Giải bài tập Toán 12 ÔN TẬP CHƯƠNG I

  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 1
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 2
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 3
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 4
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 5
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 6
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 7
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 8
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 9
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 10
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 11
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 12
  • ÔN TẬP CHƯƠNG I trang 13
ÔN TẬP CHƯƠNG I
Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số. Tìm
X	5
các khoảng đơn điệu của các hàm số' y = -X3 + 2x2 - X - 7; y = Y——.
1 - X
Giải
* Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm sô':
Cho hàm sô' y = fíx) xác định trên K, hàm sô' Rx):
đồng biến (tăng) trên K nếu V Xi, x2 e K: Xi íĩXi) < f(x2).
nghịch biến (giảm) trên K nếu V X1, x2 e K: X1 f(xj > (x2)
Xét hàm sô' y = - X3 + 2x2 - X - 7, ta có:
D = R
y’= -3x2 + 4-1 = 0 x = —vx = l
3
y’ > 0 với X	và y’ < 0 với X e ^-co	;+oo)
Vậy y = -X3 + 2x2 - X - 7 đồng biến trong f-j ;lì và nghịch biến trong í—00 ;-ìì và (1; + co).
X - 5
Xét hàm sô y = 	, ta có:
1 —X D = R \ {1} y’= . 6	>0 VxeD.
(1-x)2
Vậy hàm số luôn tăng trong từng khoảng (-00 ;1) và (1 ;+oo).
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm sô' nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm sô': y = X4 - 2x2 + 2.
Giải
Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm (xem kiến thức cần nắm vững).
Xét hàm sô' y = X4 - 2x2 + 2, ta có:
D = R y’ = 4x3 - 4x = 0 X = 0, X = ± 1 y" = 12x2 - 4.
Dựa vào Quỉ tắc 2, ta có: y" (0) = -4 điểm cực đại XCĐ = 0 y"(-l) = 8 > 0, y"(l) = 8 > 0 Suy ra các điểm cực tiểu là XCT = -1, XCT = 1
Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm sô'.
, , .L	, ...	- L , /	'	2x + 3
Ap dụng đê tìm các tiệm cận của đô thị hàm sô: y = ——:—.
- X
Giải
Cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm sô' (xem kiến thức cần nắm vững).
* Xét hàm số y = ———, ta có:
2-x
lim y = +00, lim y = -00 => Đồ thị có tiệm cận đứng là X = 2
x->2“	X—>2*
2 + 2
lim y - lim ——— = -2 => Đồ thị có tiệm cận ngang là y = -2 X—>±co	X—>±00 z 1
X
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sôi
Giải
Hàm số y = f(x)
Các bước khảo sát:
Tìm tập xác định của hàm số
Xét sự biến thiên
Xét chiều biến thiên:
+ Tìm đạo hàm f(x)
+ Tìm các điểm tại đó f(x) bằng không hoặc không xác định
+ Xét dấu của đạo hàm f(x) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
Tìm cực trị
Tìm các giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có)
Lập bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị của hàm số.
Hàm số đa thức và phân thức
Hàm số y = ax3 + bx2 + cx = d (a & 0)
Tập xác định: D = R, có giới hạn ở vô cực là vô cực.
Đạo hàm: y’ - 3ax2 + 2bx + c là một tam thức bậc hai.
+ Nếu A' = b2 - 3ac 0 và luôn nghịch biến trên D với a < 0.
+ Nếu A' = b2 - 3ac > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hàm số’ có hai cực trị.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Hàm số trùng phương y - ax4 + bx2 + c (a 0)
Tập xác định: D = R, có giới hạn ở vô cực là vô cực; là hàm số chẵn.
Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
+ Nếu ab > 0: Hàm số có một cực trị.
+ Nếu ab < 0: Hàm sô” có ba cực trị.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Hàm sốy = ———- (c 0; ad -be * 0) CA' + cl
- Tập xác định: D - R\ < - —
- Đạo hàm: y’ =
ad + bc
(cx + d)* 2
định.
+ Nếu ad - bc > 0: Hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. + Nếu ad - bc < 0: Hàm sô' luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác
số.
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng X = —, tiệm cận ngang = —.
c	c
Cho hàm số y = 2x
 + 2mx + m - 1 có đồ thị là (C,n), m là tham
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
Xác định m để hàm số:
Đồng biến trên khoảng (-1; + CO)
Có cực trị trên khoảng (- 1; +20)
Chứng minh rằng (Cra) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Giải
Ta có: với m = 1 thì y = 2x2 + 2x
D = R, hàm số không có tiệm cận y’ = 4x + 2 = 0
0
Bảng biến thiên:
y’
Vậy
, „	m
y > 0 với X >	
2
hàm số nghịch biến trên
và đồng biến trên
- Hàm sô đồng biến trên khoảng (-1; +00) khi:
(-1; + 00 ) c — ;+co	m >2
2 J 2
- Hàm sô' đạt cực trị tại X = - —.
