Giải bài tập Toán 7 BÀI TẬP CUỐI NĂM

BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM
A. PHẦN ĐẠI SỐ
Thực hiện các phép tính :
JHoq.A' iocÌ-ÍM 4 V23 107 128Ì <2	3 A	25 J <2 10 3; <10 25 100J
- f1 , 4 4¥23 107 32^
” u + 5 3JU0 + 25 25J
_ 615 + 24-40^ <23 75^1
"I 30	A10 + 25j
= f _ _Li f — + 3Ì = Í	Ì f23 + 30i
" [ 30/110 + J A 30 A 10 j
= 120 + 1 + ị = 1214.
3
|~2~] Với giá trị nào của X thì ta có :
IXI + X = 0	b) X + IXI = 2x.
Giải
|x|+x = o IXI = -X X < 0
Vậy : X < 0 thì IXI + X = 0
x+|x|=2x	 IXI = 2x - X IXI = X X > 0
Vậy với X > 0 thì X + IXI = 2x.
Từ tỉ lệ thức 7- = 4 (a * c, b * ±d) hãy rút ra tỉ lệ thức :
b d
a + c _ b + d
a - c b - d
Giải
a	c	a + c	a-c	a + c	b + d	,	, J.
— =	4	=	;	-	——-7	=>	—— =	■ - -—Ị	(với	a	*	c, b	# ±d)
b	d	b + d	b-d	a-c	b-d
Ba	đơn vị kinh doanh	đầu tư vôn tỉ lệ	với 2; 5 và	7.	Hỏi	mỗi đơn vị
được chia bao nhiêu lãi nếu số tiền lãi là 560 triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với vốn đầu tư ?
Giải
Gọi X, y, z là số tiền lãi của mỗi đơn vị.
Ta có :
= 40 (triệu)
x_y_z_x+y+z_ 560
2 - 5 7 ~ 2 + 5 + 7 - TT
Suy ra : X = 2.40 = 80 (triệu)
y = 5.40 = 200 (triệu)
z = 7.40 = 280 (triệu).
Cho hàm số : y = -2x + ỉ. Các điểm sau đây có thuộc đồ thị hàm
số không ?
A| 0; ịl B| ị;-2 I, cfị; 0 I.
I. 3/ 12	/ <6 )
Giải
aÍơ; lì .
l 3j
Với X = 0, ta có y = -2.0 + I - I, bằng tung độ điểm A.
Vậy điểm A thuộc đồ thị hàm số.
bÍỈ; -2Ì
12
Với X = ị, ta cổ y = -2.4 + 4 = -1 + 4 - —- , khác tung độ điểm B.
2	2 3	3	3
Vậy điểm B không thuộc đồ thị hàm số.
cíẻỉ °ì
16 )
Với X = 4, ta có y = -2.4 + 4 = ~4 + 4 = O> bằng tung độ điểm c.
6	6 3	3 3
Vậy điểm c thuộc đồ thị hàm số.
Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax đi qua điểm M(-2; -3). Hãy tìm a.
Giải
M(-2; -3) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên : -3	.3
-3 = a.(-2) => a = -4 =	= 1,5.
-2 2
Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 đến 10 tuổi đang học Tiểu học ở một số vùng của nước ta :
87,81
98,76
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Đồng bằng sông Cửu Lon
Tây Nguyên
Bắc Trung bộ
Đông Bắc
Đồng bằng sông Hồng
Hãy cho biết :
Tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 tuổi đến 10 tuổi của vùng Tây Nguyên, vùng đồng bằng sông Cửu Long đi học Tiểu học.
Vùng nào có tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 tuổi đến 10 tuổi đi học Tiểu học cao nhất, thấp nhất.
Giải
a) Tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 tuổi đến 10 tuổi đi học Tiểu học của :
Vùng Tây Nguyên là 92,29%.
Vùng đồng bằng sông Cửu Long là 87,81%.
Vùng có tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 tuổi đến 10 tuổi đi học Tiểu học :
Cao nhất là đồng bằng sông Hồng : 98,76%.
Thấp nhất là đồng bằng sông Cửu Long : 87,81%.
Để tìm hiểu về sản lượng vụ mùa của một xã, người ta chọn ra 120 thửa ruộng để gặt thử và ghi lại sản lượng của từng thửa (tính theo tạ/ha). Kết quả được tạm sắp xếp như sau :
Có 10 thửa đạt năng suất 31 tạ/ha
Có 20 thửa đạt năng suất 34 tạ/ha
Có 30 thửa đạt năng suất 35 tạ/ha
Có 15 thửa đạt năng suất 36 tạ/ha
Có 10 thửa đạt năng suất 38 tạ/ha
Có 10 thửa đạt năng suất 40 tạ/ha
Có 5 thửa đạt năng suất 42 tạ/ha
Có 20 thửa đạt năng suất 44 tạ/ha.
