Giải bài tập Toán 12 Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài 5. KHẢO SÁT sự BIỂN THIÊN VÀ VẼ Đồ THỊ HÀM số A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Hàm số y = f(x)
Các bước khảo sát:
Tìm tập xác định của hàm số
Xét sự biến thiên
Xét chiều biêh thiên:
+ Tìm đạo hàm f(x)
+ Tìm các điểm tại đó f(x) bằng không hoặc không xác định
+ Xét dâu của đạo hàm f(x) và suỵ ra chiều biến thiên của hàm số.
Tìm cực trị
Tìm các giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có)
Lập bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị của hàm số.
Hàm sô đa thúc và phân thức
ơ. Hàm sổ y - ax' + bx2 + c.v = d ía * 0)
Tập xác định: 1) = R, có giới hạn ở vô cực là vô cực.
Đạo hàm: y’ = 3ax2 + 2bx + c là một tam thức bậc hai.
+ Nếu A' = b2 - 3ac 0 và luôn nghịch biến trên D với a < 0.
+ Nếu A' = b - 3ac > 0 thì phương trình y’ - 0 có hai nghiệm phân biệt và hàm số có hai cực trị.
Đồ thị hàm sô không có tiệm cận.
b. Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c fa * Oi
Tập xác định: D = R, có giới hạn ở vô cực là vô cực; là hàm sô' chẵn.
Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
+ Nêu ab > 0: Hàm sô’ có một cực trị.
+ Nếu ab < 0: Hàm sô' có ba cực trị.
- Đồ thị hàm sô' không có tiệm cận.
c. Hàm sô y =
CIX + h
cx + </
(cíO; ad -be 0)
Tập xác định: D = R\ t
Đạo hàm: y. . *11*
(c.x+d)2
+ Nếu ađ - bc > 0: Hàm sô luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. + Nếu ad - bc < 0: Hàm sô' luôn nghịch biên trẽn mồi khoảng xác định.
. z .. „ d „ a
Đô thị hàm sô có tiệm cận đứng X = , tiệm cận ngang = —.
c c
Tương giao của các đồ thị
Nếu hàm sô' y = f(x) có đồ thị là (C1) và y = g(x) có đồ thị là (C2) thì các đường cong (Ci) và (C2) giao nhau tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f(x) - g(x).
B. GIẢI BÀI TẬP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm sô bậc ba sau:
y = 2 + 3x - X3 b) y = X3 + 4x2 + 4x
y = X3 + X2 + 9x c) y = -2x3 + 5
ư ằV .3
Giải
a. Ta có: D = R
y’= 3 — 3x2 = 0 »x = ±l
Các giới hạn:
Đồ thị (hình bên).
Với X. = -2, y = 4. Đồ thị qua điểm (-2; 4).
b) Ta có: D = R
Các giới hạn:
Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2)
Giao điếm của đồ thị với trục hoành:
-X3 + 3x + 2 = 0
«(x + l)(-x:+x + 2)=0
« X =-l. x = 2
Bảng biến thiên:
Đồ thị (hình trên).
Ta có: D = R
lim y = -00, lim y = +00 y’ = 3x2 + 2x + 9 > 0 Vxe R Bảng biến thiên:
Đồ thị (hình bên).
Ta có: D - R, lim y = +co, lỉm y = -00 y’ = — 6x2 = 0 X = 0. y' < 0 Vx * 0
Bảng biến thiên:
ao - + ++ ỊbỊO Tai
GBT Giải tích 12 - CB
b) y = X4 - 2x2 + 2 d) y = -2x2 - X4 +3
Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm sô' bậc bôn sau:
c)y= jx
y = -X4 + 8x2 - 1 4+x2-ị
2
Giải
a) Ta có: D = R, hàm số là hàm sô' chăn.
lim y = lim X4 -1 + —5--—Ị- = -00 x~->±co X—>±50 I X* / y’ = -4x3 + 16x = 0 4x(-x2 +4) = 0 X = 0 V X = ±2
Bảng biến thiên:
X
— 00 -2
0
2 . +00
•y’
+ -
+
y
JT 15
»45-.
—00
-V
—a
Đồ thị (hình dưới).
*y
Ễ
15
..
