Giải Toán 11: Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG HI
Bài 1
Khi nào thì cấp số cộrtg là dãy sô' tăng, day số giám?
Giải
Vì un+1 - un = d nên nếu d > ồ thì cấp số cộng tăng và nếu d < 0 thì cấp số cộng giảm.
Bài 2
Cho cấp sô' nhân có ur < 0 và công bội q.
Hỏi các sô' hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau: a) q > 0	b) q < 0
Giải
Nếu q > 0 thì un < 0 với mọi n.
Nếu q < 0 thì các sô' hạng mang thứ tự chẵn là sô' dương còn các sô' hạng mang thứ tự lẻ là số âm.
Bài 3
Cho hai cấp sô' cộng có cùng sô' các sô hạng. Tổng các sô hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không. Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
	:	:—-	✓
Giâi
Cho hai cấp sô' cộng (un) và (vn) gồm cùng n sô' hạng Up u2,..., Uu có công sai dị.
Vp v2,..., vn có công sai d2.
Nếu cộng tương ứng các số hạng theo .thứ tự, ta được
(u1 + Vj), (u2 + v2),..., (un + vn).
Vôủ 1 < k < n thì uk = ukl + dL và vk = vk l + d2 nên
uk + vk = (ukl + vk l) + (dj + d2) với 1 < k < n.
Vậy theo định nghĩa, dãy (un + V ) là cấp sô' cộng với công sai d = dị + d2.
Thí dụ: Từ hai cấp sô' cộng có cùng sáu số hạng:
2, 5, 8, 11, 14, 17 với công sai dj = 3,
-1, 3, 7, 11, 15, 19 với công sai d., = 4,
ta có cấp sô cộng với sáu sô hạng:
1, 8, 15, 22, 29, 36 với công sai d = 7.
Bài 4
Cho hai cấp sô' nhân có cùng sô' các sô' hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhàn không? Vì sao? Cho một thí dụ minh họa.,
Giải
Lập luận tương tự đối với hai cấp số nhân có cùng n số hạng Up u9,..., un với công bội qp Vp v2,..., v„ với công bội q2.
Ta có dãy số UpVp u9.v2,..., un.vn cũng là cấp số nhân với công bội q = qrq2. Thật vậy, với 1 < k < n thì
uk-vk = (Uk-i-qp-^k-r^ =
Đặt uk.vk = xk và qrq2 - q thì xk = xk rq với 1 < k < n.
Theo định nghĩa ta có điều phải chứng minh.
Học sinh tự cho thí dụ.
Bài 5	
Chứng minh rằng với mọi n e N‘s, ta có:
a) 13“ - 1 chia hết cho 6	b) 3n3 + 15n chia hết cho 9
Giải
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Đặt Bn = 13" - 1.
Với n = 1 thì Bk = 13L - 1 = 12 ỉ 6.
Giải sử đã có Bk = 13k -1:6.
Ta phải chứng minh Bk+1 : 6.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Bk+1 = 13k+1 - 1 = 13.13k -13 + 12 = 13(Ị3k - 1) + 12 = 13.Bk + 12
Vi Bk : 6 và 12 : 6 nen Bk+1 : 6. Vậy 13“ - 1 chia hết cho 6.
Đặt Cn = 3n3 + 15n.
Với n = 1, Cỉ = 3.13 + 15.1 = 18 ỉ 9.
Giả sử đã có Ck = 3k3 + 15k : 9.
Ta phải chứng minh Ck+1 : 9.
Thật vậy, ta có
ck+1 = 3(k + l)3 + 15(k + 1)
= 3k3 + 15k + 9(k2 + k + 2) = Ck + 9(k2 + k + 2).
Vì Ck : 9 và 9(k2 + k + 2) : 9 nên Ck+1 : 9.
Vậy 3n3 + 15n chia hết cho 9.
Bài 6
Cho dãy sô’ (un), biết iq = 2, U|1+1 = 2un - 1 (với n > 1).
