Giải bài tập Toán 7 Bài 4. Tình chất ba đường trung tuyến của tam giác

§4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
CỦA TAM GIÁC
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1
Hãy vẽ một tam giác và tất cả các đường trung tuyến của nó.
Hướng dẫn
?2
?3
Quan sát tam giác vừa cắt (trên đó đã vẽ ba đường trung tuyến). Cho biết : Ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm hay không ?
Hướng dẫn
Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm.
Dựa vào hình bên, hãy cho biết :
AD có là đường trung tuyến của tam giác
ABC hay không ?	’
_ 2 AG BG CG	„kỈA„ 9
Các tỉ sô	, —— băng bao nhiêu !
AD BE CF
Hướng dẫn
Ta có AD chính là đường trung tuyến của AABC.
AG BG CG 2
AD BE CF 3
GIẢI BÀI TẬP
23
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (hình trang sau).
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?
DG 1
DH - 2 ’
GH 1
DH ~ 3’
22 = 3; GH
GH _ 2
DG - 3
Giải
Khẳng định đúng là nn - 4.
DH 3
D
b)
NS =	NG;	NS =	3GS;	NG	= 2GS.
25
2
Biết rằng : Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau :
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
Áp dụng định lí Pi-ta-go (Pythagore) trong tam giác vuông ABC, ta có
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25
=> BC = 5cm.
Gọi AM là trung tuyến của AABC, ta có _ BC _ 5 _ o
AM = —— = £• = 2,5cm
2	2
G là trọng tâm AABC nên :
9.	5
AG = ±AM = ±2,5 = ± (cm).
3	3
B
M
c
LUYỆN TẬP
26
27
Chứng minh định lí : Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyển ứng với hai cạnh bèn thì bằng nhau.
Giải
Tam giác ABC cân tại A, có BM và CN là các đường trung tuyến ứng với cạnh bên, ta chứng minh BM = CN.
Ta có : AB = AC (AABC cân tạị A)
CM = 4t
2
BN =
2
(M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB)
Suy ra : BN = CM.
Xét ANBC và AMCB có : BN = CM
NBC = MCB (AABC cân tại A)
BC (cạnh chung)
Suy ra : ANBC = AMCB (c.g.c) => CN = BM.
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Giải
Cho AABC có BM và CN là các đường trung tuyến và BM = CN. Ta chứng minh AABC cân tại A.
Gọi G là trọng tâm của AABC, ta có :
9	1
GB = ^BM, GM = 4bM
3	3
9	1
GC = ±CN, GN = 4cN
3	3
(tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
Mà : BM = CN
Suy ra : GB = GC
GM = GN
BGN = CGM (đối đỉnh)
Nên AGBN = AGCM (c.g.c)	=> BN = CM
(	AR	Aí?^
Suy ra : AB = AC BN = ^, CM = ^
2	2 J
Vậy AABC cân tại A.
28 Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
Chứng minh ADEI = ADFI.
Các góc DIE và góc DIF là những góc gì ?
Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.
Giải
Xét ADEI và ADFI, ta có :
DE = DF (ADEF cân tại D)
DI (cạnh chung)
IE = IF (I là trung điểm EF)
Suy ra : ADEI = ADFI (c.c.c).
Ta có : DĨÈ = DIF (ADIE = ADIF)
Mà : DIE + DIF = 180° (hai góc kề bù)
Suy ra : DIE = DIF =	= 90°.
2
X	VT _ EF 10	
EI = —— = -A- = 5 (cm)
2
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông DIE, ta có :
DE2 = DI2 + IE2 =>	132 = DI2 + 52
=} DI2 = 169 - 25 = 144	=> DI = 12 (cm).
29
Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng :
GA = GB = GC.
Hướng dẫn : Áp dụng định lí ở bài tập 26.
Giải
AABC đều nên các đường trung tuyến AM, BN, CP bằng nhau (xem bài 26).
9
Ta có : GA = =- AM
3
9
GB = 5BN
3
9
GC = ^CP
3
(tính chất ba đường trung tuyến)
Vậy : GA = GB = GC.
30 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'.
So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyên của tam giác ABC.
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh
MB = MC (M là trung điểm BC)
MG’ = MG (MG = ị AG, GG' = AG => MG = ỈGG')
2	2
BMG’ = CMG (đối đỉnh)
9. Suy ra : AMBG’ = AMCG (c.g.c) => BG’ = CG mà CG = -ỆCP
3
2
Vậy : BG’ = ^CP.
3
Kết luận : Độ dài các cạnh ABGG’ lần lượt bằng độ dài các đường
 trung tuyến của AABC.
ABGG’ có các trung tuyến BM, GR, G’S.
Ta có : BM = (M là trung điểm BC)
2
Xét AGAN và GG'S, ta có : GN = GS I = I
( 2 )
GA = GG’ (= 2GM)
SGG’ = NGÃ (đối đỉnh)
Suy ra : AGAN = GG’S (c.g.c)
AC
=> G’S = AN mà AN = —- (N là trung điểm AC)
2
Vậy : G’S =	•
2