Giải Toán 11: Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
ỉ. Kiến thức cơ bản
Nắm vững định nghĩa quy tắc cộng, quy tắc nhân. Phân biệt hai quy tắc.
Nắm vững các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niu-tơn.
Nắm vững khái niệm phép thử, biến cô, không gian mẫu.
Định nghĩa xác suất cố điển, tính chát của xác suất.
Kĩ năng cơ bản
Biêt cách tính sô phần tử của tập hợp dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân.
Phân biệt hoán vị, chinh hợp, tô hợp. Khi nào thì dùng đến chúng đế tính sô' phần tứ của tập hợp?
Biết cách biểu diễn biến cố bằng lời và bằng tập hợp.
Biết cách xác định không gian mẫu và tính số phần tứ của không gian mẫu.
Tính được xác suât của một biến cô.
Bài tập
Ghi chú: Các câu hoi 1, 2, 3 học sinh xem lại phần lí thuyết của sách giáo khoa.
Bài 4
Có bao nhiêu sô chắn có bốn chù' số được tạo thành từ các chù' số 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:
Các chữ số có thể giống nhau?
Các chữ số khác nhau?
	y
	 Giúi
Giả sử sô’ tạo thành là abcd.
Vì số tạo thành các chữ sô’ có thể lập lại nên để đếm số các số cần tìm, ta lí luận như sau:
Chọn chữ số hàng đơn vị: d được chọn từ các chữ sô 0, 2, 4, 6. Có 4 cách chọn.
Chọn chữ số hàng nghìn: a có 6 cách chọn từ các chữ số 1, 2, ..., 6.
Chọn chữ số hàng trăm: b được chọn từ bảy chữ số đã cho. Có 7 cách chọn.
Chọn chữ sô’ hàng chục: c được chọn từ bảy chữ số đã cho nên cũng có 7 cách chọn.
Từ đó theo quy tắc nhân ta có
6 . 7 . 7 . 4 = 1176 (số).
Vì các chữ sô’ khác nhau nên các sô’ chẩn có bốn chư sô’ khác nhau tạo thành từ bảy chữ sò’ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, bao gồm:
Các sô’ có chữ số hàng đơn vị bằng 0
Nếu d - 0 thì sô’ cách chọn bộ ba chữ sô’ abc là:
Ag =120 (cách)
Do đó có 120 cách chọn sô’ có bốn chữ sô’ khác nhau mà chữ số hàng đơn vị bằng 0.
Các sô’ có chữ sô hàng đơn vị là sô chẵn khác 0 Nếu d * 0 thì d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn.
Khi đã chọn a và d rồi thì có A? = 20 cách chọn bc.
Theo quy tắc nhân, ta có sô các sô mà d í 0 và chắn là
3 . 5 . 20 = 300.
Vậy theo quy tắc cộng, sô các sô’ chẵn có bốn chữ số khác nhau là 120 + 300 = 420 (số).
Bài 5
Xếp ngâu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngõi vào sáu ghê kè theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.
Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Giái
Vì mỗi cách xếp cho ta một hoán vị cua sáu người nèn n(Q) = 6!.
Đế dễ hình dung, ta đánh sô ghè’ như sau (lì. 13)
1
2
3
4
5
6
Hìnl
1 13
Kí hiệu A là biến cố “Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau”.
Nếu nam ngồi đầu bàn (ghế số 1) thì có 3!.3! cách xếp nam, nữ xen kẽ nhau.
Nếu nữ ngồi đầu bàn thì cũng có 3!.3! cách xếp mà nam, nữ xen kẽ nhau. Vậy theo quy tắc cộng n(A) = 2.(3!)2.
n(Q) 6!	' 10
Kí hiệu B là biến cô: “Nam ngồi cạnh nhau”.
Trước tiên xếp chỗ cho 3 bạn nam, vì 3 bạn nam ngồi cạnh nhau nên chỉ có thể có 4 khả năng ngồi ở các ghế là (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6). Vì 3 bạn nam có thể đổi chỗ chọ nhau nên tất cả là
4.3!
cách xếp cho 3 bạn nam ngồi cạnh nhau vào sáu ghế xếp thành hàng ngang.
Sau khi đã xếp chỗ cho 3 bạn nam. Ta có 3! cách xếp chỗ 3 bạn nữ vào 3 chỗ còn lại.
Theo quy tắc nhân tố các cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 4 . 3! . 3!