Dấu hiệu ở đây là gì ? Hãy lập bảng "tần số".
Biểu diễn bằng biểu đồ đoạn thẳng.
Tìm mốt của dấu hiệu.
Tính số trung bình cộng của dấu hiệu.
Giải
Sản lượng (x)
Tần số (n)
31
10
34
20
35
30
36
15
38
10
40
10
42
5
44
20
N = 120
a) Dấu hiệu ở đây là sản lượng của từng thửa (tạ/ha).
Bảng tần số :
Mốt của dấu hiệu : Mũ = 35.
Số trung bình cộng của dấu hiệu :
- _ 31.10 + 34.20 + 35.30 + 36.15 + 38.10 + 40.10 + 42.5 + 44.20 120
* 37,1 (tạ/ha).
—	■>	2	1
Tính giá trị của biểu thức 2,7c2 - 3,5c lần lựợt tại c = 0,7; -- và 1—.
I_^J	6 t	3	6
Giải
Với c = 0,7, ta có :
2,7.0,72 - 3,5.0,7 = 1,323 - 2,45 = -1,127.
2
Với c = ^ , ta có :
3
27f2Ỹ	5 2 _ 27 4 35 2 _ 6 7 = 18 - 35 _ 17
’ w	’ '3 10’9 10’3 “ 5 3 - 15 “ 15 ■
Với c = 1— = — , ta có :
6 6
onf7f or 7	27 49	35 7	147	49	441-490	49
6	10 36	10 6	40	12	120	120
Cho các đa thức : A = X2 - 2x - y2 + 3y - 1;
B = -2x2 + 3y2 - 5x + y + 3;
c = 3x2 - 2xy + 7y2 - 3x - 5y - 6.
■■■MI
Tính :
a) A + B - c	b) A - B + c	c)-A + B + C
Giải
A + B - c = X2 - 2x - y2 + 3y - 1 + (-2x2 + 3y2 - 5x + y + 3)
- (3x2 - 2xy + 7y2 - 3x - 5y - 6) = X2 - 2x - y2 + 3y - 1 - 2x2 + 3y2 - 5x + y + 3
- 3x2 + 2xy - 7y2 + 3x + 5y + 6 = -4x2 - 4x - 5y2 + 9y + 2xy + 8
A - B + c = X2 - 2x - y2 + 3y - 1 - (-2x2 + 3y2 - 5x + y + 3)
+ (3x2 - 2xy + 7y2 - 3x - 5y - 6) = X2 - 2x - y2 + 3y - 1 + 2x2 - 3y2 + 5x - y - 3
+ 3x2 - 2xy + 7y2 - 3x - 5y - 6 = 6x2 - 2xy + 3y2 - 3y - 10
-A + B + c = —(x2 - 2x - y2 + 3y - 1) + (-2x2 + 3y2 - 5x + y + 3)
+ (3x2 - 2xy + 7y2 - 3x - 5y - 6) = -X2 + 2x + y2 - 3y + 1 - 2x2 + 3y2 - 5x + y + 3
+ 3x2 - 2xy + 7y2 - 3x - 5y - 6 = lly2- 6x - 7y- 2xy - 2.
Tìm X biết :
(2x - 3) - (x - 5) = (x + 2) - (x - 1)
2(x - 1) - 5(x + 2) = -10.
Giải
(2x - 3) - (x - 5) = (x + 2) - (x - 1)
	2x-3-x + 5 = x + 2- x + l « X + 2 = 3 	X = 1
2(x - 1) - 5(x + 2) = -10 2x - 2 - 5x - 10 = -10
	-3x - 12 = -10 	-3x = 2
2
 X =
3
Tìm hệ số a của đa thức P(x) = ax2 + 5x - 3, biết rằng đa thức này có một nghiệm là i .
Giải
Ta có pị 4j - 0 nên : a.i4i + 5.4-3 = 0 
I2J I2J 2
a = 2.
a) Tìm nghiệm của đa thức : P(x) = 3 - 2x.
b) Hỏi đa thức Q(x) = X2 + 2 có nghiệm hay không ? Vì sao ?
Giải
Q
a) Ta có : P(x) = 0 o 3 - 2x = 0	-2x = -3 X = —
b) Do X2 > 0 nên X2 + 2 > 0. Do đó Q(x) > 0. Vậy đa thức Q(x) = X2 + 2 không có nghiệm.
. M
b
B. PHẦN HÌNH HỌC
1 Cho điểm M và hai đường thẳng a, b
không song song với nhau (hình bên).
a) Vẽ đường thẳng MH vuông góc với a
(H e a), MK vuông góc với b (K e b). Nêu cách vẽ.
Qua M vẽ đường thẳng xx' song song với a và đường thẳng yy' song song với b. Nêu cách vẽ.
