Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ khảo sát
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM số
Bài 1. Sự ĐỒNG BIỂN VÀ NGHỊCH BIỂN CỦA HÀM số
KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm sô' y = f(x) xác định trên K, hàm sô' f(x);
đồng biến (tăng) trên K nếu V x1; Xọ G K: X1 flxi) < f(x2).
nghịch biêh (giảm) trên K nếu V X1, x2 e K: X1 f(xi) > (x2) Hàm sô' đồng biến hay nghịch biến trên K gọi là đơn điệu trên K.
Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm sô' y = f(x) có đạo hàm trên K
Nêu f(x) > 0 V X e K, f(x) = 0 chỉ tại một sô' hữu hạn điểm thì hàm sô' f(x) đồng biêh trên K.
Nêu f(x) < 0 V X G K, f(x) = 0 chỉ tại một sô' hữu hạn điểm thì hàm sô' f(x) nghịch biến trên K.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm sô
Quy tắc: Ta có thể xét tính đơn điệu của hàm sô' y = f(x) như sau:
Tìm tập xác định của hàm sô' rồi tính f(x).
Tìm các điểm mà tại đó f(x) không xác định hoặc bằng không.
Sắp xêp các điếm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Kết luận về tính đồng biến và nghịch biến của hàm sô'.
GIẢI BÀI TẬP
Xét sự đồng biêh, nghịch biến của các hàm sô':
a) y = 4 + 3x - X2
b) y = -ị X■’ + 3x2 - 7x - 2 3
c) y = X -
2x2 + 3
d) y = -X3 + X2 - 5
Giải
a) Ta có:
D = R
y’ = 3 — 2x = 0 4
3
=> X = —
2
Theo bảng biến thiên thì hàm số đồng biến trong khoảng I-00’2 .	
và nghịch biến trong khoảng 3-;+co •
\2	,
Ta có: D = R
y’ = X2 + 6x - 7
y’ = 0 X1 = - 3 - VĨ6 = - 7 hoặc x2 = - 3 + V16 = 1
Theo bảng biến thiên thì àm số đồng biến trong các khoảng (-oo;-7) và (l;+oo) ; nghịch biến trong khoảng (-7; 1).
Ta có: D = R
y’ = 4x3 - 4x = 4x (x2 - 1)
y’ = 0 X1 = 0; x2,3 = ± 1
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-OOJ-1) và (0;l); đồng biến trong các khoảng (-l;0)và (l;+oo) .
Ta có: D = R y’ = -3x2 + 2x
2
y’ = 0 X = 0 hoặc X = —
Bảng biến thiên:
X
—00
0
2
3
+00
y'
—
0
+
0
—
y
+oo
y(0)
y(f)
—GO
Rì-
l 3)
Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng ( 3	>
(-co;0) và I 2’+co I ’ đồng biến trong khoảng
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số’: 3x + l	, X2 -2x
y = ———	b) y = ———
-X	1-X
/ T	2 X
c) y = Vx2 - X — 20	d) y = ■,
X - 9
Giải
Ta có: D = R\ {1Ị
-4
y’ = -	—7T < 0 V X 1
(1-x)2
Đạo hàm không xác định tại X = 1
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên thì hàm sô' nghịch biến trong các khoảng (-co;l) và (l;+co).
Ta có: D = R \ {ly
x2-2x	x2-2x + 1-1	,	1
V = — — -	= —X I 1 — -	
l-x	1-x	1-X
Đạo hàm y’ không xác định với X = 1 Bảng biến thiên:
Theo bảng biên thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-00; 1) và (l;+co).
Ta có: D = IX e R / X2 - X - 20 > oỊ
X2 - X - 20 = 0
1 - 71 + 80 A 1 + 71 + 80 c
y’	0	+
Theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến trong nửa khoảng (-co; -4] và đồng biến trong nửa khoảng [5; + 00).
Tacó: D = R\{±3}
—— 18
y’ = ——	< V X e D, không xác định với X = ± 3
(x=-9):
Bảng biến thiên:
Theo bảng biên thiên thì hàm số nghịch biến trong các khoảng (-00; -3), (-3; 3) và (3; + oo).
Chứng minh rằng hàm số y = ,x đồng biến trên khoảng X +1
(-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-co; -1) và (1; +00).
Giải
Ta có: D = R
,	1-x2
y =	= 0 X = ± 1
(1 + x2)
X
—CO
-1
1
+00
y'
0
+
0
—
Hàm số có đạo hàm trong (-1; 1) và không âm trong khoảng đó nên hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 1).
Ta có y’ < 0 V X e (- 00; -1) u (1; + 00).
Vậy hàm số’ nghịch biến trong các khoảng (-00; -1) và (1; +oo).
Chứng minh rằng hàm số y = \/2x - X2 đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Giải
Ta có: 2x - X2 = 0 X - 0 hoặc X = 2
=> 2x - X2 >0 với X e [0 ; 2]
=> D = [0 ; 2]
y,= 7^7=Ot=”‘°1
V2x-x
X
0
1
2
y’
+
0
Hàm sô’ có đạo hàm trong tập xác định và y’ > 0 với X e (0; 1) do đó đồng biến trên khoảng (0, 1); y’ < 0 với X e (1; 2) nên nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tanx > X
71
71
2
Giải
a I Xét hàm số: y = f(x) = tanx - X trên khoảng
T.ì có: y’ = —	1 có đạo hàm trên khoảng 0, -y
cos X	1 2
Và đạo hàm f(x) > 0 V X e 0;-^ I
2/
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ^0’2 I ■
Vậy với X e 0;^- ta có f(x) > f (0) = 0 hay tan X - X > 0 V 2;
n 71
Do đó tanx > X với 0 < X < — .
2;
X3	,,	,
Xét hàm sô’: y = g(x) = tanx - X - -7- trên khoảng 0;-^
Ta có: y’ = —,	1 - X2 = tan2 X - X2
cos2 X
o ~	(	71 3
Theo kết quả câu a) thì tanx > X V X e 0;—
( 2;
00	I 71 I
=> g’(x) = tan2x - X2 > 0 trên khoảng 0;-2J
71
,	X3 X . ...	.	( 7Ĩ
’2
Vậy hàm sô g(x) = tanx - X —— đồng biến trên khoảng 0; —
k 2
x‘3	71
Do đó g(x) > g(0) = 0 hay tanx > -y- với 0 < X <