Giải bài tập Toán 7 Bài 6. Tính chất ba đường phân giác của một tam giác

§6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
CỦA TAM GIÁC
?1
?2
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp hình xác định ba đường phân giác của nó. Trải tam giác ra, quan sát và cho biết : Ba nếp gấp có cùng đi qua một điểm không.
Hướng dẫn
Học sinh tự làm phần thực hành.
Dựa vào hình ảnh thực tế, ta có nhận xét : Ba nếp gấp có cùng đi qua một điểm.
Dựa vào hình bên, hãy viết giả thiết và kết luận của định lí.
Hướng dẫn
Hai đường phân giác của tam giác
ABC là BE và CF cắt nhau tại I
L, H, K lần lượt là hình chiếu của
I trên AB, BC và CA
I cách đều AB, BC và CA
GT
KL
EDF;
M
EFD;
Giải
Điểm I cách đều ba cạnh của ADEF nên :
IM = IN = IP
GIẢI BÀI TẬP
36
Cho tam giác DEF có điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.	D
E
Do : IM = IN nên I thuộc đường phân giác của
IN = IP nên I thuộc đường phân giác của
DEF.
IM = IP nên I thuộc đường phân giác của
Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của ADEF.
37
Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.
Giải
• Do điểm K nằm trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau nên K là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác MNP.
38
Do ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác của tam giác là đủ, giao điểm K của hai đường phân giác của tam giác là điểm phải dựng.
Cho hình bên.
Tính góc KOL.
Kẻ tia 10, hãy tính góc KIO.
Điểm o có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không ? Tại sao ?
Giải
a)
Ta có :
IKL + ILK = 180° - KIL (tổng ba góc trong tam giác là 180°) = 180°- 62°= 118°
(KO là đường phân giác IKL) (LO là đường phân giác ILK)
IKL + ILK 118° _ 	—	— ơy
2	2
Vậy : KOL = 180° - (K1 + L1) = 180° - 59° = 121°.
Ta có IO là đường phân giác của KIL (tính chất ba đường phân giác của tam giác), do đó :
KĨỒ =	=	= 31°.
2	2
Do o là giao điểm ba đường phân giác của AIKL nên o cách đều ba cạnh của AKIL.
LUYỆN TẬP
39 Cho hình bên.
Chứng minh AABD = AACD.
So sánh góc DBC và góc DCB.
Giải
a) Xét AABD và AACD, ta có :
AB = AC (gt)
BAD = CAD (gt)
AD (cạnh chung)
Do đó : AABD = AACD (c.g.c).
b) Ta có AB = AC nên AABC cân tại A, suy ra ABC = ACB Mặt khác ABD = Ấcb (AABD = AACD)
Từ đó : ABC - ABD = ẤCB - ÁÕD
Vậy : DBC = DCB.
40
trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm
ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Giải
Do I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác nên I thuộc các đường phân giác của tam giác.
Do đó, I thuộc đường phân giác AM của BAC, mà AABC cân tại A nên đường phân giác AM cũng là đường trung tuyến của AABC => I thuộc đường thẳng AM.
Do G cũng thuộc AM (G là trọng tâm AABC) nên suy ra A, G, I thẳng hàng.
41 Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó không ? Vì sao ?
Giải
Cho AABC đều, G là trọng tâm của tam giác.Do AABC đều, nghĩa là AABC cân tại ba đỉnh. Theo bài 40, điểm G thuộc các đường phân giác của A, B, C của tam giác.
Mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm G.
Vậy G cách đều ba cạnh của AABC.
42
Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyển đồng
thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải
Do A1 = Â2 (AD là đường phân giác của BAC) nên BA^ = Â1
Do đó AABA1 cân tại B, suy ra A1B = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AC = AB
Vậy AABC cân tại A.
43 Đô' : Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau (xem hình). Hãy tìm một địa điểm đế xây
• dựng một đài quan sát sao cho các khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhau.
Có tất cả mấy địa điểm như vậy ?
Giải
Ta xem hai con đường và bờ sông tạo thành một tam giác, địa điểm cần tìm cách đều hai con đường và bờ sông chính là điểm cách đều ba cạnh của tam giác. Do đó, điểm này là giao điểm các đường phần giác của tam giác và có hai địa điểm như vậy (điểm M và N trong hình).