Giải
y'
Viết tên các cặp góc bằng nhau, bù nhau.
a) - Vẽ cung tròn tâm M cắt đường thẳng a tại A và B.
- Vẽ hai cung tròn tâm A, tâm B cùng bán kính cắt nhau tại c.
- Vẽ đường thẳng qua MC. Đường “x "	/
thẳng MC vuông góc đường thẳng
a tại H.	'
Tương tự ta vẽ được đường thẳng MK vuông góc đường thẳng b.
- Qua M vẽ đường thẳng XX vuông góc với đường thẳng MC (tương tự cách vẽ ở câu a)
- Tương tự qua M vẽ đường thẳng yy' vuông góc với đường thẳng MK ta có : yy' // b.
- Các cặp góc bằng nhau : xMỹ = y'Mx' (đối đỉnh)
H = K = 90°
- Các cặp góc bù nhau :
H và K;
yMx' và x'My';
xMy' và x'My'.
xMy và xMy';
xMy và yMx';
a)
Xem hình bên.
Giải thích vì sao a // b.
Tính số đo góc NQP.
Ta có :
Giải
a 1 MN, b 1 MN
a // b (cùng vuông góc với MN).
M
b
p/ a
yMx' = xMy'
o
với đường thẳng a và đi qua điểm O).
132» b
b) Ta có : NQP + MPQ - 180° (góc trong cùng phía)
=> NQP + 50° - 180° => NQP = 180° - 50° = 130°.
Hình bên cho biết :
a//b, C - 44°, D = 132°.	/
Tính số đo góc COD.	0
(Hướng dẫn : Vẽ đường thẳng song song
■ c	Giải
44/
/	Vẽ đường thẳng c qua o và song song với a,
ỉ	C suy ra c // b.
Ta có : Ô1 - C = 44° (so le trong và a // c)
Ơ2 + D = 180° (góc trong cùng phía và c // b)
=> Ô2 = 180° - 132° = 48°
Vậy : COD = Ô1 + Ô2 = 44° + 48° = 92°.
4 Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi c là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng :
a) CE = OD	b) CE 1 CD	c) CA = CB
CA // DE	e) Ba điểm A, B, c thẳng hàng.
Giải
a) Ta có : CE // Ox (cùng vuông góc Oy)
DC // Oy (cùng vuông góc Ox)
Suy ra : Ê1 = D2 (so le trong)
Ẽ2 = D1 (so le trong)
Xét ADOE và AECD, ta có : Ê1 = D2
DE (cạnh chung) E2 = D1
Nên : ADOE = AECD (g.c.g)	=> CE = OD.
Ta có : DCE = DOE (ADOE = AECD) mà DÕẼ = 90°
=> DCE = 90° hay CE 1 CD.
Ta có : CA = co (C thuộc đường trung trực của OA)
CO = CB (C thuộc đường trung trực của OB)
Vậy : CA = CB.
Hai tam giác vuông ADC và ECD có : CD chung
CE = AD (= OD)
Nên : AADC = AECD
Do đó : ACD - CDE và hai góc ở vị trí so le trong
Vậy : AC // DE.
Chứng minh tương tự câu d, ta có : BC // DE.
Như vậy, qua c có AC và BC cùng song song với DE. Do đó, theo
5 Tính số đo X trong mỗi hình dưới đây :
AB//CD
tiên đề ơ-clit, ta có hai đường thẳng AC và BC trùng nhau. Vậy ba điểm A, c, B thẳng hàng.
AB//ED
Hình a	Hĩnh b	Hình c
Giải
• Hình a
Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC nên là tam giác vuông cân, do đó :
ACB = ABC = 45°
Tam giác CBD có CB = CD nên là tam giác cân, do đó :
CBD = CDB = X
Mặt khác ACB = CBD + CDB (góc ngoài tam giác CBD)
=>	45° = X + X => 2x = 45° => X = 22°30’
Hình b
Qua c kẻ t't // AB suy ra t’t // DE (do I
X = CĐE = tCD (so le trong)
= BCD - BCt = 112° - BCt
Mà : BCt = ABC = 27° (so le trong)
Vậy : X = 112° - 27° = 85°.
Hỉnh c
Ta có AB // CD nên :
BCD = ABC = X (so le trong)
DCy = BAC = 67° (đồng vị)
Do BA = BC nên AABC cân tại B, do đó : /	\ /
	 J■	/	. W67° BCA = BAC = 67°	A	——C	ỹ ■
GBT Toán 7/2	105
<
Từ đó : ABC + BAC + BCA = 180°
X = 180° - 134° = 46°.
=> X + 67° + 67° = 180° =}
6 Cho tam giác cân ADC (AD = DC) có ACD = 31°. Trên cạnh AC lấy một điểm B sao cho ABD = 88°. Từ c kẻ một tia song song với BD cắt tia AD ở E.
