Giải Toán 11: Vấn đề 3. Cấp số cộng

VẤN ĐỀ 3. CẤP SỐ CỘNG
A. Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kế tù' số’ hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của sô’ hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi. Nghĩa là:
(un) là cấp số cộng V n > 2, un - Uul + d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Định lí 1
Nếu (un) là một cấp sô’ cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi sô’ hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai sô hạng đứng kề nó trong dãy; tức là
u = L‘k~1 + L'k+1 (k > 2).
2
Định lí 2
Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu U1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức
un = ux + (n - l)d.
Định lí 3
Giả sử (un) là một cấp sô’ cộng. Với mỗi sô’ nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó (Su = Uj + u2 + ... + un).
Khi đó, ta có
_ n(ut + un) n 2
với mọi n > 1.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
sô’ cộng? Tính sô’ hạng
Bài 1
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy nào là cấp đầu và công sai của nó.
a) un - 5 - 2n
c) un = 3n
b) un
d) un
=ạ-i
2
7 - 3n
2
Giải
Phương pháp chung là xét hiệu H = un+1 - un.
Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng.
Nếu H - f(n) thì dãy số không phải là cấp số cộng.
u +1 - un = -2, vậy dãy sô' là cấp số cộng có Uị = 3 và d = -2.
L+ . J „	1	_ 1
Dãy sô là câp sô cộng với 11!=-— va d =—.
■'ll	1	'	X
un+1 - un = 2.3n, vậy dãy sô không phải là cấp sô cộng.
3
Dãy số là cấp số cộng có Uj = 2, d. = --y.
Tìm
sô hạng đầu và công sai cua các cấp sô cộng sau, biết:
a) •
u1-u3+u5=10
b)
u7 - u3 = 8
Uị + Ug = 17
Uọ .Uy — 7 5
Bài 2
Giải
Sử dụng công thức un = ux + (n - l)d.
Ju1 - u1 - 2d + Ui + 4d = 10
a) Giải hệ 1,, ,	,	r-7
■ [Ui + Uj + 5d = 17
Đáp số: Uj = 16, d = -3.
hay
U| + 2d = 10 2ux + 5d = 17
b) Giải Đáp số:
hệ
Uj + 6d - ut - 2d - 8 (Uj + d)(Uị + 6d) = 75
hay
= 3 và d = 2 hoặc Uj = -17 và d - 2.
2d = 4
(Uj +d)(U[ + 6d) = 75
Bài 3	
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng Up d> n, un, s	*
Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thế tìm được các đại lượng còn lại?
Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:
Ul
d
Un
n
s„
-2
55
20
-4
15
120
3
4
27
7
17
12
72
2
-5
-205
Giai
Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng Up d, n, un, Sn thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.
Thực chất dây là năm bài tập nhỏ ứng với các dữ liệu ở năm dòng. Học sinh phái giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả.
bl) Biết U1 = -2, un = 55, n = 20. Tim cl, Sn.
Đáp số: d = 3, S20 = 530
ux -u15 = 56
<
Ui + u15 = 16
b2) Biet d = -4, n -15, Sn = 120. Tim Up un.
,	.	-	.	e, n(u, + un )
Ap dụng các công thức un và Sn =	—	, ta có:
Giải hệ trên, ta được Uj. = 36, u15 = -20.
Tuy nhiên, nếu sử dụng công thức n(n-l)
Sn = nux + —-£	d
thì S15=120 = 15u1+Ì^(-4)
phù hợp với việc
Ta có ngay Uj = 36 và tìm tiếp u15 = -20.
Cách giải này gọn hơn do việc lựa chọn công thức Sn biết n và d.
b3) Đáp số: n = 28, Sn = 140 b4) Đáp số: U1 = -5, d - 2 b5) Đáp số: n = 10, un = -43
Bài 4
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m.
Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.
Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so' với mặt sân.
Tính dộ cao của sàn tầng hai so vói mặt sân.	
Giải
Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn, ta có:
hn = 0,5 + n.0,18
Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là
h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m).
Bài 5	
Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chi đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Giai
Tính tổng 1 + 2 + 3 + ... + 12 = 78.
c. Bài tập bố sung
Bài 1	2	
Chứng minh rằng mỗi dãy sô sau là một càp sô cộng và hãy xác định cõng sai của mỗi cap số cộng đó:
Dãy số (un) với un = 19n -5.
Dãy số (un) với un = an + b, trong đó a và b là các hằng số.
Giai
a.) Ta có un+1 - un = 19(n + 1) - 5 - (19n - 5) - 19 V n > 1.
Do đó (un) là một cấp số cộng với công sai d = 19.
b) Ta có un+1 - un = a(n + 1) + b - (an + b) = a V n > 1.
Do đó (un) là một cấp sô cộng với công sai d = a.
Bài 2
**	7	7	7	7	7 "	7T	7
Một câp sô cộng có năm sô hạng mà tông cua sô hạng đàu và sô hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp sô cộng đó.
Giái
Với mỗi n e ìl, 2, 3, 4, 51, kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số cộng đã cho. Ta có:
28 = u1 + u3 = 2u2 => u9 = 14
40 = u3 + Ug = 2u4 => u4 = 20	x
2u3 - u2 + u4 = 34 => u3 = 17
Từ đó Uj= 28 - u3 = 11 và u5 = 40 - u3 - 23.