Viết năm số hạng đầu của dãy;
Chứng minh U = 2I1_1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
	LI	1	
Giái
2, 3, 5, 9, 17
Chứng minh un = 2“.1 + 1 bằng quỵ nạp với n = 1 thì Uj = 211 + 1 = 2.
Vậy công thức đúng.
Giả sử đã có Uk = 2k“l + 1 với k > 1.
ss
Ta phải chứng minh uk+1 = 2k + 1.
Thật vậy, theo công thức xác định dãy số và giả thiêt quy nạp, ta có: = 2uk -ì = 2(2k_l + 1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1.
Uk+1
Vậy công thức đã được chứng minh.
Bài 7
Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (u ), biết:
1
a) un = n + -y n
c) un = -ựn + 1 - Vữ
a) Xét hiệu: ưn+1 — un = n + 1 +
= 1-
b) un = (-1)'”1 sin-
Giải
1 . 1 _ 1 , 1 1 n +1 n n + ln 1	. n ...	1
> 0 vì 	-	< 1.
n(n +1)
n(n + 1)
Vậy dãy số là tăng.
Dễ thây n + — > 2 nên dãy số (un) bị chặn dưới.
b) Dãy số (un) đan dấu vì có nhân tử (-1)'1'1 nên không tăng và cũng
không giảm. Ta có
- 1 hay -1 < u < 1.
1
. 1
Iun| =
(—l)n_1 sin—-
=
sin —
n
n
Vậy dãy sô' (un) bị chặn.
ì
c) Viết un -
Vn + 1 + Vn ’ dê thấy un > 0 và dãy số (un) giảm vì
“ 1 " 1 ;0 •ựn + 2 4- V n 4 1 Vn + 1 4
Mặt khác, do
Un + 1 - Un =
Bài 8
Vn + 1 + Vĩĩ ằ Vi + 1 + a/Ĩ" 'Vn 4 1 + Vn h V2 + 1 1 1
nên un - I	r- - r?
V n 4 1 4 V n	V 2 4 1
Vậy dãy sô (un) bị chặn.
Tìm số hạng đầu Up và công sai d của các cấp số cộng (u|(), bièt f is. I _1_ 1 n.. — í ì	I I X I I — Í-ÌO
a)
5u, + 10u- = õ is. =14
b) í
U- 4 Uị- = 60 u I + Up, = 1170
Giai
a) Ta có hệ
hay
3u, + 8d = 0 2u, + 3d = 7
5u, + 10(11, + 4d) = 0
4(2u, + 3d)	, ,
-—	= 14
Đáp số: ur = 8, d = -3
b) Làm tương tự câu a)
„ 21 Đáp số: 11, = 0, d = 3, U, = -12, d =
192
384
1 L 0
Bài 9
Tìm số hạng đầu U, và công bội q của các cấp sô' nhân (u ), biết:
UK = 192
u, - u2 =72
a)
u7 = 384	b) '
u- - U, = 144
L	3
u9 + u5 - u, = 10
c) •
u , + u,; - Uc = 20
3	o	O
-à
Giải
u,.q
u, .q = OO+
Dễ dàng tìm được q = 2 và u, = 6.
fu,.q3-u,q =72
s 5	,44 hay
u, .q - u,q = 144
u,q(q2-l) = 72	(1)
u,q2(q2 - 1) = 144 (2)
a) Đưa về hệ I 6 u,.q
b) Giải hệ
u,.q - u,q = 1++	[U,q tq - JJ = JL++ I.ZJ
c) Ta có hệ
hay
Chia các vế tương ứng của (2) cho (1), ta có q = 2, từ đó tìm được LI, = 12. u,q + u,q4 - u,q3 = 10
^U,q2 + u,q;’ - Ujq'1 = 20 u,q(l + q3 — q2) = 10	(1)
u,q2(l + q3 — q2) = 20	(2)
Chia các vế tương ứng của phương trình (2) cho phương trình (1), ta được q = 2, từ đây tìm được U1 = 1.
