Giải bài tập Toán 7 Bài 8. Cộng, trừ đa thức một biến

§8. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1 Cho hai đa thức : M(x) = X4 + 5x3 - X2 + X - 0,5
N(x) = 3x4 - 5x2 - X - 2,5.
Hãy tính M(x) + N(x) và M(x) - N(x).
Hường dẫn
Ta có : M(x) + N(x) = (x4 + 5x3 - X2 + X - 0,5) + (3x4 - 5x2 - X - 2,5)
= 4x4 + 5x3 - 6x2 - 3.
Ta có : M(x) - N(x) = (x4 + 5x3 - X2 + X - 0,5) - (3x4 - 5x2 - X - 2,5)
= -2x4 + 5x3 + 4x2 + 2x + 2.
GIẢI BÀI TẬP
44 Cho hai đa thức :
P(x) = -5x3 - ị + 8x4 + X2
3
9 và Q(x) = X2 - 5x - 2x3 + X4 -	.
3
Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).
Giải
• Tính P(x) + Q(x) :
Cách 1 :
P(x) + Q(x) = -5x3
- i + 8x4 + X2
3
+ X2 - 5x - 2x3 + X4
= -5x3
4 + 8x4 + X2 + X2 - 5x - 2x3 + X4
3
= (-5x3 - 2x3) + (8x4 + X4) + (x2 + X2) - 5x +
2
3
1 _ 2
. 3 3
= -7x3
Cách 2 :	P(x)
Q(x) =
+ 9x4 4- 2x2 - 5x - 1
1
3
X4 - 2x3 + X2 - 5x -
3
8x4 - 5x3 + X2
P(x) + Q(x) = 9x4 - 7x3 + 2x2 - 5x - 1
• Tính P(x) - Q(x) :
Cách 1 :
P(x) - Q(x) =
CM I CO CO I CO
^-5x3 - 3 + 8x4 + xP(x) - Q(x) = 7x4 - 3x3	+ 5x + -|
3
Cho đa thức P(x) = X4 - 3x2 + — - X.
2
Tìm các đa thức Q(x), R(x), sao cho :
a) P(x) + Q(x) = X5 - 2x2 + 1	b) P(x) - R(x) = X3.
Giải
P(x) + Q(x) = X5 - 2x2 + 1
•=> Q(x) = (x5 - 2x2 + 1) - P(x) = X5 - 2x2 + 1 - fx4 - 3x2 + 4 - X
l 2
= X5 - 2x2 + 1 - X4 + 3x2 - 4 + X
2
= X5 - X4 + (-2x2 + 3x2) + X + 11 - ị I
 2J
= X5 - X4 + X2 + X + 4
P(x) - R(x) = X3
R(x) = P(x) - X3 = I X4 - 3x2 + ị - xì - X3
l 2 J
= X4 - X3 - 3x2 - X + ị .
2
^ - ^x2 - 5x - 2x3 + X4 -
-5x3 - ỉ + 8x4 + X2 - X2 + 5x + 2x3 - X4 +
3
= (-5x3 + 2x3) + (8x4 - X4) + (x2 - X2) + 5x + í—7 + -|
I 3 3
= -3x3 + 7x4 + 5x + 4
3
Cách 2 :	P(x) = 8x4 - 5x3 + X2 - 4
3
Q(x) = X4 - 2x3 + X2 - 5x -
3
Viết đa thức P(x) = 5x3 - 4x2 + 7x - 2 dưới dạng :
Tổng của hai đa thức một biến.
Hiệu của hai đa thức một biến.
Bạn Vinh nêu nhận xét : "Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4". Đúng hay sai ? Vì sao ?
Giải
Có nhiều cách viết, chẳng hạn :
P(x) =	(5x3 -	4x2) + (7x - 2)
hay	P(x) =	(6x3 +	2x2 + 5x + 4) + (-X3	- 6x2 +	2x	-	6) ...
P(x) =	(5x3 -	4x2) - (-7x + 2)
hay	P(x) =	(6x3 +	X2 + 4x - 1) - (x3	+	5x2	- 3x	+	1)	...
Bạn Vinh nhận xét đúng, chẳng hạn :
P(x) = 5x3 - 4x2 + 7x - 2
P(x) = (x4 + 2x3 - 3x2 + 5x - 2) + (-X4 + 3x3 - X2 + 2x).
Cho các đa thức : P(x) = 2x4 - X - 2x3 + 1;
Q(x) = 5x2 - X3 + 4x;
H(x) = -2x4 + X2 + 5.
Tính P(x) + Q(x) + H(x) và P(x) - Q(x) - H(x).
