Giải Toán 11: Vấn đề 4. Phép trừ và biến cố

VẤN ĐỂ 4. PHÉP THỬ VÀ BIÊN cố
A. Kiến thức cần nhớ
Phép thử, không gian mẫu
Phép thủ
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Q.
Biến cô'
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
- Tập 0 được gọi là biển cố không tliể (gọi tắt là biến cố không}. Còn tập Q được gọi là biên cố chắc chắn.
Phép toán trên các biến cô'
+ Giả sử A là biến cố liên quan với một phép thử.
Tập Q \ A được gọi là biến cố dối của biến cô' A.
Kí hiệu Q \ A là Ã .
+ Giả sử A và B là các biến cố liên quan với một phép thử. Ta có định nghĩa sau:
Tập Au B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
Tập A n B được gọi là giao của các biến cố A và B.
Nếu A n B = 0 thì ta nói A và B xung khắc.
Theo định nghĩa, A u B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc	B xảy	ra;
A n B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra. Biến	cô	A n	B	còn
được viết, là A.B.
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Gieo một đồng tiền ba lần.
Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố:
A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”;
A
B:
C:
“Mặt sấp xảy ra đúng một lần”;
“Mặt ngửa xảy ra ít nhát một lần”.
Giiii
Kết quả của ba lần gieo là một dãy có thứ tự các kết quả của từng lần gieo. Do đó
Q = ISSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN1
A = 1SSS, SSN, SNS, SNN}
B = {SNN, NSN, NNSI
c = |NNN, NNS, SNN, NSN, NSS, SSN, SNS1 = Q \ (SSSI
Bài 2
Gieo một con súc sắc hai lần.
Mô tả không gian mẫu.
Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A = f(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4)7(6, 5), (6, 6)}
B = i(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)1 ,	c = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)1	
Giái
Không gian mẫu là tập họp các kết quả của hai hành động (hai lần gieo). Do đó
Q = i(i, j)H < i, j < 6Ị.
A là biến cố “Lần gieo đậu xuất hiện mặt 6 châm”;
B là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8”; c là biến cố “Kết quá của hai lần gieo như nhau”.
Bài 3
Một hộp chứa bôn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
Mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”;
„B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”,
Giải
íì = 1(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)1
A = 1(1, 3), (2, 4)1
B = 1(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)1 = _Q \ 1(1, 3)1
Bài 4
Hai xạ thủ cùng bán vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: “Người thú' k bắn trúng”, k = 1, 2.
Hãy biểu diễn các biến cô' sau qua các biến cố Ap A.?:
A: “Không ai bán trúng”;- B: “Cá hai đều bắn trúng”;
C: “Có đúng một người bắn trúng”;
D: “Có ít nhất một người bắn trúng”;
Chứng tỏ rằng A = D; B và c xung khắc.	
Giải
à) A = Aị nA,;	B = Aj n Ay;
c = (a, n A2) u (a, n A,) ;	D = AjuA.2
D là biến cố: “Cả hai người đều bắn trượt”.
Như vậy, D = A, nA, = A.
Hiển nhiên B n c = 0, nên B và c xung khắc.
Bài 5	
Từ một hộp chứa 10 cái the, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh sô 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.
Mô tả không gian mầu.
Kí hiệu A, B, c là các biến cô sau:
A: “Lấy được thẻ màu đỏ”;
B: “Lấy được thẻ màu trắng”
C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”.
Hãy biểu diễn các biên cố A, B, c bởi các tập hợp con tương ứng của
không gian mẫu.	>
Giai
Không gian mẫu Q được mô tả bởi tập Q = (1, 2,...,101.
A = jl, 2, 3, 4, 5) là biến cố: “Lấy dược thẻ màu đỏ”;
B = !7, 8, 9, 10) là biến cố: “Lấy được thẻ màu trắng”; c - (2, 4, 6, 8, 10) là biến cố: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”.
Bài 6
Gieo một đồng tiền liên tiêp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.
Mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cố:
À: “Số lần gieo không vượt quá ba”;
,	B: “Số lần gieo là bốn”.	 .
Giai
Không gian mẫu dược mò tả như sau
Q = IS, NS, NNS,'NNNS, NNNNỊ
A = IS, NS, NNS)
B = INNNS, NNNN)
Bài 7	
Tư một hộp chứa năm qua cầu được dành sô 1, 2, 3, 4, 5 lấy ngẫu nhiên hên tiếp hai lản mỗi lẩn mọt quả và xếp theo thứ tự tìi' trái sang phái,
Xây dựng không gian mầu.,
Xác định các biến cố sau:
A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”;
B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”;
C: “Hai chữ số bằng nhau”.
Giải
VI việc lấy là ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp
thứ tự nên mỗi lần lấy ta được một chỉnh hợp chập 2 của năm chữ số. Vậy không gian mẫu bao gồm các chinh hợp chập 2 của năm chữ số:	.
Q = 112, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51, 23, 32, 24, 42, 25, 52, 34, 43, 35, 53, 45, 54(.
A = 112, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 451;
B = 121, 421;
c = 0
c. Bài tập đề nghị
Bài 1
Gieo hai con súc sắc.
Mô tả không gian mẫu.
Gọi A là biến cò “Tổng số châm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A).
Cũng hỏi như trên cho các biến cố B: “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” và C: “Có đúng một con súc sắc xuât hiện mặt 6 chấm”.
Bài 2
Gieo một con súc sắc hai lần và chú ý đến số chấm xuất hiện ở mỗi lần gieo.
Mô tả không gian mẫu.
Xác định các biến cố sau và đếm số phần tử của các biến cố đó:
A: “Số chấm ở hai mặt bằng nhau”;
B: “Tồng'số chấm không nhỏ hơn 10”;
C: “Mặt 5 chấm xuât hiện trong lần gieo đầu”;
D: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
Bài 3
Có bốn tấm bìa như nhau được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên lần lượt ba tấm và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
Mô tả không gian mẫu.
Xác định số phần tử của biến cố.
A: “Tổng các số trên ba tấm bìa là 8”.