Giải bài tập Toán 12 Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit

Bài 4. HÀM SỐ MŨ, HÀM số LOGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Hàm sô mũ
Cho sô a > 0, a / 1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ sô' a.
Khảo sát:
D = R.
*
Thừa nhận giới hạn lim
t->0
e' -1
	1 = 1, ta chứng minh được: t
[ex]’ = ex; [ax]’ = axZna (a > 0, a 	[Inx]’ = —, [logax]’ = —.
X	xlna
Nếu:
a > 1: hàm sô' luôn đồng biến trên D
0 < a < 1: hàm sô' luôn nghịch biến
Đồ thị luôn đi qua hai điểm (1; 0) và (a; 1) có tiệm cận đứng là trục Oy.
B. GIẢI BÀI TẬP
Vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y = 4:
Giải
a) Ta có: D = R, hàm số luôn đồng biến.
 1) [au(xl]’ = a ( .Zna.u’(x)
Nếu:
a > 1: hàm sô' luôn đồng biến
0 < a < 1: hàm sô' luôn nghịch biến
Đồ thị luôn đi qua hai điểm (0; 1) và (1; a) có tiệm cận ngang là trục Ox.
Hàm sô logarit
Cho sô' a > 0, a 1. Hàm sô' y = logax được gọi là hàm sô' logarit cơ sô' a.
Khảo sát:
b) y =
D = (0; +co)
lim 4X = 0 => Hàm số có tiện cận ngang là y = 0 X—>-co
y = 5x2 -2X cosx
=> y = 0 là đường tiệm cận ngang. Đồ thị đi qua điểm (0; 1).
Một số điểm khác thuộc đồ thị:
w;4),
ĐỒ thị (hình bên).
Tính đạo hàm của các hàm số:
y = 2xex +3sin2x	b)
c) y =
x + 1
3'
Giải
y' = (2xex)'+(3sin2x)' = 2(x)'ex +2x(ex)'+3(sin2x)'
= 2ex +2xex +3cos2x.(2x)’ = 2ex(x + l) + 6:os2x
y’ =(5x2)'-(2x cosx)' = 10x-|j2x)cosx + 2x (cosx)'J
= lOx-2X In 2.COSX+ 2X sin X
= 10x-2x (ln2.(cosx-sinx)j
Ta có: y = (x + l)3’x
y’= (x+.l)'.3’x+(x + l)(3’x)' = 3’x+(x + l)3‘xln3.(-x)'
Tìm tập xác định của các hàm số:
y = log, (5-2x)	b) y = log3 (x2 -2x)
y = log, (x2-4x + 3)	d) y = log0 4 3x + 2
■ 1 -X
Giải
Ta có: D = (x G R\5-2x >oj =^_oo;'|ì ■
Ta có: D = {x e R \ X2 -2x > oỊ = (-co;o)u(2; +co)
Ta có: D = Ịx G R \ X2 -4x + 3 > o} = (-co;l)u(3;+co)
2
Ta có: 3x + 2 > 0 X >
3
- X > 0 X < 1
Bảng xét dấu:
Vậy tập xác định của hàm sô là D = I ——; 1 I.
Vẽ đồ thị của các hàm sô":
y = logx	b) y = log! X
2
Giải
a) Ta có: D = (0;+co)
lim log X = -co => Đồ thị có tiệm cận đứng là X = 0 X—»0*
Bảng giá trị:
X
0.01
0.1
1
10
y
-2
-1
0
1
lim log, X = +co. Đường tiệm cận đứng là X = 0.
x->()+
lim log! X = -co
X—>+x	-
2
Đồ thị (hình dưới).
Tính đạo hàm của các hàm số':
y = 3x2 -lnx + 4sinx
y = log(x2 +X + 1)
. „ loỗ3 x
y =	°---—
X
Giải
a) Ta có: y' = ^3x2J'-[lnx]'+4[sinx]' = 6x— + 4cosx
b) Ta có: y’ =
(x2 + X + 1)'
2x + l
(x2 + x + l)lnio (x2 + x + l)lnio
c) Ta có: y’ =
 1 -ln3.1og3 X
X2 In 3
X2
1-lnx
X2 In 3
X. —-----log, X
Xln3 3
X2
vì ln3.1og3 X = ln3.^^-= Inx I.
In3 I