Ta có: D = R, hàm sô' là hàm số chẵn, lim y = +co
X—>±50
y’ = 4x3 — 4x = 0x = 0, x = ±l
Bảng biến thiên:
X
-00 -1 0 1 +°°
y
0 + 0 - 0 +
y
2 +00
1 1
Đồ thị (hình dưới).
c) Ta có: D = R, hàm số là hàm sô chẵn.
Đồ thị (hình bên).
Ta có: D = R, hàm số là hàm số’ chẩn, lim y = -00
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số’ phân thức:
l-2x
b’ y = irzr
2x-4
Giải
Ta có: D = R \ {1}
lim y = -co ; lim y = +00
Vậy X = 1 là tiệm cận đứng.
lim y - lim Y
X
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.
, 3
Giao điểm của đồ thị với trục tung (0; -3), với trục hoành (-3; 0): Đồ thị (hình trên).
Ta có: D = R \ {2}
lim y = +co; lim y = -00 =c> X = 2 là tiệm cận đứng lim y = -1 => y = -1 là tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên:
Đồ thị (hình bên).
Ta có: D - R \ f
I 2J
lim =-00, lim =-co zz> X = —— là tiệm cận đứng.
x“_ ' xi- - 2
Bảng biến thiên:
Đồ thị (hình dưới).
y
Bảng biến thiên:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
y = X3 - 3x2 + 5 b) y = 2x3 - 3x2 c) y = 2x2 - X4
Từ đồ thị tìm sô' nghiệm của các phương trình sau:
X3 - 3x2 + 5 = 0 b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0 c) 2x2 - X4 = -1
Giải
Xét hàm sô' y = X3 - 3x2 + 5, ta có:
D = R
lim y = -co, lim y = +00
y’ = 3x2 - 6x = 0 X = 0. X = 2
Đồ thị (hình trên).
Đồ thị hàm sô' y = X3 - 3x2 + 5 chỉ cắt trục hoành tức là cắt đường thẳng y - 0 tại điểm duy nhát. Từ đó suy ra rằng phương trình X3 - 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm.
Ta có: -2x3 + 3x2 - 2 = 0 2x3 — 3x? = —2 Xét hàm số’ y = 2x3 - 3x2, ta CÓ:
D = R
lim y = -co, lim y = +co
y’ = 6x2 - 6x - 0 X = 0 V X = 1
Bảng biến thiên:
4-00
Đồ thị (hình dưới).
Đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 là đường cong chỉ cắt đường thẳng y = -2 tại một điểm. Điều này cho thấy phương trình 2x3 - 3x2 - -2 chỉ có 1 nghiệm. Vậy phương trình -2x3 + 3x2 -2 = 0 chỉ có một nghiệm.
Xét hàm sô' y = 2x2 - X4, ta có:
lim y = -co
y' =4x-4x’ =0 : > X = 0, x=±l
Bảng biến thiên:
y' +0-0 + 0 -
Đồ thị (hình bên).
Đồ thị hàm sô y = 2x2 - X4 cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm. Vậy phương trình 2x2 - X4 = -1 có hai nghiệm.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số’:
y = -Xy +°° 3
-1 * —00
Đồ thị (hình trên).
Ta có: X2 - 3x + m = 0
—X' + 3x +1 = 1 + m
Đặt k = -1 + m. Sô’ giao điểm của đồ thị hàm số y = -X3 + 3x + 1 với đường thẳng y = k là sô’ nghiệm của phương trình X3 - 3x + m = 0
Dựa vào đồ thị, nếu:
+ k 1 + m m < -2 thì (C) cắt k tại 1 điểm.
+ k = -1 1 + m = -1 m = -2 thì (C) cắt k tại 2 điểm.
+ -1 -1 —2 < m < 2 thì (C) cắt k tại 3 điểm.
+ k = 3 1 + m = 3 m = 2 thì (C) cắt k tại 2 điểm.
+ k > 3 1 + m > 3 m > 2 thì (C) cắt k tại 1 điểm.
Từ đó ta suy số’ nghiệm của phương trình X3 - 3x + m = 0 phụ thuộc
tham sô' m như sau:
+ Phương trình có 1 nghiệm nếu m 2
+ Phương trình có 2 nghiệm nếu m = -2 hoặc m = 2
+ Phương trình có 3 nghiệm nếu -2 < m < 2.
