Giải bài tập Toán 7 Bài 7. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
§7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRựC CỦA MỘT ĐOẠN THANG BÀI TẬP VẬN DỰNG LÍ THUYẾT ?1 Hãy viết giả thiết, kết luận của định lí. Hướng dẫn Hình vẽ : d M GT d là đường trung trực của đòạn thẳng AB MA = MB . z KL Med / ~1 , X A B GIẢI BÀI TẬP 44 Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu ? Giải Ta có : MA = MB (M thuộc đường trung trực của AB) Vậy : MB = 5cm. 45 Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ < như trong hình bên đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN. Gợi ý : Sử dụng định lí đảo. Giải Ta có : PM = PN (bán kính hai cung tròn bằng nhau) nên p thuộc đường trung trực của MN. Tương tự Q thuộc đường trung trực của MN (QM = QN). Vậy PQ là đường trung trực của MN. 46 Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng. Giải Do AABC cân tại A => AB = AC Do đó A thuộc đường trung trực của BC. ADBC cân tại D => DB = DC Do đó D thuộc đường trung trực của BC. AEBC cân tại E => EB = EC Do đó E thuộc đường trung trực của BC. Vậy A, D, E thẳng hàng (A, D, E thuộc đường trung trực của BC). LUYỆN TẬP 47 Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh AAMN = ABMN. Giải Ta có : MA = MB (do M thuộc đường trung trực của AB) NA = NB (do N thuộc đường trung trực của AB) MN (cạnh chung) Vậy : AAMN = ABMN (c.c.c). 48 Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN. Giải Do M và L đối xứng nhau qua xy nên xy là đường trung trực của MN. Điểm I thuộc xy, do đó : IM = IL Suy ra : IM + IN = IL + IN Mà : IL + IN > LN (bất đẳng thức tam giác) Vậy : IM + IN > LN. 49 Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điếm A và B (hình bên). Hậy tìm cạnh bờ sông một địa điểm c để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất. Giải Theo bài 48, ta có : CA + CB > BA' (A' là điểm đối xứng của A qua (d)) Dấu "=" xẫy ra khi c trùng với C' (C thuộc đoạn BA') Vậy để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất, ta xây dựng tại địa điểm C' (trong đó C' là điểm nằm trên đường thẳng BA' với A' là điểm đối xứng của A qua bờ sông (d)). 50 Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư (xem hình). Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư. Giải A (Khu dân cư) d \y R (3)\ (1) AV ỹ/B (2)' x(2) (1) Để xây dựng trạm y tế cách đều hai địa điểm dân cư A và B, nghĩa là CA = CB, do đó c thuộc đường trung trực của AB. Ta xác định địa diêm c nằm trên đường trung trực của đoạn thảng AB (đoạn nối hai địa điểm A và B của khu dân cư). 51 Cho đường thăng d và diêm p không nằm trên d. Hình bên minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm p và vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau : Vẽ đường tròn tâm p với bán kính thích hợp sao cho nó cắt d tại hai điểm A và B. Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là c (C * P). Vẽ đường thẳng PC. Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d. Đố : Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa). Giải Ta có : PA = PB (A, B thuộc đường tròn tâm (P)) CA = CB (C thuộc đường tròn tâm A và B có bán kính bằng nhau) Vậy PC là đường trung trực của AB Do đó : PC ± AB. Cách dựng khác Lấy điểm A bất kì trên d. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AP cắt d tại B. c (2) (3) GBT Toán 7/2 Vẽ đường tròn tâm B, bán kính BP cắt đường tròn tâm A tại c (C Ạ P) - Vẽ đường thẳng. PC. Ta có PC 1 d. Thật vậy : AP = AC (bán kính đường tròn tâm A) BP = BC (bán kính đường tròn tâm A) Do đó AB là đường trung trực của PC nên AB 1 PC hay d ± PC.