Giải bài tập Toán 12 Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM số
KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Định nghĩa
Cho hàm sô' y = fix) xác định trên tập D, khi đó:
Sô' M được gọi là giá trị lớn nhát của hàm sô' fix) trên D nếu fix) < M V X e D và tồn tại Xo G D sao cho f(x0) = M, kí hiệu M = max fix).
D
Sô' N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm sô f(x) trên D nếu fix) > N V X G D và tồn tại Xo 6 D sao cho fix0) = N, kí hiệu N = min fix).
D
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât của hàm sô liên tục trên một đoạn
Ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sô' liên tục trên một đoạn cực trị như sau:
Tìm các điếm X1, x2, x3, xn trên khoảng (a; b) tại đó f(x) - 0 hoặc f(x) không xác định.
Tính fia), fib), fixi), fix2), fix3), fixn).
Tìm sô lớn nhất M và sô' nhỏ nhát N trong các sô' trên.
Ta có M = max fix); N = min fix).
[a:b]	fa.bl
GIẢI BÀI TẬP
Tính giá trị lớn nhâ't và nhỏ nhất cùa hàm sô':
y = X3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
b)
c)
d)
y = X4 - 3x’ + 2 trên các đoạn [0; 31 và [2; 5]
2-x
y = -—— trên các đoạn [2; 41 và [-3; -2]
1 -x
y = ự5-4x trên đoạn [-1; 11.
Giải
a)
* Ta có: D = R
y’ = 3x2 — 6x - 9 = 0 X = -1 V X = 3
Vì -1 và 3 đều thuộc đoạn [-4; 41 nên ta tính các giá trị của hàm số tại các điểm -4; 4; -1; 3
Ta có: y (-4) = -41; y(4) = 15; y(-l) = 40; y(3) = 8
Vậy, giá trị lớn nhâ't của hàm sô' trên [-4; 41 là: max. = max{-41; 15; 40; 8} =40 ill 41	1
giá trị nhỏ nhất của hàm sò' trên [-4; 41 là: min = min{-41; 15; 40; 8} = -4l
1-4 41	(	>
* Xét hàm sô' trên đoạn [0; 5] ta thấy y’ = 0 tại X = 3 e [0; 51 Ta có: y(0) = 35; y(õ) - 40; y(3) = 8
Vậy, giá trị nhỏ nhát của hàm sô' trên [0; 51 là:
min y = min {35; 40; 8} = 8
giá trị lớn nhất của hàm số trên [0; 5] là:
max y = max {35; 40; 8} = 40
b) Ta có: D = R
. y’ = 4x3 - 6x = 0
■ = min { 2; 56;
maxy = max{ 2; 56; --ý
í<ưl	4
= 56
/3 , , o
Vì không
miny = min{y
thuộc đoạn [2; 5] nên ta có:
min
max y = max {6; 552}
Ta có: D - (-oo;l)u(l;+oo)
y' - -——-V > 0, Vx * 1 (l-x);
Do hàm sô' luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên:
y(xj) < y(x2) V X1, x2 e D và Xj < x2
=> miny = min {y(2),y(4)} = y(2) = 0
Ta có: D = I -co; —
l 4.
-2
y’ = ,—- < 0 V X e D, hàm sô' nghịch biến trên D V5-4.X
Ta có: với X1 y(x2) V X1, x2 e D
Vậy miny = min Ịy(-l);y(l)} = y(l) = 1
[-'••']
maxy = max{y(-l);y(l)} = y(-l) = 3
{-1:1]
Trong sô' các hình chữ nhật cùng có chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Giải
Ta có nửa chu vi hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8cm
Nếu độ dài một cạnh hình chữ nhật là x(cm) thì cạnh kia có độ dài (8 - x)cm. Với X G [0:8].
Diện tích của hình chữ nhật là:
y = S(x) = x(8 - x) = - 2 + 8x. Xét hàm sô' trên ta có:
D = [0:8]
y’ = -2x + 8 = 0 X = 4.
maxS = max{S(0),S(8),S(4)| = maxỊO; 16} = 16
Vậy hình có chu vi 16cm có diện tích lớn nhất là hình vuông cạnh
4 cm.
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Giải
Nếu độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x(m) thì độ dài cạnh còn , .	48, '
lại là — (m).
X
Khi đó chu vi hình chữ nhật có diện tích 48m2 là:
J 48
y = f(x) = 2 X+ —
96
= 2x + —; xe (0; +co)
X
y’ = 2 - —7= 0 X = 4 x/3 (loại X = -4 x/3 )
X
Suy ra min y — f Í4V3) = 16^/3
D	'	'
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m2 thì hình vuông cạnh 4 Vu m là hình có chu vi nhỏ nhất.
Tính giá trị lớn nhát của các hàm số sau:
y =	,	b) y = 4x3 - 3x4
1 + x
Giải
Ta có: D - R và 0 X = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm sô' là: maxy = 4.
D
Ta có: D = R
y’ = 12x2 - 12x3 = 12x2 (1 - x)
y’ = 0 X = 0; X = 1
Bảng biến thiên:
Bảng biến thiên cho thấy max y = y(l) = 1. Vậy hàm số đạt giá trị D
lớn nhất bằng 1.
Tính giá trị nhỏ nhát của các hàm số sau:
a) y = |x|	b) y = x + —(x>0)
Giải
a) Ta có:
y = |x| =
-X với xe(-co;0) X với x e(0;+oo)
Trên (-co;()j, hàm sô’ nghịch biến nên min y = v(o) = 0 .
Trên (0;+co) ta có y > 0 V X.
Vậy hàm sô' đạt giá trị nhỏ nhát là: min y = 0.
Ta CÓ: y1 = B—Ý = 0 X = 2 (loại X = -2 vì không thuộc 0; +co) X
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên thì hàm sô' CÓ giá trị nhỏ nhất là min y = y (2) = 4.