Giải bài tập Toán 12 ÔN TẬP CUỐI NĂM

My
b 	; M
o	ã	X
b) z - 5/2-i
d) z - —7i
ÔN TẬP cuôì NĂM
TRẢ LỜI CÂU HỎI
Định nghĩa sự đơn điệu (đồng biến, nhịch biến) của một hàm số trên một khoảng.
Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm sô' f(x) đơn điệu trên một khoảng.
Phát biểu các điều kiện đủ để hàm số’ f(x) có cực trị (cực đại, cực tiểu) tại điểm Xo-
Nêu sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Nêu định nghĩa và các tính chất cơ bản của lôgarit.
Phát biểu các định lí về quy tắc tính lôgarit, công thức đổi cơ số.
Nêu tính chất của hàm sô’ mũ, hàm sô’ lôgarit, mối liên hệ giữa đồ thị của hàm sô' mũ và hàm sô' lôgarit cùng cơ sô'.
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm.
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính tích phân.
Nhắc lại các định nghĩa sô' phức, sô' phức liên hợp, môđun của sô' phức. Biểu diễn hình học của sô' phức.
Hướng dẫn
Xem phần kiến thức cần nắm vững của các bài học.
GIẢI BÀI TẬP
1. Cho hàm sô' fix) = ax2 -2(a + l)x + a + 2(a í- o)
Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
Tính tổng s và tích p của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của s và p theo a.
Giải
Với mọi a 0 phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc hai có biệt thức A = (a + 1)2-a(a + 2) = l >0 nên phương trình luôn có hai „ 1-A v -1 V _a_l_2
nghiệm X, =1 và x2 =	.
a
Tổng và tích các nghiệm của phương trình f(x) = 0 lần lượt là:
„ .....	1 . a + 2 _ 2(a + l)
a
„ .. ..	a + 2
p = X|.X2 = —
a
* Khảo sát hàm sô' S(a), ta có: Tập xác định D = R \ Ịo|
=ì> Tiệm cận đứng là a - 0
- lim s(a) = 2
\->±x x 7
=> Tiệm cận ngang lẩ s - 2 2
S’(a) = —^-<0 Va^O
a
Đồ thị (hình trang trên).
■>	. n .	- a + 2
* Khảo sát hàm sô P(a) = 	ta có:
a
Tập xác định D = R \ {0}
limp = co=>a = 0 là tiệm cận đứng X—>0
lim p = 1 => p = 1 là tiệm cận ngang .V—>±x>
2
P’(a) = --^-<0 Va^O
a
p
Bảng biến thiên:
Cho hàm sốy = -~x’ + (a-l)x2 + (a + 3)x-4
3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0
Tính diện tích hình phẵng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng:
y = 0, X = -1; X = 1.
Giải
Với a = 0 ta có: y = -^-x;' -X2 +3x-4
3
Tập xác định D = R
lim y = +00, lim y = -co
y’= —X2 — 2x + 3 = 0 X = -3 V X = 1
Bảng biến thiên:
y’ -	0	+	0
Đồ thị (hình bên), b) Diện tích hình phẳng:
= -2~ (đvdt)
5
Cho hàm số y = x" + ax2 + bx +1
Tìm a và b để đồ thị của hàm sô' đi qua hai điểm:
A(l; 2) và B(2; -1).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô' ứng với các giá trị tìm được của a và b.
Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, X = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.
Giải
a) Đồ thị đi qua A(l; 2) và B(2; -1) khi và chỉ khi:
 a = 1, b = -1
. [-1 =-8 + 4a-2b + l
Khảo sát hàm số: y = X3 + X2 - X +1, ta có:
Tập xác định D = R
lim y = -co. lim y = +00
Bảng biến thiên:
X
—00
-1
3
+00
y’
+
0
0
+
y
.T 2
22 -
+°°
—00
27
Đồ thị (hình bên).
( „1
6
5
X
X
X . 3
2
= 71
— +
—
- —+X
— X + X
3
5
0
Thể tích của vật thế là:
13471	_
= --ý (đvtt)
105
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s(t) = ịt4 -t3+^--3t
2
Trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.
Tính v(2), a(2), biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho.
Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.
Giải
Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta có:
v(t) = s'(t) = t3-3t2+t-3
=> v(2) = 23 -3.22 +2-3 = -5 (m/s) a(t) = v'(t) = s"(t) = 3t2-6t + l
=> a(2) = 3.22-6.2 + 1 = 1 (m/s2)
v(t) = t3-3t2 +1-3 = 0
«(t-3)(t2+l) = 0«t = 3 Vậy tại thời điểm to = 3s thì vận tốc bằng 0.
Cho hàm sổ" y = X4 + ax2 + b
Tính a, b đế hàm sô' có cực trị bằng — khi X = 1.
2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô' đã cho khi:
a = - —,b = 1
2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng
1.