Z.
Đế hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1; +00) thì:
m	,	X	m
- 4- 6 (-1 ; +00) -1 < - -y-
2	v	'	2
 1 > — m < 2.
2
Xét sô' nghiêm của phương trình 2x2 + 2mx + m - 1 = 0 (1), ta có: A' = nr -2(m -1) = nr -2m + 2 = (m-l)2 +1 >0 Vm
Phương trình (1) luôn có hai nhiệm phân biệt, nghĩa là đồ thị (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô':
f(x) = - X3 + 3x2 + 9x + 2
Giải phương trình f(x-l) > 0
Viết phương trình tiếp tuyêh của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ Xo, biết rằng f"(xo) = -6.
Giải
Xét hàm sô' flx) = — X3 + 3x2 + 9x + 2, ta có:
D = R
lim f(x) = +C0, lim f( x) = -00 y’ = -3x2 + 6x + 9 y’ = 0 X =-l V X = 3.
X
-00
-1
3
+00
y’
—
0
+
0
—
y
+oo
_->29
_3—-
—00
Đồ thị (hình bên).
Ta có: f(x - 1) > 0
«-3(x-l)2 +6(x-l) + 9>0
Ta có: f”= (x) = - 6x + 6 f" (x0) = -6
o -6x() + 6 = -6 x() = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm Xo = 2 là:
y = f(2)[x-2] + f(2)
y = 9(x-2) + 24
 y = 9x + 6
1	29
y
'1 24
/ 1 \
	J 1 \
;	22
1 1
1 1
/1 1 \ / 1 1 II
1 1
\ 13
1 1
1 1
/	1	1	1	\
/	1	1	1	1
- - Ị	1	1	1
A	1	1	1	1
/’	1	1	1	1
ì	r - - 41
1 r
/	1	1	1	11
/	1	1	1	1
/1111
'	1	1	1	1 1
1 I\
1 A-.1 /
1	1	1	1	1
*	1	•	•	I	• f-
-3 -2\j/
0 1 2 3 4 |5 X
-3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô': y = x’ + 3x2 + 1
b) Dựa vào đồ
theo m:
thị (C), biện luận sô' nghiệm của phương trình
sau
X3 + 3x2 +
m
1 = -Z-
2
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Giải
Ta có: D = R
lim y = -co, lim y = +00
X—>-co	X—>+00
y’ = 3x2 +6x
y’ = 0x = 0vx = -2
4-00
y'
Đồ thị (hình dưới),
Từ đồ thị, hếu:
+ -ỵ- m < 2 : phương trình có 1 nghiệm.
+ 4- = 1 m = 2 : phương trình có 2 2
nghiệm.
+ 1 1 < m < 10 : phương
trình có 3 nghiệm.
+ -ỈP- = 5 m = 10 : phương trình có 2 2
nghiệm.
m
+ —- > 5 m > 10 : phương trình có 1 nghiệm số.
Vậy nếu m 10 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất, nếu 2 < m < 10 phương trình có ba nghiệm, nếu m = 2 hoặc m = 10 phương trình có 2 nghiệm.
c) Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại (-2; 5) và điểm cực tiểu là:
X V — 1
± = 2_2^2y + 4x-2 = 0
2 1-5
Cho hàm số: f(x) - x’-3mx:+3(2m - l)x +1 (m là tham số).
Xác định m đê’ hàm số đồng biến trên tập xác định.
Với giá trị nào của tham số m thì hàm sô' có một cực đại và một cực tiểu?
Xác định m đế’ f"(x) > 6x.
Giải
Xét hàm số fix) = x’-3mx2 + 3(2m-l)x + l, ta có:
D = R.
f(x) = 3x2-6mx+ 3(2m-1).
Để hàm số đồng biến trên D thì f(x) > 0, VxeD
 A' = 9m2 -9(2m -1) = 9(m -l)2 m = 1 Vậy hàm số đồng biến trên R nếu m = 1.
Hàm sô có một cực đại và một cực tiểu khi f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là:
A' = 9(m-1)2 >()m^l
Khi đó: f" (x) > 6x 6(x -m) > 6x m < 0
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số’:
f(x) = Ậx4 -3x2 +4
2	2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f" (x) = 0.
Biện luận theo tham sô' m sô' m sô' nghiệm của phương trình:
X4 -6x2 + 3 = m.
Giải
4	->3
Xét hàm sô' fix) = —X4 -3x2 + —, ta có:
2
D = R
lim f(x) = +co
X—>±so
f’(x) = 2x3-6x = 0 X = 0 V x = ±>/3
Bảng biến thiên:
0	+	0
+00
+co
Đồ thị (hình dưới).
Ta có: f"(x) = 6x2 -6 = 0 X = ±1
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm (-1; -1) là:
y = f'(-l)(x + l)-l y = 4x + 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điếm (1; -1) là:
y = f’(l)(x-l)-l y = -4x + 3
3 m
Ta có: X4 - 6x2 + 3 = m — X4 - 3x2 + 4 = -ị-
2	2
Từ đồ thị, nếu:
+	 m < - 6 : phương trình vô nghiệm.