Giải
• P(x) + Q(x) + H(x)
= (2x4 - X - 2x3 + 1) + (5x2 - X3 + 4x) + (--2x4 + X2 + 5)
= 2x4 - X - 2x3 + 1 + 5x2 - X3 + 4x - 2x4 + X2 + 5
= (2x4 - 2x4) + (-2x3 - X3) + (5x2 + X2) + (-X + 4x) + (1 + 5)
= -3x3 + 6x2 + 3x + 6
. P(x) - Q(x) - H(x)
= (2x4 - X - 2x3 + 1) - (5x2 - X3 + 4x) - (-2x4 + X2 + 5)
= 2x4 - X - 2x3 + 1 - 5x2 + X3 - 4x + 2x4 - X2 - 5
= (2x4 + 2x4) + (-2x3 + X3) + (-5x2 - X2) + (-X - 4x) + (1 - 5)
= 4x4 - X3 - 6x2 - 5x - 4.
(2x3 - 2x + 1) - (3x2 + 4x - 1) = 2x3 - 2x + 1 - 3x2 - 4x + 1
= 2x3 - 3x2 + (-2x - 4x) + (1 + 1) = 2x3 - 3x2 - 6x + 2
Vậy chọn kết quả trong ô thứ hai.
LUYỆN TẬP
Hãy tìm bậc của mỗi đa thức sau :
M = X2 - 2xy + 5x2 - 1;
N = x2y2 - y2 + 5x2 - 3x2y + 5.
Giải
M = X2 - 2xy + 5x2 - 1 = 6x2 - 2xy - 1 là đa thức bậc 2 N = x2y2 - y2 + 5x2 - 3x2y + 5 là đa thức bậc 4.
Cho các đa thức : N = 15y3 + 5y2 - y5 - 5y2 - 4y3 - 2y;
M - y2 + y3 - 3y + 1 - y2 + y5 - y3 + 7y5.
Thu gọn các đa thức trên.
Tính N. + M và N- M.
Giải
N = 15y3 + 5y2 - y5 - 5y2 - 4y3 - 2y
= -y5 + (15y3 - 4y3) + (5y2 - 5y2) - 2y
= -y5 + Uy3 - 2y
M = y2 + y3 - 3y + 1 - y2 + y5 - y3 + 7y5
= (y5 + 7y5) + (y3 - y3) + (y2 - y2) - 3y + 1
= 8y5 - 3y + 1
N + M = -y5 + Uy3 - 2y + 8y5 - 3y + 1
= (-y5 + 8y5) + Uy3 + (-2y - 3y) + 1
= 7y5 + Uy3 - 5y + 1
N - M = -y5 + lly3 - 2y - (8y5 - 3y + 1)
= -y5 + lly3 - 2y - 8y5 + 3y - 1
= (-y5 - 8y5) + lly3 + (-2y + 3y) - 1
= -9y5 + lly3 + y - 1.
Cho hai đa thức : P(x) = 3x2 - 5 + X4 - 3x3 - X6 - 2x2 - X3;
Q(x) = X3 + 2x5 - X4 + X2 - 2x3 + X - 1.
Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến.
Tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).
Giải
P(x) = 3x2 - 5 + X4 - 3x3 - X6 - 2x2 - X3
= -5 + 3x2 - 2x2 - 3x3 - X3 + X4 - X6
= -5	+ X2 - 4x3 + X4	- X6 .
Q(x) = X3	+ 2x5 - X4 + X2 - 2x3 + X -	1
= -1	+ X + X2 + X3 -	2x3 - X4	+	2x5
= -1	+ X + X2 - X3 -	X4 + 2x5
P(x) + Q(x) = (-5 + X2 - 4x3 + X4 - X6) + (-1 + X + X2 - X3 - X4 + 2x5)
= -5 + X2 - 4x3 + X4 - X6 - 1 + X + X2 - X3 - X4 + 2x5
= -6 + X + 2x2 - 5x3 + 2x5 - X6
P(x) - Q(x) = (-5 + X2 - 4x3 + X4 - X6) - (-1 + X + X2 - X3 - X4 + 2x5) = -5 + X2 - 4x3 + X4 - X6 + 1 - X - X2 + X3 + X4 - 2x5 =-4 - X - 3x3 +.2x4-2x5-x6
Tính giá trị của đa thức P(x) = X2 - 2x - 8 tại X = -1; X = 0 và X = 4.
Giải
P(x) = X2 - 2x - 8
Ta có : P(-l) = (-1)2 - 2(-l) - 8 = l+ 2- 8 = -5;
P(0) = o2 - 2 0 - 8 = -8;
P(4) = 42 - 2.4 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0.
Cho các đa thức : P(x) = X5 - 2x4 + X2 - X + 1;
Q(x) = 6 - 2x + 3x3 + X4 - 3x5.
Tính P(x) - Q(x) và Q(x) - P(x). Có nhận xét gì về các hệ số của hai đa thức tìm được ?
Giải
Ta có :	P(x) = X5 - 2x4	+ X2 - X + 1
Q(x) = -3x5 + X4 + 3x3	- 2x + 6
P(x) - Q(x) = 4x5 - 3x4 - 3x3 + X2 + X - 5
Q(x) - P(x) = -4x5 + 3x4 + 3x3 - X2 - X + 5
Các hệ số của hai đa thức tìm được là các số đối nhau.