Giải Toán 11: Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

VẤN ĐỂ 2. HOÁN VỊ - CHỈNH Hộp - Tổ Hộp
A. Kiến thức cần nhớ
Hoán vị
Cho tập hợp A có n phần tứ. Khi sắp xếp n phần tứ này theo một thứ tụ' ta được một hoán vị của tập A. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tủ' là ni.
Chỉnh họ’p
Cho tập họp A gồm n phan tư và k là một số nguyên dương với 1 < k < n. Khi lay ra một tập con gồm k phần tủ' của A và sắp xếp chúng theo một thú' tụ; ta dược một chinh hợp chặp k cua tạp hợp A (gọi tắt là một chinh hợp chập k của A).
Số.chỉnh hợp chập k cua một tập hợp n phần tứ, kí hiệu là AjQ dược cho bới còng thức A'; = n(n - l)...(n - k + 1). Quy ước A',1 = 1.
Tô hợp
Cho tập A có n phần tử và số tự nhiên k với 0 < k < n. Một tập'con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của A.
Số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu là c„, được cho bởi công thức
r,k _ A* _ n(n - l)(n - 2)...(n - k + 1)
' c" k!	k!
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:
Có tâ't cả bao nhiêu sô?
Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
Có bao nhiêu sô bé hơn 432000?
Giải
Mỗi số gồm sáu chữ sô khác nhau được đồng nhất với một hoán vị của sáu chữ số 1, 2,..., 6. Vậy có 6! số.
Để tạo nên một số chẵn, ta cần chọn chữ số hàng đơn vị là số chẵn. Có 3 cách chọn.
5 chữ sô còn lại (sau khi đã chọn chữ sô’ hàng đơn vị) được sắp theo thứ tự sẽ tạo nên một hoán vị của 5 phần tử). Có 5! cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có
3 . 5! = 360
số các số chẵn có sáu chữ số tạo nên từ sáu chữ sô 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tương tự, số các số lẻ có sáu chữ số tạo nên từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
cũng là 360.
Các số trong câu a) bé hơn 432000 bao gồm:
. * Các số có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm nghìn, đó là các chữ số 1, 2, 3.
Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm nghìn, ta phải chọn tiếp năm chữ số còn lại và sắp thứ tự chúng để ghép với chữ số hàng trăm nghìn tạo thành sô có sáu chữ số. Mỗi một lần chọn là một hoán vị của 5 phần tử (5 chữ sô'). Có 5! cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân, các số có chừ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4 Jà 3.5! = 360 (số).
* Các sô' có chữ hàng trăm nghìn lả 4 và chữ sô' hàng chục nghìn nhỏ hơn 3
' - Có 2 cách chọn chữ số hàng chục nghìn, đó là các chữ số 1, 2.
Sau khi đã chọn chữ sô' hàng chục nghìn phải chọn tiếp bốn chữ sô' nữa và sắp thứ tự chúng đế’ ghép với hai chữ sô' hàng trăm nghìn và hàng chục nghìn tạo thành sô' có sáu chữ sô. Có 4! cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có tất cá
2 . 4! = 48
sô như vậy.
■■■ Các số có chù' số hàng trăm nghìn là 4, hàng chục nghìn là 3, hàng nghìn là 1 (nhỏ hơn 2)
Vậy có 1 . 3! = 6 (sò).
Từ đó theo quy tắc cộng, số các số trong câu a) bé hơn 432000 là 360 + 48 + 6 = 414 (số).
Bài 2
Có bao nhiêu cách sap xếp chô ngôi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một clãy?	
(hái
Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi của 10 người khách theo hàng ngang cho một hoán vị của 10 và ngược lại.
Vậy có 10! cách sắp xếp.
Bài 3	
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba cái lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba cái lọ đã cho (mỗi lọ cắm
một bông)?	,
(hái
Vì bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ cắm hoa khác nhau nên mỗi lần chọn ra ba bông hoa đế cắm vào ba lọ, ta có một chinh hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy sô cách cắm hoa bằng sô các chinh hợp chập 3 cùa 7 (bông hoa).
Do đó, kết quả cần tìm là
A’ = 44 = 210.
4!
Bài 4	
Có bao nhiêu cách mắc nôi tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn
khác nhau?	
