Giải Toán 11: Vấn đề 3. Đạo hàm các hàm số lượng giác
VẤN ĐỀ 3: ĐẠO HÀM CÁC HÀM số LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ BẢNG ĐẠO HÀM (x“)'= nx'1_1 (uh^nu^.u' flỴ 1 flỴ u' — — — . ■ 2 2 <xj X2 u2 (77)' 1 (77)'- u 2-VX 2 VŨ (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu (cosx)’ = -sinx feosu)’ = -u’.sinu 1 . , u' (tanx) = 5— (tan u) = — COS2 X COS2 u 1 u' ícotx) = ;— (cot u) = —— sin2 X sin2 u Bài 1 B. GIẢI BÃI TẬP SÁCII GIÁO KHOA Tìm đạo hàm của các hàm số sau: ' x-1 a) y = — c'ỉ y = 5.X - 2 X2 + 2x + 3 3-4x b) y = d)y = 2x + 3 7 - 3x X2 + 7x + 3 X2 - 3x (ìiải a) y’ = c) y’ (5x - 2)2 -2(2x2 -3x-9) (3-4x)2 b) y’ d) y’ 23 (7-3x)2 -10x2 - 6x + 9 x2(x - 3)2 Giải các bất phương trình sau: 2 , n X + X + 2 , X2 + .3 a) y < 0 với y = — b) y > 0 với y = — X - 1 X + 1 , . n ... 2x-l c) y >0 với y = X2 + X + 4 X ■ y Bài 2 (iiái Tính đạo hàm của hàm số, sau đó giãi các bất phương trình tương ứng, ta được kết quả: a) (-1; 1) u (1; 3) b) (-x; -3] u [1; +x) Ấ1 - 7Ĩ9 1 + 7Ĩ9A c) Bài 3 Tìm đạo hàm của các hàm sò sau: a) y = 5sinx - 3cosx c) y - xcotx e) y = Vl + 2 tan X , x sin X + cos X b) y = sin X - cos X - sin X X d) y = - + - X sin X f) y = s i n ựl + X2 Giái Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, ta được kết quả: b) 2 a) 5cos X + 3sin X X c) cot X - e) sin2 X ~ — T (sin X - cos XE 1 cl) (xcosx - sin X) —7 y— <X2 sin2 X Vx2 +1 X COS - cos2 Xa/1 + 2 tan X Vx2 +1 Bài 4 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1) c) y = (x - 2)Vx2 + 1 b) y - í 6a/x b) y = ^twx - — JUS d) y = tan2 X - cot X2 (7x-3) e) y - COS Giái Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, ta được kết quả: a) y' = -2(2x3 - 9x2 + l) + (6x2 -18x)(9-2x) r 3 2 v_ /— 1 "l y' = y' = Vx2 Vx X3 y (7x-3) + 7 x(x-2) yjx2 + 1 , 2tanx 2x d) y = 44:+ 44 2 cos x sin X Bài 5 6^-4, X ) e) y' = -- (1 + x) ■sin- f’(l) Đáp sô: f'(l) tp'(1) 2 71 .2 271 COS I — + X I = COS I — X 2 f 71 A 2 (271 COS — - X = COS" — + X <3 J I 3 J ? 71X Tính biết rằng f(x) = X2 và ọ(x) = 4x + sin—— <p'(l) 2 Giầi Bài 6 Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: y = sinGx + coscx + 3sin2x.cos2x ,, ^f71 , <„2 f71 , , „„r.2 f2n 4™427ĩ4 y = cos I — - Xj + cos ^— + X ị + COS - xj + cos — + XJ - 2sm X Giiii y’ = 6sin5xcosx - 6cos5xsinx + 6sinxcos3x - 6sin3xcosx = 6sinxcosx(sin4x - cos'x) - 6sinxcosx(sin2x - cos2x) = 3sin2x(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x) - 3sin2x(sin2x - cos2x) = 0 Vậy y’ = 0 với mọi X, tức là y’ không phụ thuộc vào X. Vì côsin của hai cung bit nhau thì đối nhau cho nên 2 r71 , ì 2 ( .? COS I — + xl = COS I — X Do đó 9 71 + COS — + X + COS2 71 — + X + COS2 71 — - X J <3 J <3 J <3 J - |A_ A _L. Q0Ù2 f á o r> : « 2 „ - 2 sin2 X 2 . 2 1^. 2 ft . 