Hãy tính các góc DCE và góc DEC.
Trong tam giác CDE, cạnh nào lớn nhất ? Tại sao ?
Giải
a) • Ta có : BCE = ABD (đồng vị) => X + 31° = 88°
=> X = 88° - 31° = 57°
Vậy : DCE = 57°.
• Ta có AADC cần tại D nên DAC = DCA = 31°
DEC + ECA + DAC = 180° (tổng ba góc trong tam giác)
=> DEC + 31° + 57° + 31° = 180°
=> DEC = 180°-119° = 61°.
b) Ta có : EDC = 180° - (DCE + DEC) (tổng ba góc trong tam giác)
=>	EDC = 180° - (57° + 61°)
=>	EDC = 180° - 118° = 62°
Từ đó : DCE < DEC < EDC
Vậy cạnh EC là lớn nhất (liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).
Từ một điểm M trên tia phân giác của góc nhọn xOy, kẻ đường vuông góc với cạnh Ox (tại A), đường thẳng này cắt cạnh Oy tại B.
a) Hãy so sánh hai đoạn thẳng OA và MA.
Giải
(OM là đường phân
b) Hãy so sánh hai đoạn thẳng OB và OM.
a)
Ta có : Ô,=ỉ2ỵ
2
giác của xOy)
Do xOy là góc nhọn nên Ô1 < 45°
Trong tam giác vuông OAM có 01 45° (vì 01 + ẤMÕ = 90°)
b)
Vậy : OA > AM (liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác). Trong tam giác OMB ta có 0MB là góc tù (vì AM0 là góc nhọn và AM0 + 0MB = 180°) => cạnh OB đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất. Vậy : OB > OM.
Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H 6 BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng :
b) BE là trung trực của đoạn thẳng AH. d) AE < EC.
a) AABE = AHBE.
EK = EC.
Giải
à)
b)
c)
d)
Hai tam giác vuông ABE và HBE có :
BC (cạnh chung)
Bl - Bz (BE là đường phân giác của ABC)
Suy ra : AABE = AHBE (cạnh huyền và góc vuông)
Ta có : BA = BH (AABE = AHBE)
EA = EH (AABE = AHBE)
Vậy BE là đường trung trực của AH.
Hai tam giác vuông KAE và CHE có :
AE = EH
ẤẼK = HEC (đối đỉnh)
Nên AKEA = ACHE (g.c.g) => EK = EC.
Ta có
Mà :
Vậy :
: AE < EK (đường vuông góc và đường xiên)
EK = EC (cmt)
AE < EC.
A
Chứng minh rằng : Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại A. ứng dụng : Một tờ giấy bị rách ở mép (hình bên). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc với cạnh AB tại A.
Giải
BC
Cho AABC có đường trung tuyến AM = Chứng minh AABC 2
vuông tại A.
Ta có : MA = MB = MC
Do MA = MB nên AMAB cân tại M, suy ra : MBÃ = Â1	(1)
Tương tự AMCA cân tại M, suy ra :
MCA - Â2	(2)
Từ (1) và (2), ta có :
BAC = Â1 + Â2 = MBA + MCA
Mà : A + B + c = 180°
hay AABC vuông tại A.
Suy ra : 2A = 180°
Ung dụng :
Vẽ cung tròn tâm A, bán kính r
10
Vẽ cung tròn tâm B, bán kính r
Gọi c là giao điểm của hai cung tròn ở phía trong tờ giấy bị rách.
Trên tia BC lấy điểm D sao cho BC = CD.
Nối DA.
Theo chứng minh trên ta có AABD vuông tại A.
Giải
Sử dụng bài tập 69.
Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với a tại p, cắt b tại Q.
Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với b tại R, cắt a tại s.
Cho hình bên. Không vẽ giao điểm của a, b, hãy nêu cách vẽ đường thẳng đi qua giao điểm này và điểm M.
- Vẽ đường thẳng c qua M vuông góc với RS.
Khi đó, đường thẳng c qua giao điểm của hai đường thẳng a và b.
11 Đố : Cho tam giác ABC. Em hãy tô màu để xác định phần bên trong của tam giác gồm các điểm M sao cho MA < MB < MC.
(Hướng dẫn : Trước tiên tô màu để xác định các điểm M ở trong tam giác mà MA < MB; lần thứ hai là MB < MC. Phần trong tam giác được tô màu hai lần là phần phải tìm).
Giải
Áp dụng bài tập 70.
Kẻ các trung trực AB, AC.
Tô màu để xác định điểm M trong tam giác sao cho MA < MB.
Lần thứ hai tô màu để xác định điểm M trong tam giác sao cho MB < MC.
Phần trong tam giác được tô màu hai lần là phần phải tìm.