(hải
Kết quả cần tìm là:
,6!
Có A,' - ——— = 360 cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn chon từ 6 bóng.
H (6-4)!
Bài 5
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 cái lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá 1 bòng) nếu:
Các bông hoa khác nhau?	b) Các bông hoa như nhau?
Ciái
Đánh sô’ 3 bông hoa 1, 2, 3. Chọn 3 trong 5 lọ đế cám hoa. Mỏi cách cám là một chỉnh hợp chặp 3 của 5. Vậy sô cách cắm là
AịỊ = 5.4.3 = 60 (cách).
Nêu các bông hoa là nhu' nhau thì mồi cách cắm là một tố hợp chập 3 của 5 (lọ). Vậy số cách cắm là
5 4 3
C5 = —OI = 10 (cách).
Bài 6
Trong mặt phầng, cho sáu điếm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thang hàng. Hơi có thê lập được bao nhiêu tam giác mà các
đính của nó thuộc tập điếm đã cho?	
Giái
Số tam giác bằng sô’ các tố hợp chập 3 của 6 điểm. Từ đó, ta có số tam giác'lù cjt = 20 .
Bài 7	
Trong mặt phắng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bổn đường thẳng song song đó?
Giái
Đế tạo một hình chữ nhật từ chín đường thẳng đã cho, ta tiến hành hai hành động:
Hành động 1: Chọn hai đường thẳng từ bổn đường thẳng song song. Vì các đường thẳng đã cố định nên mồi lẳn chọn cho ta một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử (đường thẳng). Vậy có C2 cách.
Hành động 2: Chọn hai trong năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song với nhau. Tương tự, ta có C2 cách.
Tù' đó theo quy tắc nhân, ta có số hình chữ nhật là
C^.Cị? = 60 (hình chữ nhật).
c. Bài tập bố sung
Bài 1
'	7777	7 7	77	7 77	7777	777	7	7 7 z 77	77	7	77—
Một tô gôm 8	nam và 6	nữ. Cân lây một nhóm 5	người	trong đó có	2
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giai
Việc lâ’y một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ và 3 nam có thê chia làm hai giai đoạn:
Giai đoạn 1: chọn 2 nữ trong số 6 nữ. Mỗi cách chọn là một tô hựp chập 2 của 6 phần tứ, đo đó số cách chọn 2 nữ là C2.
Giai đoạn 2: chọn 3 nam trong số 8 nam, số cách chọn là cjj.
Vậy có tất cá CV Ợs - 15.56 - 840 cách chọn_ra một nhóm gồm 5
người trong dó có 2 nữ.
Bài 2 	
Cho hai đường thắng song song (dL), (d.,). Trên (dj) lây 17 điểm phàn biệt, trên (d9) lấy 20 điếm phàn biệt. Tính sô’ tam giác có các dinh là 3 diếm trong sô 37 diếm dã chọn trên (d,) và (d9).
3 5
Giái
Các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn thuộc một trong hai loại sau đây:
Loại 1: Một đỉnh nằm trên (d4) và 2 đỉnh nằm trên (cl2) có 17 cách chọn một đỉnh trên (dp. Với một cách chọn một đỉnh trên (dp luôn luôn có C9„ cách chọ.n 2 đỉnh trên (d2). Vậy có 17.C9() tam giác loại 1.
Loại 2: Một đinh nằm trên (d9) và 2 đinh nằm trên (dp. Lập luận tđơng tự như trên ta có 2O.Cj7 tam giác loại 2. Vậy tổng cộng có tất cả:
17.C.J, + 2O.Cj7 = 3230 + 2 720 = 5 950 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3	
Cho mười chữ số 0, 1,..., 9. Có bao nhiêu sô lẻ có 6 chữ S9 khác nhau, nhó hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ sô' dã cho?
Giai
Kí hiệu A = 10, 1, 2, 3,..., 9h	
Sô’ phải tìm có dạng X = a1a2a3a4a5atì.