9 71 = 2 cos2 Từ đó suy ra: I y y = COS — -X +COS —+ x +COS —+ x +COS — -X <3 J 13 ) A 3 ) k3 . I đó suy ra: sin X cos X ' - /1 _ xzioiv, Tee _ A _ ,1 71 f71 , A A = 4 cos — - X sin — - X - 4 COS -r + X sin Hr + X - 4 <3 J 13 J <3 ) u J Vậy y’ = 0 với mọi X, tức là y’ không phụ thuộc vào x. Bài 7 Giải phương trình f(x) = 0, biết rằng: f(x) = 3cosx + 5sinx + 5x 2tĩ 4" X f(x) = 1 - sin(7t + x) + 2cos Giải a) f(x) = -3sinx + 4cosx + 5 3 4 f '(x) = 0 — sin X - — COSX = 1 5 5 3 ( (1) Đặt C0S(p = — 5 (1) ° n . 71 _ • = 7 sint 5 k k 2 J) sinxcostp - cosxsin<p= 1 . 7Ĩ sĩn(x - (p) = sin — 2 71 X - ffi■ + — + k2n; (k e Z) 2 sincp - —, ta CÓ : 5 b) f'(x) = -cos(7ĩ + x) - sin 71 + = COS X + sin— 2 X X I 7Ĩ f'(x) = 0 sin — = -cosx sin — = sin X — — 2 2 l 2 = X - “ + k27ĩ 2 2 X 71 _ 9 = 71 - X + ~ + k2lĩ 2 2 X = 7t - k47ĩ 4tĩ (k e Z) X = 7t + k—- Bài 8 Giải bất phương trình f(x) > g’(x), biết rằng: f(x) = X3 + X - V2, g(x) = 3x = + k2ĩt; X = —— + k27T (k G Z) 6 6 b) Với mọi X ẹ R, ta có: + X + V2 f(x) = 2x3 - X2 + 5/3, g(x) = X3 + - 5/3 Giái Hướng dẫn: Tính f(x), g’(x) sau đó giải các bất phương trình tương ứng. Ta được kết quả: .(~30; Ó) u (2; +x) b) (-»; 0) u (1; +x) c. BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1 Cho hàm số f(x) = 2cos2(4x - 1) Chứng minh rằng với mọi X, ta có |f (x)| < 8. Tìm các giá trị X để xảy ra đẳng thức. ; Giẩi Với mọi X 6 K, ta có: f(x) = 2.2cos(4x - l).[-sin(4x - 1)]4 = -8sin2(4x - 1) Suy ra: |f '(x)| - 8|sin 2(4x - 1)| < 8 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin 2(4x - 1) = ±1 2(4x - 1) = “ + krc 71 kn 1 x = —- + -7- + — 16 8 4 X = —— (71 + 4 + k2n) (k e Z) 16 Bài 2 Giải các phương trình sau: y’ = 0, biêt y = sin2x - 2cosx y’ = 0, biết y = 3sin2x + 4cos2x + ỊQx Giiii a) Với mọi X £ R, ta có: y’ = 2cos2x + 2sinx = 2(1 - 2sin2x) + 2sinx Vậy y’ = 0 2sin2x - sirtx -1 = 0 sin X = 1 1 «• sin x = - — 2 X =4 + k27t 2 y’ = 6cos2x - 8sin2x + 10 Vậy y’ = 0 4sin2x - 3cos2x = 5 — + - l5j 3J Vi — sm 2x - — cos2x - 1 , , , _ _ 4 A . 3 = 1 nên có sô Gt sao cho COS a - — va sin a - — sin2xcosa - sinacos2x = 1 sin(2x - a) = 1 (k e Z) Bài 3 sint - tcost cost - tsint 2x - a = -^ + k2ĩt x = —[a + — + k2ir 2 2k 2 Cho hàm sô: f(t) = Tính f(n). Giải Với mọi t sao cho cost - tsint * 0, ta có f_ [cost -(cost -tsint)](cost -tsint) -(sint -tcost)[-sint -(sint+tcost)] (cost-tsint)2 Vì sinTC = 0, COSỈT = -1 nên ", _[-l-(-l)](-l)-7t.7t 2 f (ĩt) = ——- = -71 (-1)2 D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 cos X f(x) = ■ Tính f và f (nếu có) biết Vcos2x Bài 2 Cho hai hàm số f(x) - sin4 X + cos4 X và g(x) = •—cos4x . x 4 Chứng minh rằng: f(x) = f(x) (V X G R) Giải thích kết quả này. Bài 3 Chứng minh răng hàm sò sau đây có đạo hàn V- - „33 _ J 1 *3 3 3ì í „3 < 271 J y = cos — - X + cos — + X + cos — - X <3 ) <3 J I 3 J Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi X e K: - X +cos ^271 Ỵ „ . 2 —- + x -2sin X Bài 4 Giải phương trình f(x) = 0, biết a) f(x) = Vs cos X + sin X - 2x - 5 . 3 , 2cosl7x V3sin5x COSÕX „ b) f(x = ——-7 -7- + _ + 2 17 5 5 Bài 5 Tim a để phương trình f(x) = 0 có nghiệm, biết rằng f(x) - acosx + 2sinx - 3x + 1 Bài 6 Giải và biện luận phương trình f(x) = 0 biết rằng f(x) = sin2x + 2(1 - 2m)cosx - 2mx