Giải Toán 11: Vấn đề 1. Hàm số lượng giác

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỠNG GIÁC
VẤN ĐỀ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Kiến thức Cần nhớ
Tập xác định của các hàm sô y - sinx và y - cosx là H.
Tập xác định của hàm số y = tan X là ă\ = R \ ị— + kx I k e zI của
hàm số y = cotx là ă)2 = R\ikx k e Z|
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y - cosx là hàm số chẵn. Các hàm số y = tanx và y = cotx là hằm sô lẻ.
' 3. Hàm số f: ẩ) -» I là hàm số tuần hoàn nếu có số T ị ũ sao cho:
V X e 3), X + T e ẩ), X - T e 3) và f(x + T) = f(x)
Số T dương nhỏ nhát thỏa mãn điều kiện đó là chu kì của hàm số f. Các hàm số y = sinx, y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2717 Các hàm sô y = tanx, y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kì X.
Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
r 3x"i
Hãy xác định các giá trị của X trên đoạn -x; —ụ- để hàm số y = tanx 2
a) Nhận giá trị bằng 0 c) Nhận giá trị dương
Nhận giá trị bằng 1 d) Nhận giá trị âm
3x r; 2~
, ta thày:
Giải
Căn cứ vào đồ thị của hàm số y = tanx trên đoạn
tanx - 0 tại X G Ị-x, 0, x)
,	f 3x X 5x1
tan X = 1 tại X e- —, -,
1	•	[	4 4 4 ]
tanx>0 khi X e ^-x;-Ư ^0;u j^x;
tanx<0 khi X	u
Bài 2
Tìm tập xác định cùa các hàm sô:
1 + cos X a) y = - .
sin X
c) y = tan X - ~
b) y =
1 + cos X
cos X
X
d) y = cot^x+ 6
Giải
z. Vậy D = R \ Ikx, k G ZỊ
sinx G 0 X * kĩi; K e 'tb. vạy II = K \ (K7I, K
Vì 1 + cosx > 0 nên điều kiện là 1 - cosx > 0 hay cosx 1 X * k2it, k e z.
Vậy D = R \ !k2rc, k e Z1
Điều kiện: X - —	— + kn X --- + kĩĩ, k 6 z
Vậy D - R \ j+ kít, k e z I
71	,	71
Điều kiện X + -7 kít X *	+ kĩi, k e z
6 < 6
Vậy D = R \ Ị- -^ + kn, k e zI
Bài 3
fDựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vè đồ thị cua hàm sô y = ịsin x|.
Ta có Isinxl = <
Giiii
sinx nếu sinx>0
- sin X nếu sin X X G (k + k27T, 2tc + k2x), k 6 z nên lây đối xứng qua trục
Chứng minh rằng sin2(x + kn) = sin2x với mọi số nguyên k. Tù' đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.
Giíii
Ta có: sin2(x + lot) = sin(2x + 2k) = sin2x, k e z
Tù' đó, ta suy ra hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu ki K. Hơn nữa y = sin2x là hàm số lẻ. Vì vậy, ta vẽ đồ thị của hàm sô y = sin2x trên
đoạn
0;
rồi lấy đối xứng qua o, dược dồ thị trên đoạn
7t 7Ĩ
’2J '	" ■	I 2'2
Cuối cùng tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có đọ dai ã, ta được đồ thị của hàm số y = sin2x trên s.
Bài 5
Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của X đế COS X =	.
Giiii
Cắt dồ thị hàm sô y = cosx bởi đường thẳng y -	, ta được các giao
Bài 6
diêm có hoành độ tương ứng là — + k2n và - -- + k2rc, k 6 z.
O	Ó
Dựa trên đồ thị của hàm sô y = sinx, tìm các khoảng giá trị của X đế hàm số đó nhận giá trị dương.
Giâi
sinx > 0 ứng với phần đồ thị nằm trên trục Ox. Vậy đó là các khoảng
Dựa trên đồ thị của hàm sô’ y = cosx, tìm các khoảng giá trị của X để hàm sô đó nhận giá trị àra.
Giải
cosx < 0 ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox. Đó là các khoảng
+ k2n;~ + k2nj,k e z.
V
1
_ __
\ / 1
\ ' , 1
3\	!	/- ()
1	/.;»	X
9	\ ỉ / •?
. . -	_ _ _ A.
-1
Tìm gia trị lớn nhát cùa các hàm số:
y = 2\/cos X + 1	b) y = 3 - 2sinx
Giải
Từ điều kiện 0 2ựcos X + 1 < 3 hay y < 3.
Vậy yniax - 3 cosx = 1 X = k27T.
'sinx > -1 -sinx 3 - 2sinx < 5 hay y < 5
TC
Vậy ymax = 5 - sin X = 1 o sin x = -lox = --r + k27i.
2
c. Bài tập bổ sung
Bài 1
Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
y = -2sinx	b) y = 3sinx - 2
y = .sinx - cosx	d) y = sinxcos2x + tanx
Giải
y = -2sin X là hàm số lẻ; vì sin(-x) - -sinx với mọi X.
y = 3sinx - 2 không phái là hàm số lẻ, cũng không phải là hàm số chẵn; vì nếu đặt f(x) = 3sinx - 2 thì có X 6 R mà f(x) * ± f(-x):
chẳng hạn f^ = l, f(-^ = -5
y = sinx - cosx không phải là hàm số lẻ; cũng không phải là hàm số chẵn; vì nếu đặt f(x) = sinx - cosx thì f = 0, f f- = -ự2.
y = f(x) = sinx cos2x + tanx là hàm sô xác định trên 2), và với mọi X e 2)j, ta có -X e 2)ị và f(-x) = sin(-x)cos2(-x) + tanx(-x) = -sinx cos2x - tanx = - f(x) nên hàm sô" đã cho là hàm số lẻ.
