SGK Toán 9 - Bài 4. Vi trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

§4. Vị trí tương đối của đưòng thang và đưòng tròn
\ 1 /
Các vị trí của Mặt Trời so với đường chân trời cho ta hình ảnh ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Xét đường tròn (O ; R) và đường thẳng a. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ o đến đường thẳng a, khi đó OH là khoảng cách từ tâm o đến đường thẳng a.
Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung ?
Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và đường tròn mà ta có các vị trí tương đối của chúng.
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung A và B (h.71), ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau. Đường thẳng a còn gọi là cát tuyến của đường tròn (O).
Khi đó OH < R và HA = HB = Vr2 -OH2.
Hình 71
Hãy chứng minh khẳng định trên.
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung c, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) tiệp xúc nhau. Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm c gọi là t/êp điểm.
Khi đó H trùng với c, oc ± a và OH = R (h.72a).
Hình 72
Thật vậy, giả sử H không trùng với c, lấy điểm D thuộc đường thẳng a sao cho H là trung điểm của CD (h.72b). Khi đó c không trùng với D. Vì OH là đường trung trực của CD nên oc = OD. Ta lại có oc = R nên OD = R.
Như vậy, ngoài điểm c ta còn có điểm D cũng là điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O), điều này mâu thuẫn với giả thiết là đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung.
Vậy H phải trùng với c. Điều đó chứng tỏ rằng oc ± a và OH = R. Kết quả trên còn được phát biểu thành định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ
Nếu một đường thẳng tà tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung (h.73), ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.
Ta chứng minh được rằng OH > R.
Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn
Đặt OH = d, ta có các	kết luận sau :
Nếu đường	thẳng a	và đường	tròn (O) cắt nhau thì d < R.
Nếu đường	thẳng a	và đường	tròn (O) tiếp xúc nhau thì d =	R.
Nếu đường	thẳng a	và đường	tròn (O) không giao nhau thì d	> R.
Đảo lại, ta cũng chứng minh được :
Nếu d	< R	thì đường thẳng	a và đường tròn (O)	cắt nhau.
Nếu d	= R	thì đường thẳng	a và đường tròn (O)	tiếp xúc nhau.
Nếu d	> R	thì đường thẳng	a và đường tròn (O)	không giao nhau.
Ta có bảng tóm tắt sau :
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Số
điểm chung
Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
2
d<R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
1
d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
0
d>R
12 Cho đường thẳng a vờ một điểm o cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm o bán kính 5cm.
Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O) ? Vì sao ?
Gọi B và c là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC.
Bời tập
Điền vào các chỗ trống (...) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) :
R
d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
5cm
3cm .
6cm
Tiếp xúc nhau
4cm
7cm
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(3 ; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A ; 3) và các trục toạ độ.
Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có bán kính lcm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào ?
Cho đường tròn tâm o bán kính 6cm và một điểm A cách o là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.