Giải bài tập Toán 7 Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - Bất đẳng thức tam giác

§3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GlÀc
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1
?2
Hãy thử vẽ tam giác với các cạnh có độ dài lem, 2cm, 4cm. Em có vẽ được không ?
Hướng dẫn
Không thể vẽ được tam giác có độ dài lem, 2cm, 4cm.
Hướng dẫn
GT
AABC
KL
AB + AC > BC
BC + AC > AB
AB + BC > AC
Dựa vào hình bên, hãy viết giả thiết, kết luận của định lí.
?3
Em hãy giải thích vì sao không có tam giác với ba cạnh có độ dài lcm, 2cm, 4cm (xem ?1 ).
Hướng dẫn
Không có tam giác với ba cạnh có độ dài lem, 2cm, 4cm vì trong tam giác đó có tổng độ dài hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại.
GIẢI BÀI TẬP
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế :
a) 2cm, 3cm, 6cm b) 2cm, 4cm, 6cm c) 3cm, 4cm, 6cm.
Giải
Các bộ ba đoạn thẳng có độ dài ở câu a và b không thể là ba cạnh
của tam giác vì :
2 + 3<6 b) 2 + 4 = 6
Bộ ba 3cm, 4cm, 6cm là độ dài ba cạnh của tam giác do 6 < 3 + 4.
16
Cho tam giác ABC có hai cạnh BC = 1cm, AC = 7cm.
Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì ?
Giải
A AB, BC, AC phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên : Ạ
Từ đó : AB = AC
Vậy AABC cân tại A.
17 Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm-của đường thẳng BM và cạnh AC.
So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.
So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.
Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.
Giải
a) Ta có : MA < MI + IA (bất đẳng thức trong AAMI)
b)
c)
Suy ra : MA + MB IB (bất đẳng thức trong ABIC)
Suy ra : IA + IC + CB > IA + IB Vậy : CA + CB > IA + IB (2)
Từ (1) và (2), ta có : MA + MB < CA
LUYẸN TẠP
18 Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau :
a) 2cm; 3cm; 4cm
b) lcm; 2cm; 3,5cm
a)
b)
c)
19
20
a)
c) 2,2cm; 2cm; 4,2cm.
Hãy vẽ các tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích.
Giải
Vẽ AABC có AB = 3cm, AC = 2cm, BC = 4cm. 3cm
Không vẽ được vì : 1 + 2 < 3,5.
Không vẽ được vì : 2,2 + 2 = 4,2.
Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.
A
2cm
c
B
4cm
Giải
Giả sử AABC cân tại A có độ dài hai cạnh là 3,9cm và 7,9cm.
Cạnh đáy BC không thể bằng 7,9cm vì khi đó :
AB = AC = 3,9cm.
Suy ra : AB + AC = 7,8 < BC (vô lí).
BC = 3,9cm, do đó AB = AC = 7,9cm
Chu vi tam giác : AB + AC + BC = 7,9 + 7,9 + 3,9 = 19,7cm.
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác :
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H e BC).
Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác’ vuông ở §1 để chứng minh AB + AC > BC.
Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Giải
AABH vuông tại H nên AB > BH (AB đối diện với góc vuông nên AB là cạnh lớn nhất).
Tương tự, AAHC vuông tại H nên AC > HC
B
c
63
Từ đó : AB + AC > BH + HC
Vậy : AB + AC > BC.
BC > AB
BC > AC
Do BC là cạnh lớn nhất (giả thiết) nên :
BC + AC > AB
' BC + AB > AC
21 Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bên bờ sông tại hai địa điểm A và B (hình dưới).
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm c để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
Ta có : AC + CB > AB (bất đẳng thức tam giác)
Dấu "=" xảy ra khi c thuộc đoạn thẳng AB.
Vậy độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất khi địa điểm c thuộc đường thẳng nối điểm A và điểm B (A, B; c thẳng hàng).
22 Ba thành phố A, B, c là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng : AC = 30km, AB = 90km (hình bên).
Nếu đặt ở c máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không ? Vì sao ?
Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km ?
Giải
Ta có : BC > AB - AC
9y
=> BC > 90 - 30	z	
”” „ ,	c
=> BC > 60 (km)	~g
Như vậy thành phố B cách địa điểm đặt máy khoảng cách lớn hơn 60km nên với máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phôz B không nhận được tín hiệu.
Ta có : BC BC BC < 120 (km)
Thành phố B cách địa điểm đặt máy nhỏ hơn 120km nên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km thì thành phố B nhận được tín hiệu.