SGK Toán 9 - Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây c ' Biết khoảng cách -từ tâm của đường tròn đến hai dây, có thể so sánh được độ dài của hai dây đó. 1. < ' / Bài toán Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O ; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ o đến AB, CD. Chứng minh rằng OH2 +HB2 = OK2 +KD2. Giải (h.68) Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông OHB và OKD, ta có : OH2 + HB2 = OB2 = R2, (1) OK2 + KD2 = OD2 = R2. (2) Từ (1) và (2) suy ra OH2 + HB2 = OK2 + KD2. Chú ý. Kết luận của hài toán trên vẫn đúng nếu một dây là đường kính hoặc hai dây là đường kính. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Hãy sử dụng kết quá của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng : Nếu AB = CD thì OH = OK. Nếu OH = OK thì AB = CD. Ta có định lí sau đây. ĐỊNH LÍ 1 Trong một đường tròn : Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Hãy sử dụng kết quá của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài: a) OH và OK, nếu biết AB > CD. b) AB và CD, nếu biết OH < OK. Ta có định lí sau đây. ĐỊNH LÍ 2 Trong hai dây của một đường tròn : Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Hình 69 Cho tam giác ABC, o là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69). Hãy so sánh các độ dài : BC và AC ; AB và AC. Bài tập Cho đường tròn tâm o bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm. Tính khoảng cách từ tâm o đến dây AB. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = lcm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng : EH = EK ; EA = EC. Luyện tập Cho đường tròn tâm o bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD. 15. Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là 0. Cho biết AB > CD. Hãy so sánh các độ dài : OH và OK ; / ME và MF ; / / A/ /2 16. c) MH và MK. E— Cho đường tròn (0), điểm A nằm bên \ ' ° \ Xr \ /K/ / trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc \ với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh F"~~ Hình 70 độ dài hai dây BC và EF.