SGK Toán 9 - Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chương I - HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Trong tam giác vuông, nếu biết hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn thì có thể tính được các góc và các cạnh còn lại của tam giác đó hay không ?
§1. Một số hệ thức vế cạnh
và đưòng cao trong tam giác vuông
Nhờ một hệ thức trong tam giác vuông, ta có thể "đo" được chiều cao của cây bằng một chiếc thước thợ.
Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b', BH = c' lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC (h.l).
Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
ĐỊNH LÍ 1
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A (h. 1), ta có
b2 = ab', c2 = ac'.	(1)
Chứng minh (h.l)
Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung z, ,	" HC AC
góc nhọn c nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó —— = —— suy ra AC BC
AC2 = BC.HC, tức là b2 = a.b'. Tương tự, ta có c2 = a.c'.
Ví dụ 1. (Định lí Py-ta-go - Một hệ quả của định lí 1)
Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC (h. 1), cạnh huyền a = b' + c', do đó
b2 + c2 - ab' + ac' = a(b' + c') = a . a = a2.
Như vậy, từ định lí 1, ta cũng suy ra được định lí Py-ta-go.
Một số hệ thức liên quan tới đường cao
ĐỊNH LÍ 2
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Cụ thể, với các quy ước ở hình 1, ta có
h2 = b’c'.	(2)
A	É
Hình 2
Xét hình 1. Chứng minh AAHB co ACHA. Tỉ? đó suy ra hệ thức (2).
Ví dụ 2. Tính chiều cao của cây trong hình 2, biết rằng người đo đứng cách cây 2,25m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là l,5m.
Giải. Ta có tam giác ADC vuông tại D, DB là đường cao ứng với cạnh huyền AC và AB - l,5m. Theo định lí 2, ta có
BD2 = AB.BC
tức là
(2,25)2 = 1,5 . BC, suy ra
BC = EvVdL = 3 >37 5 (m).
1,5
Vậy chiều cao của cây là
AC = AB + BC = 1,5 + 3,375 = 4,875 (m).
• Định lí 2 thiết lập mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông. Định lí 3 dưới đây thiết lập mối quan hệ giữa đường cao này với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông.
ĐỊNH LÍ 3
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Với các kí hiệu trong hình 1, kết luận của định lí 3 có nghĩa là
bc = ah.	(3)
Từ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức (3). Tuy nhiên, có thể chứng minh hệ thức (3) bằng cách khác.
hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.
Nhờ định lí Py-ta-go, từ hệ thức (3), ta có thể suy ra một hệ thức giữa
đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông. Thật vậy, ta có
, _ ,	, 2,2 _ ,2 2 Z, 2 , 2,, 2 _ ,2 2	1 b2 + c2
ah = be => a h = b c => (b +c)h =bc => — = —- . •
h2 b2c2
Từ đó ta có
111
7? ~ 7? +	? ■	(4)
h2 b2 c2
Hệ thức (4) được phát biểu thành định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 4
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ 3. Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.
Giải, (h.3)
Từ đó suy ra h2
62.82
62 +82
Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác này là h. Theo hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông, ta có
62.82 , _ 6.8 —-ị-> do đó h = —- = 4,8 (cm). 102 10
Chú ý. Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số do độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.
W Có thể em ehưa biết
Các hệ thức b (h.5)
 = ab', c2 = ac' (1) và h2 = b'c' (2) (xem hình 1) còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân.
Hệ thức (1) được phát biểu như sau :
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Tương tự, hệ thức (2) được phát biểu như sau :
Trong một tam giác vuông, đường cao ứng vởi cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Bài tạp
Hãy tính X và y trong mỗi hình sau : 1.	(h.4a, b)
a)
20
b)
Hình 4
Hình 5
3. (h.6)
Hình 6
4. (h.7)
Luyện tập
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân X của hai đoạn thẳng a, b (tức là X = ab) như trong hai hình sau :
Cách 1 (h.8)	Cách 2 (h.9)
Hình 8	Hình 9
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý. Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Tìm X và y trong mỗi hình sau :
a) (h.10)
Hình 11
c) (h.12)
Hình 12
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng
Tam giác DIL là một tam giác cân ;
Tổng —— +	— không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
DI2 DK2