Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Số phức

Chương IV. số PHỨC
Bài 1. SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Số i
Trong toán học, người ta thêm vào tập hợp số thực R một số mới kí hiệu là i với i2 = -1.
Sô' phức
Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó: a, b e R; i2 = -1 được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b là phần ảo, số i là đơn vị ảo.
Tập hợp các sô' phức kí hiệu là c.
Mỗi sô' thực a được gọi là một sô' phức có phần ảo bằng 0:
a = a + Oi
Mỗi sô' phức có phần thực bằng 0 được gọi là sô' ảo:
b = 0 + bi
Biểu diễn hình học sô phức
Trong hệ tọa độ vuông Oxy điểm M(a; b) có hoành độ là a, tung độ là b, điểm biểu diễn sô' phức z = a + bi.
Hai sô phức bằng nhau
a + bi = c + di a = c và b = d
Môđun
Cho sô' phức z - a + bi, được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta gọi môđun của sô' phức z, kí hiệu là |z| là độ dài của vectơ OM.
Vậy |z| = |a + bi| = |om| = 7a2 +b2
Sô' phức liên hợp
Cho sô' phức z = a + bi, ta gọi a - bi là sô' phức liên hợp của z và kí hiệu Z.
z = a — bi
B. GIẢI BÀI TẬP
Tính phần thực và phần ảo của sô' phức
X, biết:
? = 1 - 7Ú
z = 2V2
Giải
Phần thực: 1, phần ảo: -71
Phần thực: V2 , phần ảo: -1
Phần thực: 2V2 , phần ảo: 0
Phần thực: 0, phần ảo: -7
Tìm các số thực X và y, biết:
(3x-2) + (2y+ l)i = (x4-1) — (y — 5)i
(1 -2x)-iv/3 =x/5+(l-3y)i
(2x + y) + (2y-x)i =(x-2y + 3) + (y + 2x + l)i
Giải
Ta có: a + bi = c + di oa = c và b = d
Vậy (3x-2) + (2y + l)i = x + l-(y-5)i
—2
Ta có: (2x + y) + (2y-x)i = (x -2y + 3) + (y + 2x + l)i
X = 0, y = 1
2x + y = x-2y + 3 íx + 3y = 3 2y-x = y + 2x + l [-3x + y = l
Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
Phần thực của z bằng -2
Phần ảo của z bằng 3
Phần thực cùa z thuộc khoảng (-1; 2)
Phần ảo của z thuộc đoạn (1; 31
ẽ) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn ị-2; 2Ị
Giải
Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng X = -2.
Tập hợp các điếm thuộc đường thẳng y = 3.
Tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng song song x = -lvàx = 2 (hình có gạch sọc)
Phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng song song y = 1 và y - 3 (kể cả các điểm thuộc hai đường thẳng đó).
Các điểm thuộc hình chữ nhật với các cạnh nằm trên các đường thẳng X = -2, X = 2, y = -2, y = 2.
Tính |z| với:
z = -2 + i V3
c) z = -5
z = V2-3i
z = 1V3
Giải
Ta có: |-2 + iVãI = Ậ-2)? + (Vs)2 = y/ĩ
Ta có: IV2 -3i| = V2 )2 + (-3)2 = VTĨ
Ta có: |-5| = |-5 + 0i| = ự(-5)2 +O2 = 5
y
Ta có: |iV31 = |o + i V3| =	4-( VI)2 = V3
a) |z| =1
b) |z|<l
c) K|z|<2
d) |z| = 1 và phần ảo của z = 1
5. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mân từng điều kiện:
Giải
Giả sử điểm M(x, y) biểu diễn số’ phức z = X + y thỏa mãn:
|z| = |x + yi| = 1 Vx2 + y2 = 1
x2+y2 =1
Vậy M thuộc đường tròn tâm 0(0; 0) bán kính R = 1 có phương trình X2 + y2 = 1.
Tập hợp các điểm trên hình tròn X2 + yfi = 1
Các điểm nằm trong hình vành khăn giới hạn bởi các đường tròn tâm o, bán kính đường tròn nhỏ bằng 1, đường tròn lớn bàng 2, (hình tô đậm) không kể các điểm thuộc đường tròn nhỏ.
Giao điểm của đường thẳng y = 1 và đường tròn X2 + y2 = 1
Tìm z, biết:
z = l-iV2	b) z = -V2+iV3
z = 5	d) z = 7i
Giải
Ta CÓ: 1 - 1V2 = 1 + iV2
Ta co: -V2 + 1V3 = -V2 - iV3
Ta CÓ: 5 = 5
Ta có: 7i = -7i