Vì X < 600000 nên a7 e B = Ịl, 2, 3, 4, 5}. Chúng ta xét hai trường hợp:
THI: a, G 12, 41. Đương nhiên, có hai cách chọn ap Với mỗi cách chọn a7 luôn luôn có 5 cách chọn a6 vì a6 G c = {1/3, 5, 7, 9). Khi đã chọn các số a4 và a6 thì mỗi cách chọn a2a3a4a5 là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử thuộc tập A\Ịap a6(. Do đó có Ay cách chọn a2a;Ja4a5. Vậy có 2.5. Ay số X mà ax e 12, 4Ị.
TH2: a4 e {1, 3, 5|. Lúc này có 3 cách chọn ap do a4 là số lẻ nên với mỗi cách chọn a4 ta chỉ có 4 cách chọn a6 (a6 e CMaJ).
Với mỗi cách chọn a4 và a6 ta cũng có Ay cách chọn a2a3a4a5. Do đó có 3.4. Ay số X mà a4 e 11, 3, 51.
Tổng cộng có 2.5. Ay + 3.4. Ay = 36960 số lẻ có 6 chữ số khác nhau từng đôi, nhỏ hơn 600000.
Bài 4	
Từ một tập thể gồm 12 học sinh ưu tú, người ta cần cử một đoàn đi dự trại hè quốc tế trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 3 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cách cử?
Giải
Từ 12 học sinh cử ra một nhóm gồm 5 người: có Cp, cách.
Với mỗi cách cử ra một nhóm 5 người có A| cách cử trưởng đoàn và
phó đoàn.
Vậy có Cf-.A? = 15.840 cách cử đoàn gồm một trưởng đoàn, một phó đoàn và một đoàn viên.
Bài 5	
Có bao nhiêu sô tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ sô 0; 1; 2; 3; 4?
Giải
Số nhỏ hơn 10000 là số có dạng:
a,a2a.ta4 trong đó a4, a2, a3, a4 6 (0, 1, 2, 3, 41.
Có 5 cách chọn a4.
Với mỗi cách chọn a4 có 5 cách chọn a2.
Với mỗi cách chọn a2 có 5 cách chọn a3.
Với mỗi cách chọn a1a2a3 có 5 cách chọn a4.
Với 5.5.5.5 = 625 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 6
Cho tập hợp A = íl, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8Ị.
Có bao nhiêu tập hợp con X của tập A thỏa điều kiện chứa 1 và không chứa 2?
Giải
Mỗi tập con X của tập A chứa 1 và không chứa 2 có dạng:
X = {11 Y trong đó Y là tập con của tập B - {3, 4, 5, 6, 7, 81. Do đó số
các tập con X thỏa yêu cầu bài toán bằng sô' các tập con Y của B. Mà tập B có 6 phần tử nên B có 26 = 64 tập con. Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.
Bài 7
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách môn Toán, 4 cuốn sách môn Văn và 6 cuốn sách môn Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài,
nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?	
Giải
Trước hết, đặt 3 nh6m sách (Toán, Văn, Anh văn) lên kệ dài có 3! cách. Trong mỗi nhóm sách ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách.
Nhóm sách Toán có 2! cách xếp.
Nhóm sách Văn có 4! cách xếp.
Nhóm sách Anh văn có 6! cách xếp.
Vậy có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.
Bài 8
Có bao nhiêu số có 6 chữ số được chọn từ các chữ số thuộc {1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8| sao cho các chữ số đôi một khác nhau, chữ số đầu tiên phải là số 4 và chữ số cuối cùng phải là số chẵn?
Giải
Ta tìm các số dạng ĩã^ã^ãTã^- Có 3 cách chọn a5 vì a5 ẽ {2, 6, 81.
Có Aị cách chọn a1a2a3a4, vì mỗi cách chọn a1a2a3a4 ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tư thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8|\{a5).
Vậy có 3. A{' = 3.6.5.4.3 - 1080 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 9
Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hởi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho
Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.	
