Giải bài tập Toán 12 Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Bài 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ số THựC KIẾN THỨC CẦN NAM vững Căn bậc hai của một sô thực âm Căn bậc hai của số’ thực a < 0 là ±i^y[a[ Phương trình bậc hai với hệ sô thực Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c e R, a 0. Biệt thức A = b2 - 4ac, nếu: ủ A = 0 thì phương trình có một nghiệm X = - — 2a A > 0 thì phương trình có hai nghiệm được xác định bởi công thức: -b - VÃ -b + VÃ X1 =—„—ỉ X, =—-— 1 2a 2 2a A < 0 thì phương trình có hai nghiệm là hai sô’ thực (liên hợp với nhau) được xác định bởi công thức: _-b-iựịÃ[ _-b + i^Ãj X] — 1 X-) — 1 2a 2 2a GIẢI BÀI TẬP Tìm các căn bậc hai phức của các sô' sau: -7; -8; -12; -20; -121 Giải Các căn bậc hai của -7 là ±iyfĩ -8 là ±12^2 -12 là ±12^3 -20 là ±Ĩ2V5 -121 là ±1 li Giải các phương trình sau trên tập hợp sô' phức: -3z2 + 2z - 1 = 0 b) 7z2 + 3z + 2 = 0 5z2 - 7z + 11 = 0 Giải Ta có: Z| 2 Ta có: Zj 2 Ta có: Zj, -l + iV2 Ị±iV2 ~-3 " 3 -3 ± i V47 14 7±iVĨ7Ĩ 10 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: z4 + z2 - 6 = 0 b) z4 + 7z2 + 10 = 0 Giải Đặt t = z2 ta được: t2 + t - 6 = 0 ti = -3, t2 = 2 Với t = -3 ta được z2 = -3 => z, 2 = ±iV3 Với t = 2 ta được z2 = 2 => z3 4 = ±5/2 Phương trình đã cho có các nghiệm là +1V3, ± V2 Đặt t = z2 ta được: t2 + 7t + 10 = 0 » t = -5 V t = -2 Phương trình đã cho có các nghiệm là ±iV5 và ±iV2 Cho a, b, c s R, a Nếu A < 0 phương trình có hai nghiệm phức 0, Z1, z2 là hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức) của phương trình ax2 + bx + c - 0. Hãy tính Z1 + z2 và Zjz2 theo các hệ số a, b, c. Giải Ta có: A = b2 -4ac Ồ * • Nếu A = 0 phương trình có nghiệm thực z = - 3— • Nếu A > 0 phương trình có hai nghiệm thực: Z1 = 2a -b + Va '2 = 7“ 2a Khi đó: -b-VA -b-VA b z,+z2 = 2a 2a (b)2-A _ b2-(b2-4ac) _ c Zị -) a 4a2 4a2 Khi đó: Zl + Z2 = 2a 2a b2 +|a| b2+4ac-b2 z! ,z2 = —ị—1 = 4a2 4a2 a Như vậy, nếu Zj, z2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c e R, a/0. Khi đó Zj + z2 =-— ; z,z2 = — a “ a Cho z = a + bi là một sô' phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ sô' thực nhận z và z làm nghiệm. Giải Cho z - a + bi thì z = a - bi, khi đó: z + z = 2a, z. z = a2 + b2 và z và z là hai nghiệm của phương trình: (x — z) (x — Z) = 0 X2 - (z + Z )x + z 7. = 0 X2 - 2ax + a2 + b2 = 0