Giải bài tập Toán 12 Bài 2. Hàm số lũy thừa

Bài 2. HÀM SỐ LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG
Lũy thừa có sô mũ nguyên
Hàm số’ y = x“ với ae R được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định của hàm số’ y = x“ tùy thuộc vào a, nếu:
a e N* thì tập xác định D = R
a e Z\N* thì tập xác định D = R\(01
a e R\z thì tập xác định D = (0; +00).
Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm X thuộc tập xác định là:
Xi
B. GIẢI BÀI TẬP
Tìm tập xác định của các hàm số’:
I	.2
y=(l-x)5	b)y=(2-x2p
y=(x2-l)	d) y = (x2-x-2^2
Giải
Ta có: D = {x e R/1 -x > oị = (-oo; 1)
Ta có: D = Ịx e R / 2 -X2 > o| = (-V2 ; 5/2 j
Ta có: y = (x2-l)’2 =—-
(x ->)
Hàm số xác định với X e R , sao cho x2-1^0x^±l
Tập xác định: D - R \ Ị-l ;lj
Ta có: D = Ịx G R / X2 - x - 2 > o| hay D = (-00 ;-l)u(2 ;+oo)
Tính đạo hàm của các hàm số’:
a) y = (2x2 - X +l)3
c) y = (3x +1)2
Ị
a) Ta có: (2x2-x + l)3
y = (4-x-x2)4
y = (5-x)75
Giải
= ^2x2-x + lp (2x2-x + 1)
4x-l
b) Ta có:
-2x-l
c) Ta có:
= y (3x + O-’1 (3x + 0' = ^(3x +1)"’1
d) Ta có:
(5-x)'\ = V3(5-x)v’ 1 (5-x)'=-V3(5-x)'’’ 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
■ 4
y = X3	b) y = x’3
Giải
4
Xét hàm số y = X3, ta có:
D = R
lim y = +00
X—>±ce
Đồ thị (học sinh tự vẽ).
Xét hàm số y = x"3 = -ỉ-, ta có:
X
D = R \ {o}
lim y = -00, lim y = +00 => tiệm cận đứng là X = 0 x->0‘	x-»0
lim y = 0 => tiệm cận ngang là y = 0
X—>±x
-3
Do y’ =	4 <0 \/x 6 R \ nên hàm số’ luôn nghịch biến trên từng
X
khoảng xác định.
Đồ thị (học sinh tự vẽj.
d) (V3)114
Hãy so sánh các sô sau với 1:
(4, l)2'7 b) (0,2)1’3 c) (0,7)3-2
Giải
Ta có: 4,1 > 1 nên (4, l)2 > l2'7 = 1
Tacó: (0.2)" = (4 j =
Vì 5 > 1 và 0,3 > 0 nên 5°-3 > 5" o 51’-1 > 1
Vậy^cl hay (o,2)"'3 < 1
Vì 0 0 nên (0,7)3'2 (o,7)3'2 < 1
Vã > 1; 0,4 > 0 nên (V3)"'4 > (Vã)" o (Vi)1’4 > 1
Hãy so sánh các cặp số sau:
, /o l\7-2 ..X ĩ A o\7-2	n ( I0Ỵ ( 12 V'
(3,1) và (4,3)	b) — và —21
111 7	111)
(o,3)03 và (0,2)°-3
Giải
Theo tính chất của hàm số lũy thừa y = x“ với a > 0 trên tập xác định D = (0;+co) thì y’ = ax“_l > 0
Với Vx e D nên hàm sô' đồng biến trên D.
Hàm số y = X7'2 đồng biến và 3,1 < 4,3 nên (3,1)7'2 < (4,3)7'2
Hàm sô' y = x2 ìđồng biến trên (0;+co) nên:
12	<10 V'3
11	(11,
111
Ta có (0,3) ■" > (o,2)