Giải
Ta có: y’ = 4x3 +2ax = 2x(2x2 +a) = 0
(nếu a < 0)
Hàm sô' đạt cực trị tại X = 0, X
(với a < 0)
Hàm sô' có cực trị bằng 4 khi X = 1, khi đó ta có:
a = -2
b) Với a = -	, b = 1. Ta có: y = X4 - X2 +1
Bảng biến thiên:
y
Khi đó y’ = 4x3
15
16
Đồ thị (hình dưới), c) Ta có:
Do đó, ba tiếp điểm là (0; 1),
Ta có các phương trình tiếp tuyến sau:
Cho hàm số y =
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a -1.
Giải
Đồ thị (hình trên).
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm X = a * — 1 là:
2
y = ——
2
Cho hàm sô y = -	.
2-x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số’ đã cho.
Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm sô' y = X2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
giới hạn bởi đồ thị (C) Ox.
Tính thế’ tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H và các đường thẳng y = 0, X = 1 xung quanh trục
Giải
a) Xét hàm số’ y =
2
	, ta có:
2-x
lim y = +00. lim y = -00 => tiệm cận đứng là X = 2 X >2	x-»2*
lim y = 0 => tiệm cận ngang là y = 0
> 0 V + 2
Bảng biến thiên:
2
—
— = X +1
2-
X
X3-2x2+x = 0
/ <
x + 2
«x = 0
Đồ thị (hình bên).
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:
Tọa độ các giao điểm A(0, 1), B(l, 2)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt là:
Thể tích khôi tròn xoay là:
2
2^7
I
= 271 (đvtt)
0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sô:
a) f(x) =
2x3-3x2-12x+ 1 trên đoạn -2;—
2
b) f(x) =
x2lnx trên đoạn [1; e]
0;
2
f(x) - xe x trên nửa khoảng [0; +co)
f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn
Giải
Tập xác định D = R
Ta có: f(x) = 6x2 -6x-12 = 0x = -l VX = 2
f(-2) = -3; fị| j = -y; f (-1) = 8; f(2) = -19 mini (x) = minị-3;-4-;8:-19ị = -19
[-2•I]	I 2 J
niaxf (x) = max^ -3;-4^;8;-19 > = 8
O	12 J
L ~'2j
Tập xác định D = (0; +oo)
f'(x) = x(21nx + l) = 0 x = e2=-^=
Ve
f'(x) > 0 với X >	.
Vơ
Vậy f(x) > 0 với X e [1; e]
Hàm sô' f(x) đồng biến trên [1; e] nên ta có:
min f (x) = f (1) = 0, max f (x) = f (e) = e2
Tập xác định: D = R
f (x) = e’x [1 - x] = 0 X = 1
f (x) > Ovới X G (-oo;l)và f (x) < Ovới X e (l;+oo) lim f(x) = o
X—>+00 x
Suy ra
minf(x) = f(O) = O;maxf(x) = f (l) = e - log, 2
log^(x-2).log5x = 2.1og,(x-2)
 2log, (x -2).log, X = 2log, (x -2)
 log,(x-2)[log, X-1] = O
 = -
d) Tập xác định D = R,
cD
f(x) = 2cosx + 2cos2x = 0 cos2x = -cosx = cos(x + 7i)
A ..	71 . 1. 2ít
x = 0, X = -7 + k —-
3	3
Trên đoạn
3
0; é71
7
f'(x) bằng 0 tại X = 0, X = và X = 71
Ta có
f<0) = fp) = 0.f(j] = hd.f^] = -2
Suy ra min f (x) = -2; max f (x) =
rì	r. 3 1
0;G	O;hi
Giải các phương trình sau:
132x+l-13x-12 = 0
(3X+2X )(3X+3.2X) = 8.6X
log^(x-2).log, X = 2.log, (x-2)
log1 log, (x-2) = 0 x = 3
log5x-l = 0 _x = 5
 x - 5 log2 x + 6 = 0
Giải
a) 132x+l-13x-12 = 0
Đặt 13x = t > 0 ta được:
13t2 -1-12 = 0
* t > 0
(3X +2X)(3X +3.2X) = 8.6X
« 32x+3.22x+4.2x.3x = 8.6'
 32x + 3.22x-4.6x =0
Chia hai vế cho 6X > 0 , ta được:
Đặt log2x = t ta được:
t2 - 5t + 6 = 0 =>t = 3 V t = 2
log,x = 3
log,x =2
X = 23 = 8
X = 22 =4
d)ị~togjX<Ị
1 + log4 X 4
Giải các bất phương trình sau:
log2 x + 31ogx >4
Giải
Ta có: 3' - 2' = 0 X = 0
3X -2X 0 với X > 0
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với:
3X-2X
(1)
t =
Từ bảng xét dấu suy ra các nghiệm của (1) là:
hoặc
 X > 1 hoặc X < 0
Tập nghiệm của bất phương trình là: (-co;0)u[l ;+oo)
 log X 1
 X G (-co;10'4 Ju[10;+co)
1 + t
t = log2 X
J, 1-I°g.x,i j-Ể'°gĩX I
1 + log4 X 4	1 + log, X 4
log2xl
 X e ^0;^u[2;+co)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
[Vxlnxdx	b) I* xdx..
