Giải Toán 11: Vấn đề 4. Cấp số nhân

VÂN ĐÊ 4. CÂP SÔ NHÂN
1. Định nghĩa
A. Kiến thức cần nhớ
Hệ quả: Q -
un
2. Sô' hạng tổng quát
n-1
s(u„) un+1 = unq với n e N*. n+1
Tính châ't
(k > 2)
^k-lL*k+l
hay Juk| = Vuk-Iuk
u1(q“ - 1) ,
s„ = -1—	— (q * 1).
Tổng n sô' hạng đẩu
q -1
Đặc biệt: Nếu q = 1 thì Su - núp
Lưu ý: Khi giải các bài toán về câp số nhân, ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là Uị, q, n, Uu, Sn. cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng ’f'ẽn thì có thê tính được các đại lượng còn lại.
Sư
Bài 1
là các cấp số nhàn.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Chứng minh các dãy số — .2' <5	)
Giải
Lập tỉ số
ta có:
a)
un + l _	2n+1
:^.2n - 2. Vậy un+1 = un.2.
Đáp số: un+1 - un.
Đáp số: Un+1 = un •
Bài 2
Cho cấp số nhân (un) với công bội q.
Biết U1 = 2, Ug = 486. Tìm q.
Biết q =-, u4 = —. Tìm Up
Biết U1 = 3, q = -2. Hỏi sô 192 là số hạng thứ mày?
a) Đáp số: q = 3 c) Đáp số: n - 7
Giiíi	9
b) Đáp số: u4 = —
Bài 3
Tìm các số hạng của cấp số nhân tu ) có năm sô hạng, biết:
u3 = 3 và u5 = 27
u4 - u.? = 25 và Ug -	= 50
Giái
Áp clụng công thức số hạng tổng quát, ta có:
u3 = 3 = u4q2 và U- = 27 = urq4
Vì 27 = (Uj.q2).q2 = 3.q2 nên q2 = 9 hay q = ±3.
Thay q2 - 9 vào công thức chứa u3, ta có u3 = Ỵ-.
1 „ n nr7 3
Nếu q = 3, ta có cấp số nhân: —, 1, 3, 9, 27 ■ 3!
Nêu q - -3, ta có cấp sô nhân: —- 1, 3, — 9, 27 3
b) Ta có <
uLq3 - iqq = 25 Ulq2 -UL = 50
hay
u,q(q2 -1) = 25	" (1)
u,(q2-1) = 50 _	(2)
Thay (2) vào (1), ta được 50.q = 25, suy ra ,q =
25 _2_ 50 - 2
SI
Từ (2) có ux =
Ta có cấp số nhân: -
50
q2-l 1_1 4
200 100
200
Bài 4
50
3
25
3
25
6
Tìm cấp sô nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Giải
Giả thiết cho iq + u2 + Ug + u4 + Ug -
31
(1)
+ Un + u, + u. + U,. = 62
và u2 + u3 + u4 + Ug + Ug = c Nhân cả hai vế của (1) với q, ta được:
Ujq + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q hay u2 + Ug + u4 + u5 + u6 = 31q Suy ra 62 = 31q hay q = 2.
V,S5 = 3l = ;‘(i:2’
1-2
nên u4 = 1.
Vậy ta có cấp số nhân: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Bài 5
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tinh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Giải
Gọi số dân của tỉnh đó là N.
Sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%N.
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là N + 1,4%N = 101,4%N.
Số dân tỉnh đó sau mỗi nám lập thành một cấp số nhân.
N.HldN.flHdfN,...
1,8 triệu người thì sau 5 nề
í“777“Ĩ -1’8 ~ 1’9 (tri<?u
100 l 100 J
100
.1,8 « 2,1 (triệu).
Giả sử N = 1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là
và sau 10 năm sẽ là
Bài 6
Cho hình vuông Cj có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh cua hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nôi các điểm chia một cách thích hợp đế có hình vuông C9. Từ hình vuông C9 lại làm ’tiếp nhu'
trên đế được hình vuông C3, ... Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy các hình vuông Cp c2, Cg, ..., Cn, ...
Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.
Giải
Xét dãy (an), ta có a, - 4.
Già sử hình vuông Cn có độ dài cạnh là a . Ta sẽ tính cạnh an+1 của hình vuông c +1.
Công thức truy hồi của dãy (an) là
ai =4
•	Vĩõ ..
an + l = an-^— với n > 1
4
Vậy dãy số (an) là câ'p số nhân với ar =
Bài tập bổ sung
Bài 1	*
Cho dãy số (un) với un = 22n+L
Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số.
Lập công thức truy hồi của dãy số.
Hỏi số 2048 là số hạng thứ mâ’y của dãy số này?
Giái
a) Lập tỉ số	= ■	+1	= 4, suy ra un+1 = 4u„;
hoặc biến đổi n
u _ 22ÍI1+11+1 _ 9211 + 1+2 _	9211+1 — 4 u
Vì d = U|ì'•1 = 4 > 1 nên dãy số (un) tăng và là cấp số nhân. un
Cho n = 1, ta có Uj = 8. Công thức truy hồi là
tq = 8
<
un+l = 4un với n > 1
Ta có un = 2048 = 211 = 22n+1, suy ra 2n + 1 = 11, từ đó n = 5. Vậy 2048 là sô' hạng thứ 5.
