Giải Toán 10: Bài 2. Phương trình qui về phương trình bậc nhất và bậc hai

§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỂ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÁT, bậc hai
Phương trình bậc nhât
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau:
ax + b = 0 (1)
Hệ sô
Kết luận
a -*■ 0
(1) có nghiêm duy nhất X =
a
a = 0
b 0
(1) vô nghiệm
b =3 0
(1) nghiệm đúng với mọi X
Khi a / 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ấn.
Phương trình bậc hai
Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau:
ax2 + bx + c = 0(a*0)(2)
A = b2 - 4ac
Kết luận
A > 0
(2) có hai nghiệm phân biệt x12 =
-b ± \/Ã
2a
A = 0
(2) có nghiệm kép X =
2a
A < 0
(2) vô nghiệm
Định lí Vi-et
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c - 0 (a * 0) có hai nghiệm Xp x9 thì
b	c
xi+x2 = --> X1X2 = ã
Ngược lại, nếu hai so u và V có tổng u + V = s và tích uv = p thì u và V là các nghiệm của phương trình
	X2 - Sx + p = 0	2	>
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Có nhiều phương trình khi giải có thế biến đôi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.
Phương trình chứa giá trị tuyệt đôi
Đế giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối ta có thế dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế đế’ khử dấu giá trị tuyệt đối và đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Đế giải các phương trình chứa ấn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương trình hai vế đế đưa về một phương trình hệ quả không chứa ấn dưới dâu căn.
B. GIÃI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Giải các phương trình: X2 + 3x + 2 2x - 5
a) 2x + 3	=	4
2x + 3
c) ự3x-5 = 3
b) _ a V I Q
X - 3 X + 3 d) ự2x + 5 =2
24
X2 -9
Giải
3
a) Điều kiện: 2x + 37tOX7t
. - X2 + 3x + 2 2x - 5 Khi đó
2x + 3	4
 4(x2 + 3x + 2) = (2x + 3)(2x - 5) o 4x2 + 12x + 8 = 4x2 - 4x - 15
_	71	23 7
 16x = -23 X = - — là nghiệm.
Điều kiện: X2 - 9 / 0 o X í+3 2x + 3	4	24	_
1011 đó x^3 - x+3= x^_9+2
 (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3) = 24 + 2(x2 - 9) 2x2 + 9x + 9 - 4x + 12 = 2x2 + 6 5x = -15 X = -3 (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
5 > 0 X > 7?
O
14
Điều kiện: 3x
14
3
1
"2
Khi đó \/3x - 5 = 3 3x-5 = 9x = -|- Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm X =
Điều kiện: 2x + 5 > 0 X > - —
Khi đó a/2x + 5 =2 2x + 5 = 4x = - —
Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm X =
BÀI 2
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
m(x - 2) = 3x + 1
m2x + 6 = 4x + 3m
(2m + l)x - 2m = 3x - 2
Giải
m(x - 2) = 3x + 1 (m - 3)x = 1 + 2m (1)
_1 + 2m
Nêu m-3^0m;£3thì(l)x = 	— là nghiệm.
' ,	_	„ m - 3,
Nêu m-3 = 0m = 3. Khi đó (1) trở thành: Ox = 7 vô lí. Vậy: Với m 3 phương trình có nghiệm X = 1-+ 2m. ■
Với m = 3 phương trình vô nghiệm.	m 3
m2x + 6 = 4x + 3m (m2 - 4)x = 3m - 6 (2)
Nếu m2 - 4 / 0 my ±2
T' .	* _	3
Khi đó (2) X = —— là nghiệm.
Nếu m2 - 4 = 0m = ±2
Với m = 2: khi đó (2) trở thành Ox = 0: đúng với mọi x.
Với m = -2: khi đó (2) trở thành Ox = -12: vô lí.
3
Vậy: Với m ±2: Phương trình có nghiệm X = -	.
Với m = 2: phương trình có vô sô" nghiệm.
Với m = -2: phương trình vô nghiệm.
(2m + l)x - 2m = 3x - 2	 2(m - l)x = 2(m -1)
 (m - l)x = m - 1	(3)
Nếu	Khi đó (3) X = 1
Nếu m-l = om = l. Khi đó (3) trở thành:
Ox = 0: luôn đúng với mọi X.
Vậy: Với m * 1: phương trình có nghiệm X = 1.
Với m = 1: phương trình có vô sô" nghiệm.
BÀ I 3
Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 qu^ ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 7? của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?
Giải 	 	
Gọi X là số quýt chứa trong một rố’ lúc đầu. Điều kiện X nguyên, X > 30. Ta có phương trình:
|(x-ỈO)2 = x + 30 o X2 - 63x + 810 = 0
 X = 45 (nhận), X = 18 (loại)
Trả lời: Sô quýt ở mỗi rổ lúc đầu: 45 quả.
BÀI 4
Giải các phương trình: a) 2x4 _ 7X2 + 5 = 0
b) 3x4 + 2x2 -1 = 0
Học sinh tự giải.
