Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Lũy thừa và các tính chất của lũy thừa
Chương II. HÀM số LŨY THỪA - HÀM số MŨ VÀ HÀM số LOGARIT Bài 1. LŨY THỪA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững Lũy thừa có số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương, a là một sô' thực, ta gọi lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa sô' bằng a, kí hiệu là an. a11 = ạ.a....ạ n thừa số Trong đó a là, thừa sô', n là sô' mũ. Với a * 0 thì a° = 1, a n = —-. an Phương trình xn = b n lẻ: với mọi sô' thực b, phương trình có nghiệm duy nhất. n chẵn: Nếu b < 0: phương trình vô nghiệm. Nếu b = 0: phương trình có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu b > 0: phương trình có hai nghiệm trái dấu. Căn bậc n Cho sô' nguyên dương n > 2 và sô' thực b. Nếu có sô' a sao cho a11 = b thì a là một căn bậc n của sô' b. Theo định nghĩa và kết quả sô' nghiệm của phương trình xn = b ta có: Nếu n lẻ, b e R thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là - Nếu n chẵn, với b 0 có hai căn bậc n của b trái dấu, căn bậc n dương của b kí hiệu là Vb , căn bậc n âm của b kí hiệu là -Vb. Các tính châ't: Vã.Vb=Vãb;^ = ^| (VI)"'VF; VỤẵ=nVã ía khi n lẻ va" = Ị|a| khi n chẵn Lũy thừa với sô' mũ hữu tỉ Cho sô' thực a > 0 và sô' hữu tỉ r = —; m, n e z, n > 0. Lũy thừa của n m a với sô' mũ r, kí hiệu ar xác định bởi: ar = a" = Vam 5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a là một số dương, a là một số vô tỉ. Dãy số hữu tỉ (rn), aa = lim ar" với a = lim rn. 6. Các tính chất của của lũy thừa với sô' mũ thực Cho a và b là những số thực dương, a, p là các số thực tùy ý. Khi đó: aa.ap = a“'p; — = a“'p- ap ’ a“p (ab)“ = aab“ Nếu a > 1 thì a“ > ap khi và chỉ khi a> p Nếu 0 a|! khi và chỉ khi a < p. B. GIẢI BÀI TẬP 1. Tính: 2 2 a) 9\275 3 3 b) 1444:94 c) <16 5 + 0,25’2 d) (0,04) 1,5 Giải 2 2 5 2 = 3 5 =32 =9 95.27' =(9.27)5 = (32.33p =(32+3p 3 , 144Y 1444 :94 = c) 1 16 -0.75 5 + 0,25’2 = 16°'75 3 = 164+4 < 9 J 4.4 Z.— 7 C „ . „ = 2 4 +2 2 = 23+25 =8 + 32 = 40 d) (0,04) 1,5 , 4 -(0,125)3 = -Z- v ’ <100 )2 3 f100> <8; < 4 ? 3’ 2 3 2 3 2 , 2 -(8)í = (52)2 -(23)5 =53 - 22 =125 - 4 = 121 b) b-.b3.ựb c) Vb : b6 2. Viết các biếu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a3Va 4 a3 : \ Giải a) a3.Va =a3.a2 =a3 2 =a6 b) c) b2.b3.Vb =b-.b3.bft =b- 3 * =b' =b 4 4 £ 41 a3 : Vã = a3 : a3 = a3 3 = a' = a Vb : b6 = b3 : b6 = b’ 6 = bfi d) 3. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: a) rV5;2"'; b) 98"; ;325 Giải a) Ta có: = 1 ;2_' = Vì £- < 1 < 23 nên thứ tự tăng dần của ba số là: 2 1; l3'75; b) Ta có: 98"=l;Jj) = |;32’ = (25)3 = 2 Vì 1 < 2 < — nên thứ tự tăng dần của ba sô’ là: 98"; 325 í-ĩ' 4. Rút gọn các biểu thức sau: 4 / _ 1 3 > a3 a 3 +a2 b) 3 ■ _ „ b^Vb-Vb77) c) a4 a4 + a 4 1 I a3b 3 -a 3b3 I 1 a3Vb+b3Va d) 77= 77= Va+Vb Giải a) Ta có: a3 a4 Vậy — a4 a4 a3 b) Ta CÓ: b5 (x/tF- \/b 1 j = b5 ,b 3 - b\b 5 = b3 3 - b3 3 = b -1; b3(Vb-VbTF) = b3.b3 -b’.b 3 =b3+3-b3'3 =b-l. b3(V7-VF) b^Vb-Vb^J b-1 b-1 a’b 3 c) . r— -a 3b3 a3 3b 3 _l 2_1 2 1 2 -a 3b3 3 a3 (ab)’3-b3 (ab) a3 -b3 . 1F - - (ab) 3 a3 -b3 ị-T = a3 -b3 a3 -b3 ab 1 1 11 11 ill 111 a3 x/b + b3 x/a a3b-+b3a2 a6b6.b6 + b6a6.a6 d) , r— , r— ~ ~ I i — i i a6 + b6 I r 1 1 (ab)3 b6+a6 a6 + b6 ab a6 +b6 5. Chứng minh rằng: z , \2j5 / , \3s/2 a) Giải Ta có: 2V5 = 7^5 = V20 ; 3V2 = 7F2 = 718 . Vì 720 > 718 nên 2 75 < 372 1 r~ r- r 1 372 nên 4 < — 3 Ta có: 673 = 7ó Sự biến thiên .3 = V108 376 = 7^6 = 754 Vì 7 > 1 và 7108 > 754 nên 7^ > 7^ Vậy 7a < 0, hàm sô' luôn nghịch biêh trên khoảng xác định. Đồ thị có tiệm cận là trục Oy và tiệm cận ngay trục Ox luôn luôn đi qua điểm (1; 1). '/ĩ > 7Xét hàm sô' y = x“ , nếu: a > 0, hàm sô' luôn đồng biến trên tập xác định và đồ thị không có tiệm cận. <