+ — m < - 6 : phương trình có 2 nghiệm.
2
+ -3 <	< — o -6 < m < 3: phương trình có 4 nghiệm.
2 2
+ — = — m = 3 : phương trình có 3 nghiệm.
2 2
+ — >” om >3: phương trình có 2 nghiệm.
2 2
Cho hàm số’ y = -X4 + 2mx2 - 2m + 1 (m là tham số) có đồ thị là (Cm)
Biện luận theo m số cực trị của hàm sô”.
Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành?
Xác định m đế’ (Cm) có cực đại, cực tiếu.
Giải
Ta có: y’ = - 4x’ +4mx = 4x(-x2 +m
-X2 + m = 0
Nếu:
+ m < 0 : phương trình f(x) = 0 có một nghiệm. Hàm số có cực trị.
+ m > 0: phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm. Hàm sô có ba cực trị.
Đồ thị (Cm) cắt trục hoành nếu phương trình:
- X4 + 2mx2 - 2m + 1 = 0 (1) có nghiệm.
Đặt X2 = t > 0, ta có (1) - t2 + 2mt - 2m + 1 = 0	(2)
Ta thấy phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm không âm. Điều này xảy ra nếu có một trong các trường hợp sau:
1)P= Ãĩị±ỉ<0Q m<i
-1	2
2)
A = m2 + 2m -1 > 0
p = 2m-1> 0
m<-l-V2
- m > 0
1
m > —
2
hoặc m > -1 + V2
Kết hợp 1) và 2) ta có với mọi m, đồ thị (Cm) luôn cắt trục hoành.
(Cm) có cực đại, cực tiếu khi đạo hàm y = 0 có ba nghiệm. Điều này xảy ra nếu phương trình -X2 + m = 0 có hai nghiêm, tức là khi m > 0.
x	x + 3
a) Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô y = —-.
x + 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
Tiếp tuyến tại một điểm s bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại p và Q. Chứng minh rằng s là trung điếm của PQ.
Giải
Tacó: D = R\ {-1}
lim y = -00, lim y = +cc => Đồ thị có tiệm cận đứng là X = -1 xA-1	x->-r
lim y = 1 => Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1
	=-T<0 VxeD
(x + 1)
Đồ thị (hình dưới).
Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2x + m với (C) là: x + 3 „ Í2x2+(m + l)x + m-3 = 0 (1)
-- ỹ - 2x + m o <
X + 1	X +1 * 0
Ta có: A = (m +1)2-8(m-3) = m2-6m+ 25 = (m-3)2 +16 > 0 Vm
Vì A > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Tọa độ các giao điểm của hai đường cong là:
-m +1 - V A m-1-VA
và N
-m + 1 + VA m-1 + VA
Với A = (m-3) +16.
Độ dài đoạn thẳng MN là:
N •'■M
Vậy khi m = 3 thì độ dài MN nhỏ nhát bằng 2 5/5 .
Đặt S((x0;y0) 6 (C).Phương trình tiếp tuyến của (C) tại s là:
* Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng X = -1 là:
	ọ	ọ
p(-l;yp)với ỵp=— [-l-x„] + ỵ„ =-^r+y()
(x„+l)	x()+l
Vậy giao điểm là
* Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang y = 1 là q(xq;1) với XQ thỏa mãn hệ thức:
-x0)+y0 = 1
=>-—(xQ -x()) = ỵ,) -1 - Xọ-+ 3 -1 =	
(x() +1)	x(1 + l x0 + l
Tọa độ của p và Q lần lượt là p
x.,+5'
X() + L
, Q(2x0
+ 1 ;1)
Trung điểm của PQ là I cọ tọa độ là:
X + Xq -1 + 2x0 +1
Giải phương trình f(sin x) = 0.
Giải phương trình f' (cos x) = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số’ đã cho tại điểm có
hoành độ là nghiệm của phương trình f" (x) = 0.
Giải
Ta có: f(x) = X2 - X - 4
f (sin x) = 0 o sin2 X - sin X - 4 = 0
Vì sin2 X - sinx < 2Vx e R nên phương trình trên vô nghiệm.
Vậy sin2 x - sinx - 4 < -2 Vx.
Ta có: f"(x) = 2x - 1 2cosx -1 = 0
,
 cosx = — X = ±-7+k2ĩi, keZ
3
f"(x) = o 2x-1 = 0 X = —
2
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sô' tại X = -ị là:
2
y = ff|Jx-|LfW
<2;L 2J uJ f13	17
Thay vào f(x) ta có: f -7 =	.
I2J 4
1	47
Thay X = — vào f(x) ta có: í — = — .
2 12
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điếm có hoành độ là nghiệm của phương trình f" (x) = 0 là: