SGK Toán 9 - Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

§2. TỈ số lượng giác của góc nhọn
Trong một tam giác vuông, nếu biết tỉ số độ dài của hai cạnh thì có biết được độ lớn của các góc nhọn hay không ?
Khái niệm tỉ sô lượng giác của một góc nhọn
Mở đầu
Cho tam giác ABC vuông tại A. Xét góc nhọn B của nó. Nhắc lại rằng : Cạnh AB được gọi là cạ/ỉ/ỉ kề của góc B, cạnh AC được gọi là cạnh đối của góc B.
Ta cũng đã biết : Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số đo của một góc nhọn, hoặc các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn trong mỗi tam giác đó là như nhau (h. 13). Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn trong tam giác vuông đặc trưng cho độ lớn của góc nhọn đó.
Hình 13
Ql Xét tam giác ABC vuông tại A Cớ B = a. Chứng minh rằng AC
a - 45° o —— = 1;
AB
AC r-
a = 60° —— = Vi.
AB
Ngoài tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề, ta còn xét các tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối, cạnh đối và cạnh huyền, cạnh kề và cạnh huyền của một góc nhọn trong tam giác vuông. Các tỉ số này chỉ thay đổi khi độ lớn của góc nhọn đang xét thay đổi và ta gọi chúng là các tỉ sô' lượng giác của góc nhọn đó.
Định nghĩa
Hình 14
Cho góc nhọn a. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn a (ta có thể vẽ như sau : Vẽ góc a, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc a kẻ đường vuông góc với cạnh kia (h.14)), xác định cạnh đối và cạnh kề của góc ot. Khi đó :
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc a, kí hiệu sin a.
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc a, kí hiệu cos a.
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc a, kí hiệu tga (hay tan a/
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc a, kí hiệu cotga (hay cotaj.
Như vậy
cạnh đối
cạnh huyền
cạnh đối cạnh kề
cos a =
cotg a =
cạnh kề cạnh huyền ’
cạnh kề cạnh đối
cạnh huyền
Nhận xét. Từ định nghĩa trên, dễ thấy các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn luôn dương. Hơn nữa, ta có
since < 1, cos a < 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A có c = p. Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc p.
Ví dụ 1. (h.15). Ta có
. JCO _ . £ _ AC a sin 45 = sin B - ——
BC
aV2
V2
2
cos 45 = cosB = J§5= 2
AC
AB A
Ví dụ 2. (h.16). Ta CÓ
. Ano _ . B _ AC aV3 73 sin 60 = sin B =	= -A- ;
BC 2a 2
„ . £ AB 1 cos 60 = cos B - —— = — ;
BC 2
tg60°=tgB=^| = 73 ; cotg 60° = cotg B =	= 3 ■
tg45»=,gB = A£=.;
Q , AB , C0tg45 = cotgB = Ã^ = l.
Hình 16
• Như vậy, cho góc nhọn ot, ta tính được các tỉ số lượng giác của nó.
Ngược lại, cho một trong các tỉ số lượng giác của góc nhọn ct, ta có thể
dựng được góc đó.
2
Ví dụ 3. Dựng góc nhọn ơ, biết tg a - — ■
Giải, (h.17) Dựng góc vuông xOy. Lấy một
đoạn thẳng làm đơn vị. Trên tia Ox, lấy điểm A
sao cho OA - 2 ; trên tia Oy, lấy điểm B sao cho
OB = 3. Góc OBA bằng góc ơ cần dựng. Thật vậy,
.	OA 2
ta có tg a = tg OBA =	= ỹ •
Hình 17
Hình 18
Ví dụ 4. Hình 18 minh hoạ cách dựng góc nhọn p, khi biết sin p - 0,5.
Hãy nêu cáctỉ dựng góc nhọn p theo hình 18 và chứng minh cách dựng đó là đúng.
Chú ý. Nếu hai góc nhọn a và p có sin a = sin p (hoặc COS a = COS p, hoặc tg a = tg p, hoặc cotga = cotgP) thì a = p vì chúng là hai góc tương ứng của haí tam giác vuông đồng dạng.
TỈ sô lượng giác của hai góc phụ nhau
Hình 19
03 Cho hình 19. Hãy cho biết tổng số đo của góc a và góc p. Lập các tỉ số lượng giác của góc a. và góc p. Trong các tỉ số này, hãy cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.
Từ các cặp tỉ Số bằng nhau đó, ta rút ra
sin a = cos p, COS a = sin p, tg a = cotg p, cotg a = tg p.
Vì hai góc phụ nhau bao giờ cũng bằng hai góc nhọn của một tam giác vuông nào đó, nên ta có định lí sau đây về quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
ĐỊNH LÍ
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bảng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Ví dụ 5. Theo ví dụ 1, ta có
72
sin 45° = COS 45° = —- ; tg45° = cotg45° = 1.
Ví dụ 6. Ta có các góc 30° và 60° là hai góc phụ nhau. Do đó, theo ví dụ 2 và theo quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có
1	Vã
sin 30° = COS 60° = — ;	COS 30° = sin 60° = —— ;
ixzl
Qua ví dụ 5 và ví dụ 6, ta rút ra bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt như sau :
a
Tỉ số lượng giác
30°
45°
60°
sin a
1
2
Vĩ
2
V3
2
cos a
' Vĩ
2
V2
2
1
2
tga
V3
3
1
V3
cotga
Vĩ
1
V3
3
Hình 20
Vỉ dụ 7. Trong hình 20, cạnh y được tính như sau :
Ta có COS 30° =
do đó y=17cos30°
17
Chú ý. Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu " A " đi. Chẳng hạn, viết sin A thay cho sin A
Có thể em chưa biết
Bất ngờ về cỡ giấy A4
(21cm X 29,7cm)
Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của tờ giấy A4 xấp xỉ bằng \Ỉ2.
Giả sử tờ giấy A4 được minh hoạ trên các hình 21 và 22.
Nếu gấp tờ giấy theo các đường thẳng AC và BI (I là trung điểm của CD) thì ta sẽ có một góc hầu như vuông ! (h.21).
Nếu gấp tờ giấy theo đường phân giác BM của góc ABC, sau đó gấp tiếp theo đường phân giác BN của góc ABM thì điểm M sẽ trùng với điểm A ! (h.22)
A	D	AND
K	 	’	
\
\
\
\
\
\
/
/
/
/
\
\
\
\
\
\
s
\
\
I
/
/ *
/	z
/ '
/
/	z
'	z
\k,'Z
/ '
•
/	z
/ '
•
! /
X	\
✓ \
Hình 21	Hình 22
Bằng hiểu biết của mình, em có thể giải thích được các điều lí thú này đấy.
Bài tộp
Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34° rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34 .
Cho tam giác ABC vuông tại c, trong đó AC = 0,9m, BC = l,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.
Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ sô' lượng giác của các góc nhỏ hơn 45° :
sin 60°, COS 75°, sin52°30’, C0tg82°, tg80°.
Luyện tạp
Dựng góc nhọn ct, biết:
2	_	_	_	3	3
a) sin a = — ; b) COS a = 0,6 ; c) tg a = — ; d) cotg a = — •
Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng : Với góc nhọn a tuỳ ý, ta có
a) tg a =
sin a
cos a
cotg a =
cos a
sin a
tga.cotga = 1 ;
2 2
b) sin a + COS a = 1.
Gợi ý. Sử dụng định lí Py-ta-go.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc c.
Gợi ý. Sử dụng bài tập 14.
Cho tam giác vuông có một góc 60° và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60°.
Tìm X trong hình 23.