Vậy, cấp số cộng cần tìm là: 11, 14, 17, 20, 23.
Bài 3
Hãy tìm số hạng tổng quát cua cấp sô' cộng (u„), biết rằng u23 - u17 = 30 va (u”7)2 + (u23)2 = 450.	
Giải
Gọi d là công sai của câp sô' cộng đã cho. Ta có 30 = u93 - u17 = 6d => d = 5.
•	450 = (u17)2 + (u23)2 =-[(u17 + u23/2 +(u23 -u17)2 ] = -[(u17 +u23)2 +302]
=> (u17 + U.,.,)2 = 2.450 - 900 = 0 => 0 = u17 + u.,3 = ut + 16.5 + Uị + 22.5 => 2uj = -Ĩ90 => Uj = -95
Sô' hạng tổng quát. un = -95 + (n - 1).5 hay un = 5n - 100
Bài 4
Cho cấp sô' cộng (un) có u9 + u92 = 60. Hãy tính tổng 23 sô' hạng đầu tiên của cấp sô' đó.
Giải
Gọi d là công sai của cấp sô' cộng đã cho, ta có Uj = u2 - d và u23 = u29 + d.
Do đó, áp dụng Định lí 3 cho n = 23, ta được
_	23(u, +u23)	23(u9 + u.2.2)	23.60
s93 = -—-4-—= _——AL- = ■ l-'-Y . = 23.30 = 690
2 2 2
Bài 5
Sô' đo ba góc cùa một tam giác vuông lập thành một cáp sô' cộng. Hãy tìm số do ba góc đó.
(Oai
Kí hiệu A, B, c là sô đo ba góc (tính theo đơn vị độ) cua tam giác vuông đã cho. Không mất tính tổng quát, có thế giả sử A < B < c. Khi đó,
từ giả thiết dễ dàng suy ra c = 90 (độ) và A, B. c theo thú' tự đó là một cấp sô cộng. Gọi d là công sai của cấp số cộng đó, ta có
A = c - 2d và B = c - d
Suy ra 90 = A + B = 2C - 3d = 180 - 3d. Do dó d = 30.
Vì thế A = 90 - 2.30 (độ) và B = 90 - 30 = 60 (độ).
Bài 6
	771	ĩ—•	——"	'
Cho hai cấp sô cộng
- 4-5, 8, 11,... và 4-3, 7, 11,...
Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên ở mỗi cấp số, có bao nhiêu sỏ hạng chung?	,
Giải
Giả sử un là số hạng của cấp số cộng thứ nhất và uni là số hạng bằng nó ở cấp sô’ cộng thứ hai, nghĩa là
5 + (n - D.3 = 3 + (m - 1)4
hay 3n + 2 = 4m - 1. Từ đó có
m
n = — + m - 1. 3
1.
Ngoài ra vì m,
n không lớn hơn 100.
m
Đặt “ — t thì m = 3t và n = 4t - O
3t < 100 4t-l < 100
nên
Đế m và n thuộc N*, ta phải có t e N".
Suy ra 1 < t < 25, tức là t = 1, 2, 3, 4, ..., 25.
Tương ứng với 25 giá trị cùa t, ta được dãy các số hạng chung cần tìm gồm 25 số hạng, đó là 11, 23, 35, ..., 299.
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho dãy sô (un) với un = 9 - 5n.
Viết 5 sô hạng đầu của dãy.
Chứng minh dãy sô (un) là câp số cộng. Chi rõ ut và d.
Tính tống của 100 số hạng đầu.
Bài 2
Viết 6 số xen giữa hai số 3 và 24 để được một cấp sô' cộng có 8 sò hạng. Tính tổng các sô hạng của câ'p sô' này.
Viết 5 sô hạng xen giữa hai sô 25 và 1 để dược một cà'p sô' cộng có 7 sô' hạng. Sô' hạng thứ 50 của cấp số này là bao nhiêu?
Bài 3
Cho hai cấp sô' cộng
4- (xn): 4, 7, 10, 13, 16,...
4- (y,‘): 1, 6, 11, 16, 21, ...
Hói trong 100 sô' hạng đầu tiên của mỗi càp sô' có bao nhiêu sô hạng chung?
- 1, 4, 7, ... và
Bài 4
Tìm X, biết các cấp số cộng 4- 1, 6, 11, ...;
1 + 6 + 11 + 16 + ... + X = 970
(x + 1) + (x + 4) + ... + (x + 28) = 155
Bài 5
Chứng minh rằng ba số dương a, b, c lập thành một cấp số cộng khi và
1	1 1 	, / .
chỉ khi các số —7=	/=■, “7=	7=-, “7=	lập thành một câp sô cộng.
Vb + Vẽ	+	Va+Vb
Bài 6
Chu vi của một đa giác 158cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm, tính số cạnh của đa giác đó.
Bài 7
Có thế có một tam giác mà số đo các cạnh và chu vi của nó lập thành một cấp số cộng được không?
Bài 8
11 ị + tl 9 + + Un — â
9 . ..2 .	.	2	1 2
+ Uọ + ... + U,! = b
a)
b)
Tìm câp số cộng (un), biết iq + u2 + u3 = 27
2	.	2	.	2	o r7 PT
U1 + u2 + u3 =275