Vậy
n(B) = 4.3Ỉ.3!, P(B) =	= ị = 0,2 .
n(Q) 5
Bài 6
Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bôn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho
Bốn quả lấy ra cùng màu;
Có ít nhất một quả màu trắng.
Giải
n(Q) = cío = 210
a) Kí hiệu A: “Bốn quả lấy ra cùng màu”. Ta có
n(A) = Cg +ỢỊ =16, P(A) = n(A) 16
105
n(fi) 210
b) Kí hieu B: “Trong 4 quả lấy ra có ít nhất một quả trắng”. _
Khí đó, B là biến cố: “Trong 4 quả lấy ra có đúng 4 quả đen”, n(B) = cị.
Từ đó P(B) = -|i- = -L.
210 210
— 1 200
Vậy	P(B) = l-P(B) = 1--7- =
210 210
Bài 7
Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.
Giái
Không gian mẫu Q = {(a, b, c) ỉ 1 < a, b, c < 6(.
Vậy theo quy tắc nhân
n(Q) - 63 = 216 (phần tu' đồng khả năng). _
Kí hiệu A: “Khổng lần nào xuất hiện mặt 6 chấm” thì A là biến cố:
“ít nhất một lần xuât hiện mặt 6 chấm”.
Vì n(A) = 53 (theo quy tắc nhân) nên P(A) =
líTi _ 1	...	1*'	-X n -1-	”
P(A) = 1 - P(A) = 1 -
• Vậy
n(A) n(Q) 0,4213.
Bài 8
Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, c, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất saọ cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:
Cạnh của lục giác;
Đường chéo của lục giác;
Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.
Giải
Không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 2 của 6 (đỉnh), do đó n(fì) = Cg = 15.
■ Kí hiệu A, B, c là ba biến cố cần tìm xác suât tương ứng với các câu a), b), c).
Vì số cạnh của lục giác là 6 nên n(A) = 6, P(A) =	= — = —.
n(fì) 15	5
Số đường chéo là n(B) = Cg - 6 = 9. Vậy P(B) =	= 77 = t •
n(Q) 15	5
n(C) = 3,P(C) = 2g4 = i
Bài 9
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
Hai con súc sắc đều xuất hiên mặt chẵn.
Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ.
Giai	\
Q = i(i, j), 1 n(Q) = 36
A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”.
=> A = Ị(i, j) I i, j = 2, 4, 61 nên n(A) = 9.
vvp‘A)„ĩỂ=i,.„..
Gọi B lả biến cố “Tích các số châdri trên hai con súc sắc là lẻ”
=> B = {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)1 => n(B) = 9
VậyP(B) = ^ = ỉ
Bài tập trắc nghiệm
Chọn phương án đúng trong các bài tập sau:
Lấy hai con bài từ chỗ bài tú lơ kho 52 con. Sô' sách lấy là:
A. 104	B. 1326	c. 450	D. 2652
Năm người được xèp vào ngồi quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:
14. c 15. c
ĐỂ KIỂM TRA CHƯƠNG II (THAM KHẢO)
ĐỀ Số 1 (45 phút)
Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. Lây ngẫu nhiên 3 quyển.
Câu 1. (2 điếm)
Tính n(Q).
Câu 2. (8 điếm)
Tính xác suất sao cho:
Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau. (3 điểm)
Cả ba quyển đều là sách Toán. (3 điểm)
It nhát dược một quyển sách Toán. (2 điểm)
ĐÁP ẤN
Câu 1. (2 điểm)
Không gian mẫu gồm các tố hợp chập 3 của 9 quyển sách.
Vì vậy n(Q) = Cg = 84.
Câu 2. (8 điểm)
Kí hiệu A, B, c lần lượt là ba biến cố ứng với các càu a), b), c). a) Để có một phần tử của A ta phải tiên hành ba lần lựa chọn (từ mỗi loại sách một quyển). Vậy
84,
cị;
n(fì)
n(B)
n(A) = 4 . 3 . 2 = 24 và P(A).= n(A) 24	2
Tương tự P(B)	84	21
Gọi c là biến cố “Trong ba quyển không có quyên Toán nào”, ta có:
n(ẽ) = cĩ = 10 và
n(Q) 84	42
ĐỀ SỐ 2 (45 phút)
Hai bạn lóp A và hai bạn lóp B được xếp vào 4 ghế sắp thành hàng ngang.
