Giải bài tập Toán 7 Bài 5. Tính chất tia phân giác của một góc

§5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
■
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1 Dựa vào cách gấp hình, hãy so sánh các khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh Ox, Oy.
Hướng dẫn
Các khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh Ox, Oy bằng nhau.
?2
Dựa vào hình bên, hãy viết giả thiết và kết luận của định lí 1.
Hướng dẫn
Oz là tia phân giác của góc xOy
M 6 Oz và A, B lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy
_____
GT
?3
KL
Dựa vào hình bên, hãy viết giả thiết và kết luận của định lí 2.
Hướng dẫn
M nằm bên trong góc xOy
A và B lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy
MA = MB 	
OM là tia phân giác của góc xOy
X
GT
Kẻ MA ± Ox
MB 1 Oy
Áp dụng bài tập 12 :
GBT Toán 7/2
GIẢI BÀI TẬP
31
Hình bên cho biết cách vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề :
Áp một lề của thước vào cạnh Ox, kẻ đường thẳng a theo lề kia.
Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.
- Gọi M là giao điểm của a và b, ta có OM là tia phân giác của góc xOy.
Hãy chứng minh, tia OM được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc xOy.
(Gợi ý : Dựa vào bài tập 12 chứng minh các khoảng cách cừ M đến Ox và đến Oy bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề c ìa chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2).
Giải
MA và MB là khoảng cách giữa hai lề của thước, do đó MA = MB => M thuộc tia phân giác của xOy.
Vậy OM là phân giác của xOy.
32 Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B1 và Cj (hình bên) nằm trên tia phân giác của góc A.
Giải
Gọi M là giao điểm hai tia phân giác của B1 và C1.
Kẻ MI, MH, MK vuông góc với tia AB, BC và AC, ta có :
MI = MH (M thuộc tia phân giác của B1)
MH = MK (M thuộc tia phân giác của C1)
Suy ra : MI = MK
Do đó M thuộc tia phần giác của BAC.
LUYỆN TẬP
33
Cho hai đường thẳng XX1, yy' cắt nhau tại o (hình bên).
Chứng minh hai tia phân giác Ot, Ot' của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.
thẳng Ot' thì M cách đều hai đường thẳng XX1 và yy1.
Chứng minh rằng : Nếu M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường
Chứng minh rằng : Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng xx' và yy' thì M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot'.
Khi M = o thì các khoảng cách từ M đến xx' và yy' bằng bao nhiêu ?
Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx', yy' ?
Giải
m 	 xOy	9	—
Ta có : xOt = —— (Ot là phân giác của xOy)
xõĩ- = 2ự
2
Suy ra : xOt + xOt' =
(Ot’ là phân giác của xOy’)
tot’ =
180°
2
= 90° (do xOy và xOy' kề bù).
xOy xOy' _ xOy + xOy'
2 + 2	~
t'
Đường thẳng Ot là phân giác xOy và x'Oy'
Do ■
°2 ?6<đốiđỉnh)
01 = Oõ
<*• 	
mà 01 - O2 (Ot là“ịthân giác xOy) Suy ra : Ô5 = Ôô *
Vậy đường thẳng Ot là phân giác của x'Oy’
Tương tự, đường thẳng Ot' là phân giác của x'0y
Lấy điểm M thuộc đường thẳng Ot, do M thuộc đường phân giác của xOy hay x'Oy' nên M cách đều hai đường thẳng xx' và yy'.
Tương tự, nếu M thuộc đường thẳng Ot' thì M cũng cách đều hai đường thẳng xx' và yy1.
Gọi M là điểm cách đều hai đường thẳng xx' và yy'. Suy ra M thuộc đường phân giác của xOy, x'0y', xOy', yOx', do đó M thuộc các đường thẳng Ot hoặc Ot'.
Khi M = o thì khoảng cách từ 0 đến xx' và yy' bằng 0 nên khoảng cách từ M đến xx' và yy' cũng bằng 0.
Từ các câu b, c, d, ta rút ra kết luận : Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx' và yy' là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
34 Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm c và D sao cho OA = oc, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng : a) BC = AD.
IA = IC, IB = ID.
Tia 01 là tia’ phân giác của góc xOy.
Giải
b)
Nên AOBC = AODA (c.g.c)
Ta có : AB = OB - OA
CD = OD - oc
OB = OD (gt) oc = OA (gt) => BC = AD.
a) Xét AOBC và AODA, ta có : xOy chung
Suy ra : AB = CD (do OB = OD, OA = OC)
Xét AIAB và AICD, ta có :
AB = CD
ABI = CDI (AOBC = AODA)
BAI = DCI (do hai tam giác IAB và ICD có ABI = CDI và
AIB = CID (đối đỉnh))
Do đó : AIAB = AICD (g.c.g)
Vậy : IA = lơ, IB = ID.
Xét AIOA và Aioc, ta có : 01 (cạnh chung)
OA = oc (gt)
IA = IC (cmt)
Do đó : AIOA = AIOC (c.c.c) => ẤÒI = COI
Vậy 01 là đường phân giác của xOy.
35 Có mảnh sắt phảng hình dạng một góc (hình dưới) và một chiếc thước thẳng có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này ?
01 chính là đường phân giác của xOy (bài tập 34).