Giải
• Số cách chọn 2 nam tù' 10 nam là Cp, (cách)
Sô cách chọn 3 nữ từ 10 nữ là Cjy (cách)
Do đó số cách chọn theo yêu cầu bài toán là Ciq.C'pj - 5400 (cách)
• Số cách chọn 5 người trong 20 người là Cy(l
Các trường hợp không thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Không có nam nào, chọn 5 nữ trong số 10 nữ: có Cj„ (cách)
Chọn 1 nam và 4 nữ: có Cj0.C|0 (cách)
Không có nữ nào, chọn 5 nam trong sô 10 nam: CỊ’(J (cách). Vậy số cách cử thỏa mãn yêu cầu bài toán là
c|o -(2C*0 + Cj0.C'i0) = 15504 - (504 + 2100) = 12900 cách
Bài 10	
Có bao nhiêu số gồm 7 chù' số khác nhau doi mọt dược lạp băng cách
dùng 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn không liền nhau?
Giiíi
Sô' các số có 7 chữ sô khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ sô' đã cho là 7! (sô)
Sô' các sô' có 7 chữ sô' khác nhau từng đôi mà hai chữ sò' chẵn 2, 4 đứng kề nhau là 2.6!
Do đó sô' các sô' có 7 chữ sô' khác nhau từng đôi (lấy từ các chữ sô' đã cho) sao cho 2 sô' chẵn không đứng kề nhau là
7! - 2.6! = (7 - 2).6! = 3600.
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho tập hợp A = |1, 2, 3, 5, 7, 9}.
Có bao nhiêu sô' tự nhiên gồm có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Bao nhiêu sô' tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ sô' đôi một khác nhau?
Bài 2
Cho tập hợp A = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8Ị.
aj Từ tập hợp A có thế lập được bao nhiêu sô' tự nhiên gồm có 5 chừ sô đôi một khác nhau và các sô' này lẻ chia'he't cho 5.
Từ tập hợp A có thế lập được bao nhiêu sô' tự nhiên gồm có 6 chữ sô' đôi một khác nhau sao cho chữ sô' đứng cuối chia hết cho 4.
Bài 3
Cho tập hợp A = j0, 1, 2, 3, 4, 5, 6Ì.
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu sô' tự nhiên có sáu chữ sô' đôi một khác nhau sao cho các sô' này không bắt đầu bằng 246.
Tù' tập A có thế lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ sô" đôi một khác nhau sao cho chữ số 1 có mặt đúng một lần.
Bài 4
Có bao nhiêu sô tự nhiên có năm chù' số trong đó các chữ số cách đều sô’ đứng giữa thì giống nhau.
Bài 5
Một tố học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh đề đi trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu
Chọn học sinh nào cũng được.
Trong đó có đúng một nữ sinh được chọn.
Trong đó có ít nhất một nữ sinh được chọn.
Bài 6
Một đoàn tàu có bốn toa đỗ sân ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Hỏi
Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra.
Có bao nhiêu trường hợp mà mồi toa có một người lên.
Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có ba người lên, một toa có một người lên và hai toa còn lại không có ai lên.
Bài 7
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 30ư0) có thể tạo nên bằng các chữ sô’ 1, 2, 3, 4, 5, 6 nếu
Các chữ sô’ không nhất thiết khác nhau.
Các chữ số của nó khác nhau.
Bài 8
Có bao nhiêu số có ba chữ số được tạo thành từ các chữ sô 2, 3, 4, 5, 6 nếu
Các chữ sô’ này không nhất thiết khác nhau.
Các chữ sô này khác nhau.
Các chữ sô’ này hoàn toàn như nhau.
Bài 9
Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có bốn chữ sô’ được tạo thành từ các chữ sô’ 1, 3, 5, 7 nếu
Các chữ sô này không nhất thiết khác nhau.
Các chữ sô’ này khác nhau.
Bài 10
Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi nó có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tù'?
Bài 11
Một tố bộ môn của một trường có 10 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ. Có bao nhiêu cách thành lập một hội đồng gồm 6 ủy viên của tổ’ bộ môn, trong đó sô’ ủy viên nam ít hơn sô’ ủy viên nừ?
Bài 12
Có bao nhiêu sô’ tự nhiên gồm năm chữ số, biết rằng hai "chữ sô’ đung kề nhau phải khác nhau?
Bài 13
Có bao nhiêu cách sắp xếp chồ cho 6 người khách ngồi quanh một bàn 
tròn (Hai cách sắp xếp .được xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó).
Bài 14
Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy tính số các số tự nhiên
Có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi chữ số khác chữ số 1.
Có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi 24.
Có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 241.