Giải bài tập Toán 7 Bài 8. Tình chất ba đường trung trực của một tam giác

§8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRƯC
CỦA TAM GIÀC
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1
?2
Em hãy vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh tính chất : Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.
Hướng dẫn
/
K
Hình vẽ :
/
\
GT
AABC cân tại A
AI là đường trung trực
/
\
KL
AI là đường trung tuyến
L	1	
B
LI	1	A
C
Chứng minh : Vì AI là trung trực của tam giác ABC nên IB = IC. Vậy AI cũng là trung tuyến của tam giác ABC.
Dùng thước và compa, dựng ba đường trung trực của một tam giác (xem mục 3, §7). Em có nhận thấy ba đường này cùng đi qua một điểm không ?
Hướng dan
Học sinh tự dựng hình.
Nhận xét : Ba đường trung trực này cùng đi qua một điểm.
GIẢI BÀI TẬP
52 Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thỉ tam giác đó là một tam giác cân.
Giải
Cho AABC có AH là đường trung tuyến và là đường trung trực của BC. Chứng minh AABC cân tại A.
Do đường trung trực của BC vuông góc với BC tại trung điểm H của BC và đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực của cùng một cạnh BC nên A thuộc đường trung trực của BC, do đó AB = AC.
Vậy AABC cân tại A.
53
Giải
Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng (xem hình). Phải chọn vị trí của giếng ở đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau ?
Gọi I là vị trí của giếng;. A, B, c là vị trí của ba căn nhà.
Ta có : IA = IB = IC
Do IA = IB nên I thuộc đường trung trực của AB
IB = IC nên I thuộc đường trung trực của BC
Suy ra I là giao điểm hai đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC. Đó là vị trí của giếng cần xác định.
(Ghi chú : Ta chỉ cần xác định giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh tam giác vì theo định lí ba đường trung trực của tam giác sẽ cùng đi qua một điểm).
LUYỆN TẬP
54 Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau :
a) A, B, C đều nhọn.	b) A = 90°.	c) A > 90°.
Giải
Cách dựng :
- Dựng đường trung trực của cạnh BC.
Dựng đường trung trực của cạnh AB.
Hai đường trung trực này cắt nhau tại o.
- Dựng đường tròn (O; OB).
Chứng minh :
Ta có : OB = oc (O thuộc đường trung trực của BC) oc = OA (O thuộc đường trung trực của AC)
Suy ra : OA = OB = oc
Vậy A, B, c thuộc đường tròn (0).
b)
c)
55
Nhận xét :
A, B, C đều nhọn, tâm đường tròn ngoại tiếp AABC nằm bên trong tam giác (hình a).
A = 90°, tâm đường tròn ngoại tiếp AABC thuộc cạnh BC (hình b).
A > 90°, tâm đường tròn ngoại tiếp AABC nằm bên ngoài tam giác (hình c).
Cho hình bên.
Chứng minh ba điểm B, c, D thẳng hàng.
Gợi ỷ : Chứng minh ADB + ADC = 180°.
Giải
Ta có DI ± AB tại trung điểm I của AB nên DI là đường trung trực của AB, suy ra DA = DB.
Xét hai tam giác vuông DIB và DIA, ta có :
DB = DA ■
IB = IA
Do đó : ADIB = ADIA
Suy ra : IDB = IDA hay ADB = 2IDA
[DI1AB
Mặt khác: -í À „ => KA 1 AB
DI // AK mà DK 1 AK
Chứng minh tương tự, ta có : ADC = 2ADK Từ đó : ẤDB + ẤDC = 2(ĨDẦ + ADK) = 2IDK
Do đó : DK 1 DI hay IDK = 90°
Suy ra : ADB + ADC = 2.90° = 180° hay BDC = 180° Vậy ba điểm B, D, c thẳng hàng.
Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng : Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.
Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.
Giải
Theo bài 55, AABC vuông tại A.
Ta có DB = DA = DC, do đó D cách đều ba đỉnh của tam giác vuông ABC.
Mà B, D, c thẳng hàng và DB = DC nên D là trung điểm của BC.
Vậy điểm cách đều ba đỉnh của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.
Ta có AD là trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông nên :
AD = DB = DC = —
2
Vậy độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa độ dài cạnh huyền.
Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (xem hình). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này ?
Giải
Đặt chi tiết máy lên giấy, vẽ đường viền bên ngoài lên giấy.
Xác định trên cung tròn vừa vẽ ba điểm
A, B, c.
Vẽ đường trung trực của AB và BC cắt nhau tại o là tâm của cung tròn.
Đo độ dài đoạn thẳng OA là bán kính của đường viền chi tiết máy.