Giải bài tập Toán 12 Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học trang 1
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học trang 2
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học trang 3
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học trang 4
  • Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học trang 5
Bài 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Tính diện tích hình phẳng
Diện tích của hình phẵng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và các đường thẳng X = a, y = b là:
s = J|f(x)|dx
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số’ yi = fi(x), y2 = f2(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và các đường thẳng X = a, y = b là:
Tính thế tích của vật thế
Trong hệ tọa độ vuông Oxyz, một vật thể bị cắt bởi hai mặt phẳng p và Q vuông góc với trục Ox tại X = a và X = b. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm X (a < X < b) cắt V theo thiết diện có
b
a
diện tích S(x). Giả sử S(x) liên tục trên [a; b] thì thế tích V của vật thể giới hạn bởi p và Q là:
Một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], các đường thẳng X = a, X = b và trục hoành. Hình thang cong đó quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là:
b
V = 7Ĩ J[f(x)]2 dx.
a
B. GIẢI BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình phảng giới hạn bởi các đường:
y = x2;y = X + 2
y =|lnx|;y = 1
y = (x-6) , y = 6x-x2
Giải
a) Giả sử đường thẳng y = X + 2 cắt parabol y = X2 tại A và B. Hình phăng giới hạn bởi các đường y = X2 và y = X + 2 coi như hình giới hạn bởi các đường y = X2, y = X + 2, X = XA, X = XB trong đó XA, XB là hoành độ các giao điểm A, B.
Vậy diện tích cần tính là: s =
Tính Xa, xb là các nghiệm của phương trình:
X2 = X+ 2 X2 - X-2 = 0
Theo hình vẽ ta có: trên đoạn [-1;2] thì X + 2 > X2
Vậy diện tích cần tìm là:
= (đvdt)
2
Hoành độ các giao điếm là:
e
Vậy diện tích cần tìm là:
= e + —-2 (đvdt) e
c) Hoành độ các giao điểm của hai đồ thị là:
(x-6)’ = 6x-x2
 (x -6)(2x -6) = 0
x = 3vx = 6
Vậy diện tích cần tìm là:
s =
dx
6
= J(-2.x2 + 18x-3ó)dx
3
= - 36 + 45 = 9 (đvdt)
2. Tính diện tích hình phăng giới hạn bởi đường cong y = X2 + 1, tiếp
tuyến với đường này tại điểm M(2; 5.) và trục Oy.
Giải
Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = X2 + 1 tại điểm M(2, 5)
là:
y = y'(2)[x -2]+ 5 y = 4x -3
Điếm M(2; 5) thuộc đường y = X2 + 1 vì 5 = 22 + 1
Vậy diện tích cần tìm là:
s= jTx2+l-(4x-3)]dx
^--2x2+4x
< J	7 0
8
= (đvdt)
3
3. Parabol y = ^7-chia hình tròn có tầm
tại gốc tọa độ, bán kính 2V2 thành hai phần. Tìm tỉ sô' diện tích của chúng.
Giải
Phương trình đường tròn là: X2 + y2
= (2ự2)2 y = ±78-X2
Phía trên trục hoành, đường tròn có phương trình: y = ự8- X2
Do tính đôi xứng nên diện tích giới hạn bởi y = — và y = V8-X2 bằng hai lần diện tích giới hạn bởi các đường đó và trục tung.
Hoành độ giao điểm của hai đường là:
4- = X2 X4 +4x2 -32 = 0 X = ±2
2
Đặt X = 2 V2 sint, ta có:
là:
4. Tính thể tích khôi tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:
a) y = l-x2;y = 0
y - cos x; y = 0; X = 0; X = 71
y = tanx; y= 0; X = 0; y = --
4
Giải
a) Hoành độ giao điếm là: l-x2=ox = ±l Vậy thể tích khôi tròn xoay cần tính là:
lÓ7t z .
= (đvtt) 15
n	71
b) Ta có: V = 71 Jcos2xdx =^- J(l + cos2x)dx
0	“0
71 ( sin2x V 7I2
= 7t(tanx-x)
471-7I2
~4
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.
Đặt POM = a’. 0M = r| 00|.
\	3 y
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.
Tính thế tích của V theo a và R.
Tìm a sao cho thế tích của V lớn nhất.
Giải
a) Ta có: OP = Rcosơ, PM = Rsina
Rcosa	3
V = 71 I x2tan2adx = 7rtan2a-ụ-
0	3
Phương trình đường thẳng OM là y - xtan a Vậy hể tích khôi tròn xoay là:
Rcosct
()
„ 7ĩR\ ; ,	 7tR r	, -)	,
V = —— snra.cosa = —— cosư-cos a (đvdt) 3	3 L	J
b) Thế' tích V là một hàm số của ơ, với:
V’(ơ) =^y-.£-sina + 3cos2asina]
V'(a) = 0 3cos2 a-1 = 0 o cosa =	 a = arccos-U
v3	y 3