Câu 1. (2 điếm)
Tính n(Q).
Câu 2. (8 điểm)
Tính xác suất sao cho:
Các bạn lớp A ngồi cạnh nhau;
Các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau.
ĐÁP ẨN
Câu 1. (2 điếm)
Giả sử hai bạn lớp A được đánh số 1, 2 và hai bạn lớp B được đánh số 3, 4. Kết quả xếp chỗ tương ứng với một hoán vị của tập 11, 2, 3, 41.
Như vậy có thể mô tả không gian mẫu gồm các hoán vị của 1, 2, 3, 4. Từ đó, n(Q) = 4! = 24.
Câu 2. (8 điếm)
Kí hiệu:
c là biên cố “Hai bạn lớp A ngồi cạnh nhau”.
D là biến cô “Các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau”.
a) Đầu tiên xếp ba bạn 1, 3, 4 ngồi vào 3 ghế liền nhau, có 3! cách.
Sau đó xếp bạn số 2 ngồi cạnh bạn sô’ 1, có 2 cách.
n(C) = 3! . 2 = 12 p(C) = íỊC, = 12 n(Q) 24
và
Theo qụy tắc nhân ta có:
b) D cũng là biến cô’ “Các bạn lop A và B ngồi xen kẽ nhau”.
Đầu tiên xếp bạn lớp A ngồi ờ vị trí thứ nhàt chang hạn, tù' trái:
có 2! . 2! cách xếp 4 bạn ngồi xen kẽ.
Sau đó xếp bạn lớp B ngồi ở vị trí thứ nhất. Ta cũng có 2! . 2! cách ngồi xen kẽ.
Vậy n(D) - 2 . 2! . 2! = 8 và do đó
P(DI = 5iA = A 1
n(fì) 24	3
ĐỀ SỐ 3 (45 phút)
Cho một thập giác lồi.
Câu 1. (5 điểm)
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng là các đỉnh của thập giác?
Câu 2. (5 điểm)
Có bao nhiêu đường chéo của thập giác?
ĐÁP ÁN
Câu 1. (5 điếm)
Mỗi tam giác được tạo bởi một tập hợp 3 đỉnh của thập giác và ngược lại. Như vậy, số tam giác bằng số các tố hợp chập 3 của 10 đỉnh, tức là bằng
C?o = 12O.
Câu 2. (5 điếm)
Từ 10 đỉnh của thập giác có thể kẻ được C?0=45	'
đoạn thẳng, trong đó có 10 cạnh của thập giác. Vậy ta có 45 - 10 = 35 (đường chéo).
ĐỀ Số 4 (45 phút)
Túi bên phải có ba bi đỏ, hai bi xanh, túi bên trái có bốn bi đỏ, năm bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên.
Câu 1. (2 điếm)
Tính n(Q).
Câu 2. (8 điểm)
Tính xác suất sao cho:
Hai bi lấy ra cùng màu;
Hai bi lấy ra khác màu.
ĐÁP ẤN
Câu 1. (2 điếm)
Không gian mẫu là kết quả của hai hành động lấy bi liên tiếp.
Theo quy tắc nhân n(Q) = 5.9 = 45.
Câu 2. (8 điểm)
Kí hiệu biến cố A: “Bi lấy từ túi phải có màu đỏ”;
B: “Bi lấy từ túi trái có màu đỏ;
C: “Hai bi lấy ra cùng màu”;
D: “Hai bi lấy ra khác màu”.
Ta có A n B là biến cố: “Bi lấy từ hai túi phải và trái cùng có màu đỏ”;
An B là biến cố: “Bi lấy từ hai túi phải và trái cùng có màu xanh”. Từ đó suy ra
c = (A n B) u (A n B)
Hiển nhiên (AnB)n(AnB) = 0 nên theo công thức cộng xác suất ta có	V.
P(C) = P[(AnB)u(ÃnẼ] = P(A n B) + P(Ã n B)
Mặt khác, theo quy tắc nhân ta có
n(A n B) - 2.5 = 10 và n(A n B) = 3.4 = 12 .
Từ đó
n(AnB) n(ÃnB) _ 12	10 _ 22
p - n(Q) + n(Q) - 45 + 45 " 45'
Dễ thấy, D và c là hai biến cố đối nhau, nghĩa là D = c. Vậy
—	22	23
P(D) = P(C) = 1 - P(C) = 1-^ = 4^.
45	45