Bài 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm sô sau:
b) y - ýl - sin(x2)
y = 2cos^x + -|
y = 4 sin Vx
Giiii
Do hàm sô y	= cos^x + ^j đạt giá trị lớn nhất	là 1,	giá	trị nhỏ
nhất là -1 (để ý rằng u = X + -- lây mọi giá trị	thực	tùy	ý khi X
4X..t .	,	~	' 3Í . Jtì.
thay đôi) nên	hàm sô y = 2cos X + -y- + 3 đạt giá trị	lớn	nhất là
5, giá trị nhỏ nhất là 1.
Do y - sin(x2) đạt giá trị lớn nhát là 1 (khi X" = — + k2n, k nguyên không âm), đạt giá trị nhở nhất là -1 (khi X" = -— + k2ft, k nguyên 
dương) nên hàm số y = ựl - sin(x’) -1 dạt giá trị lớn nhất là y^-ivà giá trị nhó nhất là -1.
Do y = sin \/x đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi - -ỹ + k2n,k nguyên không âm), đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi Vx = - — + k27t,k nguyên
dương) nên hàm số y = 4 sin Vx đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là -4. '
Bài 3
Cho hàm số y = f(x) - 2sin2x.
Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý luôn có f(x + kn) = f(x) với
mọi X.	r 7Ĩ 7t'
Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn -^2’2 ■
Giải
Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x.
ớ đây f(x + kx) = 2sin2(x + kĩt) và f(x) - 2sin2x, nên ta cần chứng minh 2sin(2x + 2kĩt) = 2sin2x, tức là chứng minh sin(2x + k2ĩĩ) - sin2x với mọi X. Điều này suy ra từ sin(u + k2rc) = sinu với mọi u.
' —~7~	1	1	'
Cho các hàm sô sau:
a) y = -sin2x	b) y = 3tan2x + 1
c) y = sinxcosx -	d) y = sm X COS X +-- -COS 2x
Chứng minh rằng mỗi hàm sô' y = f(x) đó đều có tính chất:
f(x + kn) - f(x) vời k e 2, x thuộc tập xác dịnh của hàm số.	,
Giai
-sin2(x + kx) = -[(-l)ksinxl2 = -sin2x
3tan2(x + kít) + 1 - 3tan2x + 1, do tan(x + kx) = tanx
sin(x + kĩt) cos(x + kx) = (-l)ksinx.(-l)kcosx = sinx cosx
sin(x + k7i)cos(x + kn) + -cos2(x + kx) =
2
- (-l)k sin x.(-l)k cos X + —— cos(2x + 2kx) = sin X COS X + ---- COS 2x 2 2
Bài 5
Từ đồ thị của hàm Số y - sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm sô đó:
a) y = -sinx	b) y = ỊsinxỊ	c) y = sinjxl
Giiii
a) Đồ thị của hàm số y = -sinx là hình đô'i xứng qua trục hoành cu; đồ thị hàm số y = sinx.
Do |sin x| —	.	nên đồ thị của hàm số y = |sin xỉ
-sinx nêu sinxcO	'
có được từ đo thị (ểo của hàm sô y = sinx bằng cách:
Giữ nguyên bộ phận của (ễ’) nằm trong nửa mặt phẳng y > 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kế' cả bờ Oxí.
Lấy hình đôi xứng qua trục hoành của bộ phận của (Ỗ0 nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 .(tức là nứa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kế bờ Ox).
Xóa bộ phận của (ễ’) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0.
yi
-7Tx
c) Do sinịxị =
y = sinx'l sin X nếu X > 0
'■ nên đồ thị của hàm sô’ y = sin X có -sin X nêu X < 0
được từ đồ thị (ị?) của hàm sô’ y = sinx bàng cách:
nua
Giữ nguyên bộ phận cua (ỉ?) nằm trong nửa mặt phắng X > 0 (tức nửa mặt phẳng bên phải trục tung kê cá bờ Oy).
Xóa bộ phận của (ỉ?) nằm trong nứa mặt phắng X < 0 (tức mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ Oy).
D. Bài tập tương tự
Bài 1
Tìm tập xác định của các hàm số:
Tìm tập xác định CI cosx
a) y =	1
sin X - 1
c) y = tan^2x + |^j
ài 2
1 - COS X
b) y =
COS’ X
y = tanx + cotx
Bài 2
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:	/	\
a) y = V'Z2( 1 + cos x) + 1	b) y - 3 sin ( X - —J - 2
Bài 3
Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì 71, tức là: sin2(x + 7t) = sin2x V X (1)
và 71 là số dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất (1).
Bài 4	1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 8 +-| sin X COS X .
Xét tính chẳn, lẻ của các hàm sô: a) y = 1 + sinx _c) y - sinx.sin2x
b) y = X + sinx ran X d) y =	73
1 + COS X