J	;sin X
6
b) Đặt u = X, dv =
dx
sirrx
=> du = dx, V = -cotx
f xax	. f . J..
——— - -xcotx ; + cotxdx pin2x	l Ị
6	6
7Ĩ 7ĨAỰ 3
-X cot X + In |sin x|]|| = —— + In 2
7Ĩ	7Ĩ
J(7t-x)sinxdx = j(x-n)d(cosx)
0	0
= (x - 71)COS xịíì -
TC xdx =7t-sinx|* = 7Ĩ 0
0
= -(2x + 3)e-x|"] +2 Je‘xdx
-1
= e-3-^2exJ| = 3e-5
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
[tan —-4x dx đặtu = cos -y-4x r b J I 13
3
'V đx	'	3
;■ đặtx = ^-tant
J9 + 25X2 V	5
T
7t
2
Jsin3 xcos4 xdx (đặt u = cosx)
()
7t
4f 71 +tanX J /	L ..'I"-
	-V—dx đặt u = Vl+tanx
* cos X v
71
Giải
71
a) Đặt u = cos -?-4x => du = 4 sin -?-4x dx
2
71
24
/3
2
Đặt x = Ỵ-tant=> dx =7-— <
5 cos t
V3	V3	71
x = -—, tant = -:— => t = —;
3	6
3	71
X => t =-
5	4
-	-	K	7Ĩ
"f dx _ 3 4f dt - 3 "fdt - 3 t - 71
J 9 + 25x2 _ 45 J(l + tan2x)cos2t 45 J _ 45 n _ 180 56	6	6
Ta CÓ: cos4xsin3x = sinx(l - cos2x)cos4x
Đặt u = cosx du = -sinxdx; X = 0 => u = 1; X = — => u = 0
2
71
2	0	r
J sin3 X cos4 xdx = - j( 1 - u2) u4du =
0	I	X
Đặt u - Vl + tanx du =	—*
2cos2 X-Ự1 + tanx
dx
cos2 X
= 2udu;
x = ——=>u = 0, X= — =>U = V2
4	4
cos2 X J 3 ()	3
4
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = X2 + 1, X = -1, X = 2 và trục hoành.
1X , 1
y = Inx, X = — , X = e và trục hoành.
e
Giải
= 6
b) s = J|lnx|dx = -jìnxdx + Jlnxdx
1	1	1
c	c
= x(l-lnx)|'i+x(lnx-l)f =2- —
ẽ	1 e
Tìm thế tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = X3 xung quanh trục Ox.
Giải
Ta có: 2x2 = X3 X2 (2 - x) = 0 o X = 0 V X - 2
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là: X = 0 và X = 2
Bởi vì 2x2 - X3 - X2 (2 - x) 0 với X 2 nên đường cong y - 2x2 nằm trên đường ốong y = X3 trong khoảng (0; 2). Do đó thế’ tích cần tính là:
V = Itị(2x:)ídX-7tJ(x'):dx=ITÍ^-yì =^||í
Giải các phương trình sau trên tập sô' phức:
(3 + 2i)z - (4 + 7i) = 2 - 5i
(7 - 3i)z + (2 + 31) = (5 - 4i)z
z2 - 2z + 13 = 0
z4 - z2 - 6 = 0
Giải
a) (3 + 2i)z-(4 + 7i) = 2-5i
« (3 + 2i)z = (4 + 7i) + (2 -5i) = 6 + 2i
_ 6 + 2i _ (6 + 2i)(3-2i) _ 22 __6_
=z>z_3 + 2i ”	32+22	" 13 131
(7-3i)z + (2 + 3i) = (5-4i)z
 (7-3i)z-(5-4i)z = -2-3i
-2-3Í -(2 + 3i)(2-i)	7 4
=> z = —=	— =	\	- =-~--i
2 + i 22+l2	4 5
zt=l+2\/3i, z;=1 + 2a/3i
z2 = -2 hoặc z2=3
=>zL2=±73, z34=±V2i
16. Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn sô' phức z thỏa mãn từng bất đẳng thức:
a) z|<2
b) |z-i| < 1
c) |z — 1 — i| < 1
Giải
Tập hợp các điểm M(x; y) của mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z = X + yi thỏa mãn điều kiện:
I z| ựx2 +y2 X2 + y2 <4
Các điểm M(x; y) như vậy nằm trong đường tròn tâm o bán kính bằng 2 không kể các điểm trên đường tròn.
Giả sử z = x + yi => z - i = z + (y - l)i
|z-1| ựx2 (y -1)2 X2+(y-l)2 < 1
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mân |z -1| < 1 là các điểm của hình tròn tâm (0; 1) bán kính bằng 1 kể cả biên.
z = X + yi => z - 1 - i = (x - 1) + (y - l)i
|z-l-i| (x-l)2+(y-l)2 < 1
Tập hợp các điếm đang xét là các điểm của hình tròn (không kể biên) tâm (1; 1), bán kính bằng 1.