Giải bài tập Toán 7 Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
GIẢI BÀI TẬP
63 Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đoạn thẳng AD, AE.
Hãy so sánh góc ADC và góc AEB.
Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Giải
Tam giác BAD cân tại B (do AB = BD) nên ADB = BAD
Suy ra : ABC = ADB + BAD (góc ngoài của tam giác ABD)
= 2ADB
Tương tự : ACB = 2AEC (góc ngoài của tam giác cân ACE)
Theo câu a : ADC < AED
Vậy : AE < ẠD (liên hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).
64 Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng : Nếu MN < MP thì HN < HP và NMH < PMH (yêu cầu xét hai trường hợp : khi góc N nhọn và khi góc N tù).
Giải
• Trường hợp N < 90° (hình a) :
Ta có MN, MP là các đường xiên, MH là đường vuông góc kẻ từ M nên HN, HP là các hình chiếu của MN và MP trên NP.
Do MN < MP nên HN < HP (liên hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng).
Do MN < MP nên NPM < MNP (liên hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).
Mà : NPM + PMH = 90° (AMHP vuông tại H)
MNP + NMH = 90° (AMHN vuông tại H)
Vậy : PMH > NMH.
M.	M
Hình a	Hình b
• Trường hợp N > 90° (hình b) :
MN, MP là các đường xiên, MH là đường vuông góc kẻ từ M nênHN, HP là các hình chiếu của MN và MP trên NP.
Do MN < MP nên HN < HP (liên hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng).
Do MN < MP nên NPM < MNP (liên hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).
Mà : NPM + PMH = 90° (AMHP vuông tại H)
MNP + NMH = 90° (AMHN vuông tại H)
Vậy : PMH > NMH.
65
Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau : lcm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm ?
Giải
Ta có thể vẽ được ba tam giác có ba cạnh lần lượt là :
2cm, 3cm, 4cm
2cm, 4cm, 5cm
66
3cm, 4cm, 5cm
Đố : Bốn điểm dân cư được xây dựng	»
như hình bên. Hãy tìm vị trí đặt một	H	/
nhà máy sao cho tổng các khoảng	'
cách từ nhà máy đến bốn điểm dân
cư này là nhỏ nhất.	/	'	22k
Giải
Ta quy về bài toán : Cho tứ giác ABCD. Tìm vị trí của điểm o để OA + OB + oc + OD ngắn nhất. Nghĩa là :
OA + oc ngắn nhất
OB + OD ngắn nhất
Ta có : OA + oc > AC
Dấu "=" xảy ra khi 0 thuộc AC
OA + oc ngắn nhất khi A, o, c thẳng hàng.
Tương tự, OB + OD ngắn nhất khi B, o, D thẳng hàng.
Vậy : OA + OB + oc + OD ngắn nhất khi o là giao điểm của AC và BD.
67 Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q.
Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ.
Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.
Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.
Gợi ý : Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Kẻ PK1 MR, PK là đường cao của các tam giác MPQ và RPQ, ta có : Q ipK.MQ
SMPQ _ 2	_ MQ
Srpq Ipk op QR
a)
b)
Giải
ịpK.QR
2
= 2 (Q là trọng tâm AMNP) Kẻ NH 1 MR, NH là đường cao của các tam giác MNQ và RNQ, ta có :
Q ỈNH.MQ ,,n
^MNQ _ 2	_ MQ (2)
SRNQ ÃnH.QR
2
= 2 (Q là trọng tâm AMNP)
Xét hai tam giác vuông NHR và PKR, ta có :
NR = PR (R là trung điểm NP)
NRH = PRK (đối đỉnh)
Do đó : ANHR = APKR (cạnh huyền và góc nhọn) => NH = PK
R ịpK.QR
= 2	= 1 (do NH = PK)
SRNQ ÃnH.QR
.
hay Srpq = Srnq	(3)
Từ (1), (2) và (3), ta có : Sqmn = Sqmp = 2Srpq
Mà : Sqnp = Sqnr + Sqrp - 2Srpq Vậy : Sqmn = Sqnp = Sqpm-
y
68 Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.
Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A, B.
Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a ?
Giải
a) - Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy của xOy nên M thuộc đường phân giác của xõy.
- Điểm M cách đều hai điểm A, B nên M thuộc đường trung trực của AB.
b)
69
Nếu OA = OB thì AOAB cân tại o nên đường trung trực của AB và đường phân giác của xOy trùng nhau, do đó ta tìm được vô số điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a.
Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại p, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại s. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điếm của a và b.
Giải
Gọi T là giao điểm của đường thẳng a và b.
JQP 1 a
‘SRlb
Ta có :
70
QP, SR là các đường cao của ATSQ, hai đường này cắt nhau tại M.
Do đó M thuộc đường cao thứ ba của ATSQ.
Vậy đường thẳng qua M vuông góc với SQ đi qua T.
Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
a) Ta kí hiệu PA là nửa mặt phắng bờ d có chứa điểm A (không kế’ đường thẳng d). Gọi N là một điểm của PA và M là giao điểm của
Vậy M là giao điểm của đường trung trực của AB và đường phân giác của xOy.
đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB.
Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N' là một điểm củá PB. Chứng minh rằng N'B < N'A.
Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, PB hay trên d ?
Giải
Ta có : NB = NM + MB
Mà : MB = MA (M thuộc đường trung trực của AB)
Vậy : NB = NM + MA
Mà : NM + MA > NA (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra : NA < NB.
b) Gọi M' là giao điểm của N’A và d. Chứng minh tương tự câu a :
N’A = N'M' + M'A = N'M’ + M’B
Mà : N’M' + M'B > N'B (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra : N'B < N'A.
Theo câu a và b, ta có :
Điểm N thuộc PA thì NA < NB
Điểm N' thuộc PB thì' N'A > N'B
Điểm M thuộc d thì MA = MB
Với điểm L thỏa mãn LA < LB thì L thuộc nửa mặt phẳng PA.