Giải bài tập Toán 12 ÔN TẬP CHƯƠNG IV

  • ÔN TẬP CHƯƠNG IV trang 1
  • ÔN TẬP CHƯƠNG IV trang 2
  • ÔN TẬP CHƯƠNG IV trang 3
  • ÔN TẬP CHƯƠNG IV trang 4
  • ÔN TẬP CHƯƠNG IV trang 5
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Thế nào là phần thực, phần ảo, môđun của một sô' phức? Viết công thức tính môđun của một sô' phức theo phần thực và phần ảo của nó.
Giải
Mỗi sô' phức là một biểu thức z = a + bi với a, b e R, i2 = -l
Sô' thực a là phần thực của sô' phức:
z = a + bi
Sô' thực b là phần ảo của sô' phức z = a + bi
Điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn sô' phức z = a + bi
Khi đó độ dài vectơ OM gọi là mồđỉz?2 của z, kí hiệu |z| = |om|
Ta có công thức |a + bi| = Va2 + b2 .
Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môđun và khái niệm giá trị tuyệt đốì của một số thực
Giải
Mỗi sô' thực a được coi là một sô' phức có phần ảo bằng 0
Ta có: a e R => a - a + Oi
Môđun của sô' thực a là:
|a + 0i| = Va2 + o2 = |a|
Như vậy với một sô' thực, khái niệm môđun và khái niệm giá trị tuyệt đô'i là đồng nhất.
Nêu định nghĩa sô' phức liện hợp với sô' phức z. Sô' phức nào bằng sô' phức liên hợp của nó?
Giải
Cho sô phức z = a + bi (a, b G R) thì sô' phức liên hợp của sô' phức z kí hiệu là:
z = a - bi.
Sô' phức z bằng sô' phức liên hợp của nó z khi và chỉ khi z là sô' thực.
Sô' phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình a, b, c?
Giải
Mỗi sô' phức z = a + bi có điểm biểu diễn trong miền gạch sọc ở hình a phải thỏa mãn điều kiện: phần thực a > ỉ (phần ảo b bâ't kì).
Sô' phức z = a + bi có điểm biểu diễn trong miền gạch sọc ở hình b phải thỏa mãn điều kiện: phần ảo b e [-1; 2] (phần thực a bâ't kì).
Diều kiện: môđun < 2, phần thực a e [-1; 1]
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điếm biểu diễn các sô' phức z thỏa mãn từng điều kiện:
Phần thực của z bằng 1
Phần ảo của z bằng -2
Phần thực của z thuộc đoạn [-1; 2], phần ảo của z thuộc đoạn [0; 1]
|z| < 2 .
Giải
Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng X = 1
Tập hợp các điểm của đường thẳng y = -2
Tập hợp các điểm thuộc hình chữ nhật có các cạnh nằm trên các đường thẳng X = -1, x = 2, y = 0, y = l (hình gạch sọc).
Tập hợp các điểm thuộc hình tròn tâm 0(0; 0), bán kính bằng 2.
Tìm các sô' thực X, y sao cliơ:
3x vi - 2y + 1 + (2 - x)i
2x -*	- 1 = <■
Giải
a) Ta có:
3x + yi = 2y + 1 + (2-x
)i«-
3x = 2y + l y = 2-x
b) Ta có: 2x + y -1 - (x + 2y-5)i
(2x + y-l) + 0i = 0 + (x + 2y-5)i
[2x + y-l = 0
«	/ 1 „«x=-l, y = 3
x+2y-5=0
Chứng tỏ rằng với mọi sỏ’ phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo của nó không vượt quá môđun của nó.
Giải
Số phức z - a + bi, môđun |z| = Va2 +b2
Ta có: Va2 + b2 > Vã2” = |a| > a
Va2 +b2 > Vĩr = |b| > b
Vậy với mọi số phức thì phần thực cũng như phần ảo của nó không lớn hơn môđun của nó.
Thực hiện các phép tính sau:
(3 + 2i)[(2-i) + (3-2i)]	b) (4-3i) + |^
(1 + i)2-(1-i)2	d)
Giải
a) Ta có: z = (3 + 2i) (5 - 3i) = 15 + 6 + (10 - 9)i = 21 + i
, ' m t A . (1 + i)(2-i) A „ <3 1 4 23 14,
22 + l2	<5 5 J 5	5
Ta có:
Vậy
Ta có:
Vậy
(1 + i)2 = l2+2Ĩ + Ĩ2 = 1 + 2Ĩ-1 = 2i
(1-i)2 =12-2i + i2 = 1 -2i-1 = -2i
(1 + i)2 -(1-i)2 = 2i + 2i = 4i
3 + i j3 + i)(2-i) = 7 1.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
(3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i
(4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz
Giải
Ta có: (3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i
(3 + 4i)z = (2 + 5i)-(l-3i) = l + 8i _l + 8i_(l + 8i)(3-4i)_7 4
z_3 + 4i_	32 +42	~5 51
Ta có: (4 + 7i)z-(5-2i) = 6iz
 (4 + 7i)z-6iz = 5 — 2i o (4 + i)z = 5 — 2i
5-2Ĩ (5-2i)(4-i) 18 13;
=> z -	= 	.7 4	>
+ i 42+l2	17 17
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 3z2 + 7z + 8 = 0	b) z4 - 8 = 0
z4 - 1 = 0
Giải
Ta có: A = 72 - 96 = -47
O..2 o n _	-7-iV47„_-7 + ix/47
'	6	2	6
Đặt t = z2, z4-8= 0 ^t2-8 = 0 =>t =±V8
Khi đó: zl 2 = ±7?8 = ±48, z,4 =±1^8
z12 = ±1, z34 = ±i
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Giải
Giả sử hai sô' phức cần tìm là Z1, z2. Theo giả thiết ta có:
z,+z2 =3 Jz2 =3-z,	z2=3-z,	(1)
/-.•/-2=4	|z,(3-zl) = 4 [z;-3z,+4 = 0 (2)
Giải (2) ta được z, = -—. Từ (1) ta suy ra:
3 + iV? 3-iVỸ
7 =	-	/ . =	
, _ _ 3-iVỸ 3 + iVỹ hoặc Z. =	, z, =-—:	
2	2	2
Cho hai sô' phức Z1, z2, biết rằng Z1 + z2 và Z1Z2 là hai sô' thực. Chứng tỏ rằng Z1, z2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ sô' thực.
Giải
Cho các sô' phức z1; z2 khi đó Z1, z2 là các nghiệm của phương trình:
(x - Zi)(x - z2) = 0 « x2+(z,+z2)x + z,z2 = 0	(*)
Theo giả thiết Z1 + z2 và ZịZ2 là các sô thực nên phương trình (*) là phương trình bậc hai với hệ sô' thực.