BÀI 5
Giải
Giải các phương trình sau số thập phân).
bằng máy tính bỏ túi (làm tròn với ba chữ
a) 2x2 - 5x - 4 = 0
b) -3x2 + 4x + 2 = 0
c) 3x2 + 7x + 4 =0
d) 9x2 - 6x + 4 = 0
Giải
Hướng dẫn câu a): Nếu sử dụng máy tính CASIO FX-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím
ỊmodẽỊ ỊmọdeỊ rị HIIltDElElllIlSOHS được Xj = 3.137 Ân tiếp
[—TỊ được x2 = -0.637 • Các câu b), c), d) học sinh tự giải.
BÀI 6
a)
ình:
b) |2x -1| = d) 2x + 51 =
|-5x-2ị
X2 + 5x + 1
Giải
3
2x + 3 > 0
X > - —
2
X = 5
3x - 2 = 2x + 3	
"x = 5 «
1
X = —
|_2 - 3x = 2x + 3
1
X = —
5
L	5
a) |3x - 2| = 2x + 3
, X - 1	-3x + 1
c)
2x - 3 x + 1
Phương trình <
2x - 1 = -5x - 2
b) 2x -
l| = |-5x - 2] 
2x - 1 = 5x + 2
7x = -1
3x = -3	c
ix + 1	0
X *-l
c) Điều
kiện:
[2x-3*0	ix*-
X —1
-3x +1
l	6
Khi đó
 ịx + l| (x - 1)
2x - 3
|x + l|
Phương trình có hai nghiệm: Xj = 5 và x2 =
7 là nghiệm X = -1
Trường hợp 1: Nếu x + l>ox> -1. Khi đó:
Phương trình
 X-
1 = -6x2 + llx - 3
llx - 3
Q _	„	„	11 + 705
 7x2 -llx + 2 = 0 X — —■ là nghiệm.
,	.	14
Trường hợp 2: Nêu x + l<0ox<-l. Khi đó:
Phương trình 1 — X2 = —6x2 + llx — 3 5x2 - llx + 4 = 0
11 ±741 ,	__ . ,
 X = 	—	 không thoa mãn X < -1.
10	_ . p7
11±765
14
Vậy phương trình có nghiệm X =
d) |2x + 5| = X2 + 5x + 1 ' ' í	„	o
Trường hợp 1: Nêu 2x + 5>0x>- —, khi đó: 2x + 5 = X2 + 5x + 1
Phương trình
»x2 + 3x-4 = 0« x = -4(loại) „	"5
Trường hợp 2: Nếu 2x + 5 < 0 o X < khi đó:
Phương trình
 -2x - 5 = X2 + 5x + 1 Ci>x2 + 7x + 6 = o
X = -1 (loại) X = -6
Giải các phương trình:
a) 75x + 6 = X - 6
b) 73 - X - 7x + 2 + 1
c) 72x" +5 = x + 2
d) 74x2 + 2x +10 = 3x + 1
Vậy phương trình có nghiệm X = 1; X = -6.
BÀI 7
Giải
a) 75x + 6 = X - 6 
X - 6 > 0
5x + 6 = (x - 6)2 X > 6
17x + 30 = 0
X = 15 X = 2
ox= 15
Vậy phương trình có nghiệm X = 15.
Điều kiện xác đinh: -2 < X < 3. Bình phương hai vế thì được:
3 - X = X + 3 + 277+2	 -2x = 277+2
Điều kiện X < 0. Bình phương tiếp ta được:
X2 = X + 2	=> Xj = -1 (nhận), x9 = 2 (loại)
Kết luận: Tập nghiệm S1-11.
Điều kiện xác định: X > -2
=> 2x2 + 5 = (x + 2)2 => X2 - 4x + 1 = 0 => Xj = 2 - 73 (nhận), x9 = 2+73 (nhận)
Điều kiện xác định: X > -7
~ _	_	3	9
=> 4x2 + 2x + 10 - (3x + l)2 => X, = -7 (loại), x9 = 1 (nhận)
BÀI 8	 5	
Cho phương trình: 3x2 - 2(m + l)x + 3m -5 = 0
Xác định m đế phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia.
Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm Xj và x9 với x9 = 3xr Theo định lí Vi-et ta có:
VỚI m = 7 ta có hai nghiệm X1 = 3 , x2 = 4.
