SGK Toán 9 - Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp theo)

§8. VỊ trí tương đối của hai đưòng tròn (tiếp theo)
Các đoạn dây cua-roa AB, CD cho ta hình ảnh tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính
Trong mục này ta xét hai đường tròn (O ; R) và (O''; r) trongMó R > r.
BI
Hai đường tròn cắt nhau
Trên hình 90, hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B.
Ta có khẳng định sau :
Nếu hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau thì R - r < 00' < R + r.
Hãy chứng minh khẳng đinh trên.
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Trên hình 91, hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, khi đó tiếp điểm A nằm giữa o và 0'.
Hình 91
Trên hình 92, hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại A, khi đó điểm O' nằm giữa o và A.
Ta có các khẳng định sau :
Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài thì 00' = R + r. Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong thì 00' = R - r.
03 Hãy chứng minh các khẳng định trên.
Hai đường tròn không giao nhau
Trên các hình 93 và 94, hai đường tròn (O) và (O') không giao nhau. Trên hình 93, hai đường tròn ở ngoài nhau. Trên hình 94, đường tròn (O) đựng đường tròn (O'), trong trường hợp đặc biệt khi hai tâm trùng nhau (h.94b)
Ta chứng minh được các khẳng định sau :
Nếu hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau thì 00' > R + r.
Nếu đường tròn (O) đựng đường-tròn (O') thì 00' < R - r.
•Ta cũng chứng minh được điều đảo lại của các khẳng định ở các mục a, b, c nói trên.
Ta có bảng sau :
VỊ trí tương đối của hai đường tròn (O ; R) và (O' ; r) (R > r)
Số điểm chung
Hệ thức giữa 00' với R và r
Hai đường tròn cắt nhau
2
R-r<OO'<R + r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau :
Tiếp xúc ngoài
Tiếp xúc trong
1
OO' = R + r
00' = R - r > 0
Hai đường tròn không giao nhau :
(0) và (O') ở ngoài nhau
(0) đựng (O')
0
00’ > R + r
00' < R - r
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
Trên hình 95, các đường thẳng CỈỊ và d2 là các tiếp tuyêh chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O') (tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm). Trên hình 96, các đường thẳng m J và m2 là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O') (tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm).
Quan sát các hình 97a, b, c, d, trên hình nào có vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn ? Đọc tên các tiếp tuyêh chung đó.
b)
Hình 97
a)
Hình 98
c)
Trong thực tế, ta thường gặp những đồ vật có hình dạng và kết cấu liên quan đến những vị trí tương đối của hai đường tròn : bánh xe và dây cua-roa (h.98a), hai bánh răng khớp nhau (h.98b), líp nhiều tầng của xe đạp (h.98c).
Bài tập
Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O ; R) và (O' ; r) có 00' = d, R > r.
Vị trí tương đối của hai đường tròn
Số điểm chung
Hệ thức giữa d, R, r
(O ; R) đựng (O'; r)
d > R + r
Tiếp xúc ngoài
d = R-r
2
Cho đường tròn tâm o bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở c. Chứng minh rằng AC = CD.
Cho hai đường tròn đồng tâm o. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở c và D. Chứng minh rằng AC = BD.
Luyện tập
Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...) :
Tâm của các đường tròn có bán kính lcm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O ; 3cm) nằm trên ...
Tâm của các đường tròn có bán kính lcm tiếp xúc trong với đường tròn (O ; 3cm) nằm trên ...
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B e (O), c G (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
Chứng minh rằng BAC = 90°.
Tính số đo góc ÚIO'.
Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm.
Đô. Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được ? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được ?
Có thể em chưa biết
Vê chắp nối tron
Trên hình 100, ta có đoạn thẳng AB và cung BC của đường tròn tâm o, đoạn thẳng AB tiếp xúc với cung BC (vì AB 1 BO). Tại B, đường đi ABC "trơn" chứ không "gãy" (còn trên hình 101 : đoạn thẳng MN không tiếp xúc với cung NP, đường đi MNP bị "gãy" tại N). Ta nói đoạn thẳng AB được vẽ chắp nối trơn với cung BC.
Hình 100	Hình 101
Trên hình 102, cung AB của đường tròn tâm o tiếp xúc với cung BC của đường tròn tâm O' (vì các tiếp tuyến tại B của các đường tròn đó trùng nhau, khi đó ba điểm o, O', B thẳng hàng). Tại B, đường đi ABC cũng "trơn" chứ không "gãy" (còn trên hình 103 : cung MN không tiếp xúc với cung NP, đường đi MNP bị "gãy" tại N). Ta nói cung AB được vẽ chắp nối trơn với cung BC.
Hình 102
Trong kĩ thuật, nhiều khi ta phải vẽ chắp nối trơn một cung với một đoạn thẳng hoặc vẽ chắp nối trơn hai cung với nhấu. Các thanh đường ray xe lửa được
chắp nối trơn với nhau khi xe lửa đổi hướng từ đường thẳng sang đường cong (h.100) hoặc từ đường cong này sang đường cong khác (h.102).
Đường ray xe lửa, hình ảnh đường thẳng được chắp nối trơn với đường cong.
Em hãy tập vẽ chắp nối trơn để được các hình sau :
a) Hình "quả trứng".
Hình "quả trứng" (h.104) được tạo bởi bốn cung vẽ chắp nối trơn : nửa đường tròn ACB có đường kính AB, cung BE có tâm A, cung EF có tâm D, cung FA có tâm B (tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó).
b) Hình "trái xoan".
Hình "trái xoan" (h.105) được tạo bởi bốn cung vẽ chắp nối trơn : cung BC có tâm A, cung CE có tâm K, cung EF có tâm D, cung FB có tâm I (các tam giác ABC và DEF là các tam giác đều ; D, I, K là trung điểm các cạnh của tam giác ABC).