím ■L“ -Li-*'-1 nn™
Ân tiếp phím
An tiep pmm = ta thấy y = 1.2970 Ấn tiếp phím = ta thấy z = -0.3861
Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là (làm tròn đến chữ số ập 'phân thứ hai) r ~ Q 22
thập 'phân thứ hai)
0,22
1,30
-0,39
c. BÀI TẶP Bỏ SUNG
BÀI 1
Cho hệ phương trình
í(a + l)x - y = a + 1
[x + (a-l)y = 2
Giải hệ với a = 3^2 ;
Tìm giá trị của a đế’ hệ có nghiệm duy nhất sao cho (x + y) nhỏ nhất.
Giải
-1
a -1
= (a + l)(a - 1) + 1 = a2
a + 1	- 1
a +1
a +1
Dx =
2	a-1
= a2 + l;Dy =
1
2
a) Với a =
3y'2 > D =
L8 * 0, hệ có nghiệm
duy ni
= a + 1
X =
y =
	x_	 _
D - 18
D 18	■> , ,	„ ,
a + 1 a 4-1
b) Hệ có nghiệm duy nhất D * 0 a * 0. Ẹhi đó X = —7,—; y - a2 + a + 2	r_
X + y =
aV2 ,
khi và chỉ khi + 2^2
BÀI 2
, , 1 , 2 - 1 + — + ~y
! a a
72 1 a 2V2
= 0 a = -4.
+ Q , do đó X + y nhỏ nhất o
Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m: J(2m - l)x + 3y = m +1 Ị(m + 2)x + my = 2
Ta có: D =
Dx=
2m -1	3
m + 2 m = 2(m + l)(m - 3)
m +1	3
2 m
Giải
= (2m - l)m - 3(m + 2) = 2m2 - 4m - 6
Dy =
2m - 1 m + 1 m + 2	2
= (m + l)m-6 = m2 + m- 6
= (2m - 1)2 - (m + 2)(m + 1) = -m2 + m - 4
• Nếu m í-l và m*3 thì D 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với:
2(m + l)(m - 3)
Dy _ -m2 + m - 4
hệ phương trình vô nghiệm, hệ phương trình vô nghiệm.
y D _ 2(m + l)(m - 3)
Nếu m = -1 thì D = 0, Dx = -6*0
Nếu m = 3 thì D = 0, Dx = 6 * 0 Kết luận
m2 + m - 6
-m + m - 4
m * -1, m * 3: hệ có nghiệm duy nhất:
^2(m + l)(m-3	2(m + l)(m - 3
m = -1 hay m = 3: hệ phương trình vô nghiệm.
BÀI 1
Cho hệ phương trình
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
ax - 2y = 2 X + ay = -1
Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a.
Tìm a để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn X + y > 0.
BÀI 2
Giải và biện luận các hệ phương trình:
mx + 2y = 1
x	X + (m - l)y = m
BÀI 3
Giải và biện luận các hệ phương trình: mx + (m - 2)ý = 2
} 2m2x + 3(m - l)y = 3
BÀI 4	1
Giải và biện luận các hệ phương trình:
Ị(a + b)x + (a - b)y = a 1 (2a + b)x + (2a - b)y = b
BÀI 5
Định m để ba đường thẳng sau đồng quy:
(dj): mx + y - 1 = 0 (dr,): x + my -1 = 0 (dg): x + y - m = 0
BÀI 6
Tìm m nguyên để hệ sau có nghiệm nguyên. Tìm các nghiệm nguyên ấy. Ị 2mx + 3y = m X + y = m + 1
BÀI 7
ax + 2y = b + 1 X + y = 3
BÀI 8
Cho hệ phương trình
y-2x = a2-l o.. , o.. _	,
2x + y = a2 + 2 X + 3y = 3
(I);
(II)
Tìm a và b để hai hệ phương trình sau tương đương (tức là hai hệ có cùng tập nghiệm):
Tìm a để hệ có nghiệm thỏa: xựỹ + 3 > 0
BÀI 9
Giải hệ phương trình
Xy + z = 7
X + 2y + 3z = 8
a) •
X + y - z = 1	b) •
3x + y + z = 6
-X + y + z = 3
2x + y + 2z = 6
BÀI
10
Xác định m và p để hai đường thẳng (3m - 5p + l)x + (8m - 3p - 2)y = 1 và (2m - 3p + l)x + (4m - p)y = 2 trùng nhau.
BAI 11	[ax + by = c
+ b3 + c3 = 3abc.
by + cx = a có nghiệm thì cx + ay = b
Chứng minh rằng nếu hệ phương trình •