c. BÀI TẬP NÂNG CAO BÀĨ'1	
Cho phương trình
X2 - 2(m - l)x + m2 - 3m + 4 = 0
Xác định m đế phương trình có hai nghiệm phân biệt Xp x9 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Xác định m đê X2 + x2 =20;
Xác định m đế biểu thức X2 + X2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Xp x2 khi và chỉ khi:
A’ = (m — l)2 - (m2 - 3m + 4) > 0
m-3>0«m>3
Một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi và chỉ khi (Xj - 2x2)(x2 - 2x1) = 0	 5xxx2 - 2( X2 + X2) = 0
o
b) Ta có X2 + xị = (x1 + x2)2
5xjX2 - 2[(Xj + x2)2 - 2x1x9] = 0 9x^x2 - 2(xj + x2)2 = 0 9(m2 - 3m + 4) - 8(m2 - 2m + 1) = 0 m2 - 11m + 28 - 0
m = 4
2x,x9 = 2m2 - 2m - 4 do đó X2 + X2 = 20 m = -3
_ (thỏa mãn điều kiện m > 3) m = 7
 m2 - m - 12 = 0 m , m = 4
Kết hợp điều kiện m > 3 ta được giá trị m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán,
Hàm f(m) = 2m2 - 2m - 4 đồng biến trên nửa khoảng —; + °°J, do
đó cũng đồng biến trên nửa khoảng [3; +oo), suy ra hàm f(m) đạt giá trị nhỏ nhất tại m - 3 (mút trái), giá trị nhỏ nhất đó bằng 8.
BÀI 2
Cho hai phương trình
X2 + X + a = 0 (1) và X2 + ax + 1 = 0 (2)
Xác định giá trị của a để
Hai phương trình có nghiệm chung.
Hai phương trình tương đương.
Giải
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình, ta có x2+ ax0 + 1 - 0 và x2+ x0 + a = 0. Trừ từng vế hai đẩng thức ta được (x0 - l)(a - 1) = 0 suy ra a = 1 hoặc x0 = 1. Giá trị a = 1 bị loại vì khi đó cả hai phương trình đều vô nghiệm. Với x0 = 1 thì a = -2. Thử lại ta thây với a = -2 hai phương trình có nghiệm chung X = 1.
Vậy hai phương trình có nghiệm chung khi và chỉ khi a = -2.
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Cả hai phương trình cùng vô nghiệm.
Ta có A, = 1 - 4a a > -7
„	.	_	_ 4
A9 = a2 - 4 -2 < a < 2
“ ' . 1
Hai phương trình cùng vô nghiệm J < a < 2
Trường hợp 2: Hai phương trình cùng có nghiệm.
Đế hai phương trình tương đương trước hết chúng phải có nghiệm chung.
Theo a) ta phải có a = -2. Nhưng khi đó phương trình (1) có hai nghiệm X = 1; X = 2, còn phương trình (2) chỉ có một nghiệm X = 1, do đó chúng không tương đương.	1
Vậy điều kiện đế hai phương trình đã cho tương đương là 4 < a < 2.
BÀI 3	
Cho hai phương trình
X2 + pxx + qj = 0 và X2 + p9x + q9 =0
Cho biết pxp9 = 2(qj + q9), chứng minh rằng ĩt nhát một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Giải
Gọi A] và A2 tương ứng là các biệt thức của hai phương trình đã cho. Ta có
A1 + A2 = pị _ 4ch +P2_ 4ch
= P.+PỈ" 4(qt+q2) = p; + p|-2Plp2 = (Pl + p2)2 s(o
Suy ra ít nhất một trong hãi số A1 và A2 không âm, tức là ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
BÀI 4	
Xác định m để phương trình
X2 - mx + m2 - 3 = 0
có hai nghiệm là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền bằng 2.
Giải
Phương trình
X2 - mx + m2 - 3 = 0
phải có hai nghiệm dương Xp x9 thỏa mãn xf + X2 - 4.
Ta có: X2 + X2 = 4	 (x, + x9)2 - 2xjx2 = 4
 m2 - 2(m2 - 3) = 4 m2 = 2~ m = +^2 Các giá trị này làm cho phương trình có hai nghiệm trái dấu. Vậy
không tồn tại giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Giải và biện luận các phương trình:
X2 - mx + 3m -8 = 0
(m - 2)x2 - 2(m + l)x + m = 0
(m + l)x2 + 2(m + 2)x + m - 1 = 0
BÀI 2
Giả sử hai phương trình axx2 + bjX + Cj = 0 và a2x2 + b9x + c2 = 0 có ít nhất một nghiệm chung.
Chứng minh rằng: (a2Cj - a^)2 = (a9bj - a1b2)(c1b9 - c2bj)
BÀI 3
Cho phương trình: X2 - 2(m - l)x + m- 3 = 0
Chứng minh rằng: Vm, phương trình luôn có nghiệm.
Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc m.
Xác định m sao cho phương trình có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
BÀI 4
Cho hai phương trình
X2 + X + a = 0 ; X2 + ax + 1 = 0
Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung?
Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương?
BÀI 5
Giả sử Xp x9 là nghiệm của phương trình
X- + 2mx + 4 = 0 a) Định m sao cho X,' + x^ < 32
f X1
1 ỉ
—
+
lxd
b) Định m sao cho
BÀI 6
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô m:
(2m - 3)x2 + 2(2 - m)x -1 = 0
(m + 2)x2 + (2m + l)x + m + 1 = 0
(m - l)x2 + 2(m - 3)x - 3(m2 + m + 3) = 0
s