Bài 10
Tứ giác ABCD có số đo các góc lập thành một cấp số nhân theo thứ tự A, B, c, D. Biết rằng góc c gấp bốn lần góc A. Tính các góc của tư giác.
Giíii
Ta có cấp số nhân A B, c, D. Hãy tính các góc B, c, D theo A. Vì c = 4 A nên B = VA.4A = 2A. Mà c2 = B?D nên 16A2 = 2A.D Từ đó có D - 8A.
Do A + B + c + D = A + 2A + 4A + 8A = 15A = 360° nên A = 24°, suy ra B = 48°, c = 96°, D = 192°.
Bài 11
Biết rằng ba số X, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số X, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cáp sô nhân.
Giái
Vì ba sô X, y, z lập thành cấp sô nhân nên thay các giá trị y = xq, z = zq2 vào cấp số cộng X, 2y, 3z, ta được cấp số cộng X, 2xq, 3xq2.
Theo tính chất của cấp sô' cộng, ta có
X + 3xq2 = 4xq => 1 + 3q2 = 4q.
Giải phương trình
3q2 - 4q + 1 = 0,
_ 1
ta được q1 = 1;	- — •
Bài 12
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12288m2, tính diện tích mặt trên cùng.
Giải
O
11).
ị
2'
Gọi diện tích mặt trên của tầng thứ i là Uj (i = 1, 2,.. Ta có (Uj) lập thành cấp số nhân với U. = 12288, q - Theo công thức (3) ta có
Vậy diện tích mặt trên cùng là 12m2.
uu =u,.q10 =12288.^	=12.
Bài 13
cũng lập thành một cấp sô' cộng.
các sô
b + c’c + a’a + b
Ta phải chứng minh 1 1
c + a
Biến đổi (1)
Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng thì 1 1 1
(1)
b+c a+b c+a
b-a _ c-b
(c + a)(b + c) (a + b)(c + a) b - a c - b
Giải
b + c a + b b2 - a2 = c2 - b2	(2)
Đẳng thức (2) đúng vì a2, b2, c2 lập thành cấp số cộng.
Vậy đẳng thức (1) là đúng và bài toán đã được chứng minh ở dạng cần và đủ.
Bài tập trắc nghiệm
Cho dãy số (un), biết un = 3U. Hãy chọn phương án dùng,
Sô' hạng ưn+l bằng:
A. 3" + 1	B. 3"+ 3	c. 3".3	D. 3(n + 1)
b) Sô' hạng u2 bằng:
A. 2.3n	B. 9n
c) Sô' hạng UQ ! bằng:
A. 3” - 1	B. |.3n
c. 3» + 3
D. 6n
c. 3" - 3
D. 3n - 1
d) Số hạng u2 1 bằng:
A. 32.3n-l	B. STS11”1
c. 32n - 1
D. 32n_1
A. (-1) .sin
c.
B. (-l)2n(5n + 1)
n D.
^/n + 1 + n	Ư' n2 + 1
Cho cap số cộng -2, X, 6, y.
Hây chọn kết quả	đúng	trong	các kết	quả sai.
A. X = -6, y = -2	g	B X = 1,	y = 7
c. X = 2, y = 8	D. X - 2,	y = 10
Cho cấp sô" nhân -4, X, -9.
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. X = 36	B. X = -6,5
c. X = 6	D. X = -9
Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
U1O +U2O
= U5 + Ulu
B. ugo + u210 - 2u150
c. u10.u30 - u20
D.
19. Trong Gấc dãy sô' cho bới các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân?
A.
c.
u, = 2
Un + 1 = U2
u, = -3
B.
11+1
-1
= 3u„
Un + 1 = Un + 1
D. 7, 77, 777,...,777...7
II chứsò 7
15. Hãy cho biết day số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:
c) B
d) B
Đáp án trắc nghiệm
14. a) c	b) B
Dãy sô (A) bị loại (vì các sô hạng đan dâu).
Dễ nhận biêt dãy số (B): tăng. Dãy số (C): giảm Đáp sô': Dãy sô (B) tăng.
