Giải bài tập Toán 12 Bài 2. Tích phân

Bài 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Tích phân
a. Diện tích của hình thang cong
Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm trên [a; b). Hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng X = a, X = b, trục hoành và đường cong y = f(xi có diện tích là s	F(a).
Trong đó F'> •	mi ham của f(x) trên
[a; b).
b. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b],'F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của a hàm sô' f(x), kí hiệu là Jf(x)dx.
b
Ta có:
ịf(x)dx = F(x) a = F(b)-F(a)
Ta gọi J là dâu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu b
thức dưới dâu tích phân, f(x) là hàm Sũ dưới dâu tích phân.
1. Jf(x)dx = o
Các tính chất
Jf(x)dx = - Jf(x)dx
Phương pháp tính tích phân
a. Đổi biến sô
Định lí 1. Cho hàm sô' fix) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm sô' X = ỹ>(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [«: P] sao cho (/>(a) = a; <p([3) = b và a < <p(t) < b với mọi t e [a; p]. Khi đó:
a	a
Định lí 2. Cho hàm sô' fix) liên tục trên đoạn [a; b], u(x) là hàm sô' có đạo hàm liên tục và u(x) e [a: P] và có thế viết:
fix) = g(u(x))u’(x), X e [a; b]
với g(u) liên tục trôn đoạn [ơ; p]. Khi đó ta có:
b	u(b)
Jf(x)dx = J g(u)du
a	u( a)
b. Tích phân từng phần
Nếu u = u(x) và V = v(x) là hai hàm sô' có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
b
- Ju’(x)v(x)dx
a
b
ju(x)v’(x)dx = u(x)v(x)
a
Viết cách khác:
b
a
b
Jvdu
n
, . f . ( 71	,
b) Jsin —-X dx
0 V 4 • J
B. GIẢI BÀI TẬP
1. Tính các tích phân sau:
I
jV(1-x) dx
I
Jx(x + l)2dx
0
g) sin3xcos5xdx
Giải
Đặt 1 - X = u; du = - dx, X = - — => u = —
2	2
16 16 4 34
e)
dx
cos 471+ —COS7T + — COS (—4/t) —• —■ cos(-Tĩ) = 0 -16	4	16 v ’ 4	' '
2. Tính các tích phân sau:
2
a) f|l-x|dx «
0
c) 	dx
0 eX
H
b) Jsirrxdx
■ 0
71
d) Jsin2xcos2xdx
0
I , l-x với a) Ta CÓ: 1-x =<
x-l vđi
Giải
0<x<l
1 <x <2
)dx+ J(x-l)dx
Ta CÓ: J"sin2 xdx = J(1
0	0
"’f e2x+l +1u.,_lnr
Ta CÓ: I	—dx= J
0 e	0
K	71
d) Ta CÓ: Jsin2xcos2xdx = 2 Jsinxcos'xdx
0	0
cos\
2
n
2]
0
Sử dụng phương pháp đối biến số, hãy tính:
a)
— du (đặt u = X + 1)
b)
JV1 - X2dx (đặt X = sint)
0
c)
dx (đặt u = 1 + xex)
d)
dx(a > 0) (đặt X = asint)
Giải
a) Đặt u = X +1 => du = dx, ta có: :
3 7 du
u2
u2 -2u + l
u-
•’ I	I
du = — u2 -4u2 -2u 2
3
1116
3	3
b) Đặt X = sint, t e
dx = cos tdt
71
4
t 1 .....
—+ —sin2t
2 4
c) Đặt u = 1 + xe' => dll = e' (1 + x)dx
X - 0 => u = 1;
X = 1 => u = 1 + e
= In 11
'(•e'(l + x) 1+fdu
—-	-idx= —
0 l + xe' 0 u
d) Đặt X = asint => dx = a cos tdt
x = 0=>t=0;x=Ị=>t=Ị
71
6
2	6
Sử dụng phương pháp tích phàn từng phần, hãy tính:
 d)
Giải
Đặt u(x) - X +1, sin xdx = dv(x) =>du(x) = dx, v(x) = -cosx
= Qsin X-(x + l)cos x]
Đặt u = In X, x?dx = dv
dx	x'
=> du = -—; V - —-
X	3
2e- +1
9
dx
= 21n2-l
0
Đặt u = ln(l + x). dv = dx
dx
Đặt u =
=> du = 2x-2; V =-e '
I I
+ 2 j(x -l)e~xdx
(I 0
= 2e~' — 14-2 (l-x)e’x
Tính các tích phân sau:
1
|(1 + 3x)- dx
0
2fln(l + x)
	;	-dx
r 3-l (x-l)(x2+x + l) 1 x2-l (x-l)(x + l) x x+1
Giải
Đặt: II = 1 + 3x => du = 3dx
x = 0=>u = l;x = l=>u = 4
— uJdu = —UJ
3	15
15
62
15
b) Ta CÓ:
dx =
= T + lr>T
8	2
c) Đặt u = In (1 + X). dv =
X
=> dư = —-— dx; V = -—
1 + x	X
dx (*)
<ix = -
dx = In
2
Thay kết quả trên vào (*) ta được: I = 31n—1=
x) dx bằng haí phương pháp:
0
Đổi biến số u = 1 - X	b) Tích phân từng phần
Giải
a) Đổi biến sô: u = 1 — X => du = —dx; X = 1 — u
Với x = o=>u = l;
42
0	-
Tính bằng phương pháp tích phân từng phần.
42
1
42