Giải bài tập Toán 7 Bài 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

§2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ
ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỠNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1
?2
?3
?4
Cho điểm A không thuộc đường thẳng d (hình bên). Hãy dùng êke để vẽ và tìm hình chiếu của điểm A trên d. Vẽ một đường xiên từ A đến d, tìm hình chiếu của đường xiên này trên d.
Hướng dẫn
Hình vẽ :
Từ hình vẽ, ta có : A' là hình chiếu của A trên đường thẳng d; d chính là hình chiếu của đường xiên trên d.
d
Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được bao nhiêu đường vuông góc và bao nhiêu đường xiên đến đường thẳng d ?
Hướng dẫn
Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta chỉ kẻ được duy nhất một đường góc vuông đến đường thẳng d.
Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được vô số đường xiên đến đường thẳng d.
Hãy dùng định lí Pi-ta-go đế’ so sánh đường vuông góc AH và đường xiên AB kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Hướng dẫn
Theo định lí Pi-ta-go, ta có : AB2 = AH2 + BH2.
Suy ra AB2 > AH2 hay AB > AH.
Cho hình bên. Hãy sử dụng định lí Pi-ta-go
để suy ra rằng :
Nếu HB > HC thì AB > AC.
Nếu AB > AC thì HB > HC.
Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại,
nếu AB = AC thì HB = HC.	-
Hướng dẫn
Trong tam giác vuông HAB, ta có : AB2 = AH2 + HB2
Trong tam giác vuông HAC ta cũng có : AC2 = AH2 + HC2
Mà HB = HC nên HB2 = HC2, do đó AB2 > AC2 hay AB > AC.
Chứng minh tương tự như trên.
Chứng minh tương tự như câu a).
GIẢI BÀI TẬP
Cho hình bên. Biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận
nào đúng ? Tại sao ?
HB = HC
HB > HC
HB < HC.
Do AB HB < HC (đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn)
Vậy chọn c.
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến c, ... (xem hình).
ngày hôm sau bơi xa hơn ngày hôm trước, do : MA là đoạn ngắn nhất
AB < AC < AD
=> MB < MC < MD (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn)
Vậy : MA < MB < MC < MD.
10
12
LUYỆN TẬP
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Giải
Cho AABC cân tại A, lấy M là điểm bất kì trên cạnh đáy BC. Ta chứng minh AM < AB.
Kẻ đường cao AH của AABC.
Nếu M thuộc đoạn thẳng HB ta có :
HM < HB
Do đó : AM < AB (liên hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Chứng minh tương tự nếu M thuộc đoạn thẳng HC.
Vậy đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác cân với một điểm bất kì trên cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài cạnh bên.
Một cách chứng minh khác của định lí 2 :
Cho hình bên. Đùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng :	A
Nếu BC < BD thì AC < AD.
Hướng dẫn :
Góc ACD là góc gì ? Tại sao ?
Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại -sao ?
Giải
Ta có : ACD > ABC (ACD là góc ngoài AABC)
Mà ABC = 90° (gt) nên Ấcb > 90°
Vậy : ACD là góc tù.
Trong AACD, cạnh AD là cạnh lớn nhất do AD là cạnh đối diện với góc tù.
Vậy : AC < AD.
Cho hình a. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào ? Tại sao ? Cách đặt thước như trong hình b có đúng không ?
Giải
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đo khoảng cách giữa hai cạnh của tấm gỗ. Do đó phải đặt thước vuông góc với hai cạnh của tấm gỗ. Cách đặt thước như trong hình b là sai.
Giải
Cho hình bên.
Hãy chứng minh rằng :
BE < BC
DE < BC.
a) Ta có : AE < AC
Vậy : BE < BC (đường xiên có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn) b) Ta có : AD < AB
Suy ra : DE < BE (đường xiên có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn) Mà BE < BC
Vậy : DE < BC.
Đố : Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6cm.
Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy ?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không ? Tại sao ?
Giải
APQR có PQ = PR = 5cm nên APQR cân tại p. Kẻ PH 1 QR.
Do PM = 4,5cm suy ra :
PM < PQ (hoặc PM < PR)
Do đó : HM < HQ (hoặc HM < HR)
Vậy M nằm giữa HQ (hoặc M nằm giữa HR).
Vậy có 2 điểm M trên đường thẳng PQ
(M và M').
Các điểm này nằm trên cạnh QR (vì M và M' nằm giữa HQ và HR).