+ 3x + 1
Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số’ nghiệm của phương trình sau theo tham số’ m: X3 - 3x + m = 0. y
y’ - 0+0
„ mx-1
Cho ham so y = ——
2x + m
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm sô' luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua a(—Ị; V2 ).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Giải
Ta có: D = I -00;--ỈP- |u| - — ;+oo I
l 2) l 2 )
ĩĩl” I Ị
y’ = —■ ', > 0 Vm và Vx e D
(2x + m)
Vậy hàm sô' luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ta có: lim y = +CO Đồ thị có tiệm cận đứng là X = - — xJ-4 2
2
Điểm A( -1; V2 ) thuộc đường X = - khi và chỉ khi - -7- = -! v ’ 2 2
m = 2
X xr<- , - 2x -1 , .X , A ,
VỚI m = 2 ta có y = -, xét hàm sô trên ta có:
2x + 2
. D = R \ {-1}
lim y = +co. lim y - -co => Đồ thị có tiệm cận đứng là X = -1 x-»-r x-»-r
lim y = 1 => Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1
X—>±00
y’ = ----- >0 Vx e D.
4(x + l)
Một sổ" điểm thuộc đồ thị:
0;-2-
4- , ,;0 , 2/ 12 J
Đồ thị (hình bên). I
Cho hàm sô': y = — X4 + —X2 + m
4 2
Với giá trị nào của tham sô m, đồ thị của hàm sô' đi qua điểm (-1; 1)?
Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô' khi m = 1.
Viết phương trình tiêp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng — .
Giải
a) Đồ thị hàm sô' qua điếm (-1; 1) khi và chỉ khi:
b) Với m = 1, ta có: y = — X4 +2-X2 +1, xét hàm sô' trên ta có:
4 2
D = R
lim y = +00 , hàm sô' là hàm sô' chẵn
y’ = X3 + X = 0 X - 0 Bảng biến thiên:
0
Đồ thị (hình dưới).
t = X
Như vậy đồ thị có hai điểm có 7
4
và
của (C) tại điểm
là:
Điếm thuộc (C) có tung độ bằng —. Vậy hoành độ của đồ thị là 4
nghiệm của phương trình:
tung độ bằng — là
4
và phương trình tiếp tuyến
y = -2x- —
4
là:
. c, 7
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điếm 1; — I 4
y = y’ (1) [x + l] + Ỵy =2x—ị
4 4
Cho hàm số: y = X3 + (m + 3)x2 + 1 - m (m là tham số’) có đồ thị là (Cra). .
Xác định m để hàm số có điểm cực đại là X = -1.
Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại điểm X = -2.
Giải
, „ _ „ 2
Ta có: y’ = 3x + 2(m + 3)x = 0 X = 0 V X = -yin “2
* Nêu - — m-2 = 0m = -3 ta có y’ >0 Vx e R , hàm sô không có
cực trị. Do đó để hàm số’ có cực trị thì - -—-—- 0. 3m-2
* Nếu - Ậ m - 2 > 0
3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là X = 0
2
* Như vậy, đế’ có điểm cực đại tại X = -1 thì -j-m - 2 m = -3, khi đó:
3 ,
- — m - 2 = -1 m = - — (thỏa mãn điều kiện)
2 . .
Ta có: đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại điểm X = -2 suy ra -2 là một nghiệm của phương trình X3 + (m + 3)x3 + 1 - m - 0, hay:
(-2)3 + (m + 3)(-2)2 + 1 - m = 0
3m + 5 = 0 m =
3
, (m + l)x-2m + l ,
Cho hàm số: y = ' (m là tham số) có đô thị (G).
X -1
Xác định m đế’ đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sô’ với m tìm được.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Giải
Đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1) khi và chỉ khi:
__1= (m + l)0-2m + Ịom = 0
0-1
X + 1 , . x ,
Với m = 0 ta có: y = , xét ham so trên ta có:
X- 1
D = R \ {1}
+ Đồ thị có tiệm cận đứng là X = 1
+ Đồ thị có tiệm cận ngang là y - 1
y’ = ~2 <0 Vx e D
(x-1)
Đồ thị (hình dưới).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm P(0; -1), khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm P(0; -1) là:
y = y’(O)[x -()] -1 y = -2x - 1 .