Mục đích đê học sinh kiếm tra nhanh tính chát của cấp sô' cộng. Đáp sô' đúng: (D)
Đáp số đúng: (C)
Đáp sô đúng : (B)
Mục đích để nhận biết còng thức truy hồi cua cấp sô nhàu.
Đáp số đúng: (B)
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG ill (THAM KHẢO)
ĐỀ SỐ 1 (45 phút)
Câu 1. (3 điếm)
Dùng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng
Sn = 1 + 5 + 9 + ... + 4n - 3 = n(2n - 1), n e
Câu 2. (4 điếm)
Tìm cấp số cộng (un) có năm số hạng, biết
'u, + U.- = 7
< .
u.) + u ị =9
Câu 3. (3 điếm)
2 1
Chứng minh dãy sô" (un) với un = -7.3" là cấp sô nhân.
5
ĐÁI’ ÁN
Câu 1. (3 điếm)
Với n = 1, dễ thấy công thức đúng.
Giả sử đã có Sk = k(2k - 1) với k > 1.
Ta phải chứng minh Sk+1 = (k + l)(2k + 1).
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Sk+1 = 1 + 5 + 9 + ... + 4k - 3 + 4k + 1
= sk + 4k + 1 = k(2k - 1) + 4k + 1 = 2k2 + 3k + 1 = 2(k + l)j\ +	= (k + l)(2k + 1)
Vậy công thức đã được chứng minh.
Câu 2. (4 điếm)
Áp dụng công thức u =	ut +	(n - l)cl, ta có
Uị + u, + 4d = 7	Í2u,+4d = 7
í . .	„,	„	hay	1 .
u, + 2d + Uj + 3d =	9	‘	[2u, + 5d = 9
. 1 Giái hệ trên, ta được d = 2 và u, - - —.
......	,	1 3 7 11 15
Vậy câ-p sò cộng cân tìm là _ 7 ’ 7 ’ 9 ’ "77 ’ TV •
Câu 3. (3 điếm)
|.3"
Lập tỉ sô U|—1 = mĩ	= 3.
un	gn-l
Suy ra un+1 = un.3 với n 6 N*.
Vậy (un) là cấp sô' nhân với công bội q = 3.
ĐỀ SỐ 2 (45 phút)
Câu 1. (3 điểm)
< U| =1
Un+1 = un + (n + 1)2"
Cho dãy số (un) với un = (n - l).2n + 1.
Chứng minh rằng công thức truy hồi của dãy trên là với n > 2.
Câu 2. (4 điểm)
Một hội trường gồm 10 dãy ghế. Biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn mỗi dãy ghê trước 20 ghế và dãy sau cùng có 280 ghế. Hỏi hội trường có bao nhiêu ghế ngồi?
Câu 3. (3 điểm)	1
Viết ba số xen giữa các sô’ — và 8 đế được một cấp sô’ nhân có năm sô’ hạng.
ĐÁP ÁN
Câu 1. (3 điếm)
Dễ thấy Uj - 1.
Từ công thức cũa un, ta có
U11+1 = (n + 1 - l)2n+1 + 1
= n2u - 2n + 1 + 2n + n2n = 2n.2" + 1
= (n - 1)2” + 1 + (n + l)2n = u” + (n + l)2n (đpcm)
Câu 2. (4 điếm)
Sô' ghè' ngồi ở mỗi dãy lập thành một cấp sô' cộng (un), trong đó có d = 20; un = 280 và n = 10.
Từ giả thiết u10 = u, + (10 - 1)20 = 280, tìm được ux = 100, từ đó
= moo + 280, =	0
10 2
Vậy hội trường có 1900 ghế ngồi.
Câu 3. (3 điếm)
Giã sử cà'p sô' nhân cần tìm là	= —, u9, u.ị, u4, u5 = 8.
Gọi q là công bội, ta có U-, = 8 = — q 1 , suy ra q4 - 16. Vậy q = ±2.
Ta có hai cấp sô’ nhân
1 1
-, 1, 2, 4,-^ và ệ, -1, 2, -4, 8.