Bài 2
'	,	-	7	-	—— ■	”	7	7	7 "	7 z "
Viet năm so xen giữa các so 1, 729 đê dược một câp sò nhân có 7 sô hạng. Tính tổng các sô hạng của cấp số này.
Viết sáu số xen giữa các số -2, 256 để được một cấp số nhân có 8
số. hạng. Nếu viết tiếp thì sô hạng thu 15 là bao nhiêu?
	-	 .. .. ... ✓
(hái
■ a) Ta có Uj - 1, u7 = 729.
Vì u7 = Uỵ.q6 nên qG = — = 729 = 36, suy ra q = ±3.
U1
Năm số cần viết là 3, 9, 27, 81, 243 hoặc -3, 9, -27, 81, -243.
1 (37 -1)
Với q = 3 ta có S7 = ———-— = 1093. Với q = -3 ta có S7 = 547. -	4	7	3 -1	7
b) Ta có Uj = -2, Ug = 256.
Mặt khác q7 = 77= 77 = -128 = ("2)7’ suyra q= "2- Sáu số cần viết là 4, -8, 16, -32, 64, -128.
Ta có u15 = -2.(-2)14 = -32768.
Dãy số (un) được cho như sau
«
U1 = 2004, u2 = 2005 u„,l = 2u" 7'1 vđin>2
a) Lập dãy ( Chứng mi
vn) với vn = un+1 - u„ nh dãy (v ) là câp số nhân.
b) Lâp công thức tính u theo n.
	1	
4
Bài 3
Giâi
3un+l = 2un + un-l
a) Từ giả thiết suy ra
« un+l _Un = -|(un -un_x)
1
« v„ =--v„_i
Vậy (vn) lả càp sô nhân, có q = -— và vL = 1. b) Đế tính un, ta viết	3
L1n - + (un-l - Un- + ■■■ + (u2 - ul> + U1
= 2004 + 1.
4-1
3
n-1 ■
= 2004 + — 4
= vn-l + Vn-2 + - + VỊ + U1 pn-t
Tìm cấp sô
nhân (un) biết iq + u2 + u3 + u ị = 15
2	2	3	2 o c.	(1)
Uj + u2 + U3 + U4 =85
Hệ (1) » ■
(
-n = 15
q - 1
9 s
u‘(q “=85 q -1
iiải
K(q,-1>2 =225 (q - 1)-
u?(qS-l)=g5 t q2-l
Bài 4
(q4 - l)2(q2 — 1)
= 200ạ-4í4
4	41 3
11-1
45
17
225 .. (q + l)2(q2 + 1) -
Tương ứng có Uj = 1, Uj = 8.
Vậy, ta có hai cấp số nhân:
77 1, 2, 4, 8,... (Uj = 1, q = 2)
1
T7 8, 4, 2, 1,... (ut = 8, q = |)
Bài 5
Một cấp số cộng và một. cấp số nhân đều là các dãy tăng. Các sô hạng thứ nhát đều bằng 3, các số hạng thu hai bằng nhau Tỉ sô giữa các số hạng thứ ba của cấp số nhân và cấp số cộng là —. Tìm hai câp sô ây.
Giải
Nếu có cấp số cộng 3, u9, u3 thì cấp số nhân là 9u.
3, u2,
có
3.^1
5
Theo tính chất của các cấp số, ta 3 + +U.Ị
u„ =	-—- và U3 -
'2
hay
Biến đổi đúa về phương trình
5vhj - 78u., + 45 = 0 (u.ị > 3)
Giải ra ta có u3 = 15. Vậy các cấp số cần tìm là
-ỉ- 3, 9, 15 H 3, 9, 27
Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho cấp số nhân (un) có U| = 3 và u2 = 2.
Hãy tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Hãy tính Ug, u4, Ug và Ug.
Bài 2
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhàn? Hãy xác định công bội của mỗi cấp sô nhân đó.
_ an
Dãy số (an) xác định bởi a1 = 1 và an+1 - “ với mọi n > 1;
bn
Dãy số (b,') xác định bơi b, = 3 và b J - -2- với mọi n > 1;
11	1	n
6
Dãy số (cn) xác định bởi C1 = 2 và Cn+1 = — với mọi n > 1.
Dãy số (dn) mà dn + J - 3dn với mọi n > 1.
Bài 3
' ' 12 ... . _
Xét dãy số (un) xác định bới U, = a và un+1 = — với mọi n > 1, trong un
đó a là một số thực khác 0.
Hãy xác định tất cả các giá trịn của a để dãy số (un) là một cấp số nhân.
Bài 4
Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng sô hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 6. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó.
Bài 5
Cho một cấp số nhân có 7 sò hạng, sô" hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thú' hai. Hãy tìm các sò" hạng còn lại của câ’p sô nhân đó.
Bài 6
Cho cấp số nhàn (un) có u.,() = 8u17 và Ug + u5 = 272. Hãy tìm sô hạng đầu và công bội của câp sô nhàn đó.
S6
Bài 7
Cho cấp sô nhân (un) có 6u.? + u5 = 1 và 3u3 + 2iij = -1. Hãy tìm sô hạng tồng quát của cấp sô nhân đó.