Giải Toán 11: Vấn đề 3. Hàm số liên tục

Chứng minh răng phương trình
X5 - 3x - 7 = 0 luôn có nghiệm.	/ n X
cos2x = 2sinx - 2 có ít nhất hai nghiệm trong I _"g’K )■
7x:i + 6x + 1 -2 = 0 có nghiệm dương.
X2 -1 m2 , nếu X = 1
1-x (x-2)2 3	, nếu X = 2
7x -1
Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) =
liên tục trên (0; x).
Bài 4
Chứng minh rằng phương trình
X2 - 2	,
—	z=-,nêux*A/2	z v
X - 72	b) g(x) =
272	, nếu X = 72
a) f(x)
Bài 3
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của 'chúng:
r	r -
Bài 2
X -1	-
,	, neu X < 1
7'2 - X - 1
-2x	, nêu X > 1
b) g(x)
a) f(x) = 7x75 tại X = 1 tại X = 1.
Bài 1
Xét tính liên tục của các hàm sõ sau:
D. Bài tập đê nghị
X >+” 2x + X + 1
b) lim(x + l)
2x + 1
VẤN ĐỀ 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. Kiên thức cần nhớ
Hàm sô' liên tục tại một điểm
Định nghĩa
Giả sử hàm sô' f xác định trên khoảng (a; b) và x0 e (a; b). Hàm sô' f được gọi là liên tục tại điếm x0 nếu
lim f(x) = f(x„).
Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm XQ.
Hàm sô' liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Định nghĩa
Giả sử hàm sô' f xác định trên khoảng (a; b). Ta nói rằng hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm sô' f xác định trên đoạn [a; b.l được gọi là liên tục trên, đoạn [a; b| nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b).
a+	X->I.
Chú ý:
Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm sô' liên tục tại mọi điểm là những hàm sô' liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị cua mầu tại điểm đó phái khác 0).
Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định cùa chúng (tức là liên tục tại mọi điếm thuộc tập xác định của chúng).
Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí 1
Các hàm sô lượng giác y = sinx, y - cosx, y = tgx, y = cotgx liên tục trên tập xác định của chúng.
Tính chât của hàm sô’ liên tục
Định lí 2 (Định lí về giá trị trung gian của hàm sô liên tục}
Giả sử hàm sò' f liên tục trên đoạn ta; b|. Nếu f(a) fib) thì với mỗi sô' thụ'c M
nằm giữa Ra) và fib), tồn tại ít nhất một điểm c e (a; b) sao cho Rc) - M.
Hệ quả
Nêu hàm sô f liên tục trên đoạn [a; b| và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c G (a; b) sao cho f(c) = 0.
Bài 1
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Dùng định nghía xét tính liên tục của hàm số fix) = X3 + 2x - 1 tại
x0 - 3.
Giải
Kêt quả: fix) liên tục tại Xq = 3.
Bài 2
Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết
g(x) =
x-2 5 nếu X = 2
^;i-8 . „ nêu X 2
b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm sô' liên tục tại x0 = 2?
Giâi
b) 12
Kết quả
a) g(x) không liên tục tại x0 = 2
3x + 2 nếu X < -1
Cho hàm sô' f(x) =
Bài 3 ^x2 - 1 nếu X > -1
Vẽ đồ thị của hàm sô y - fix). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Giái
Kết quả
Hàm sô' y = fix) liên tục trên các khoáng -1) và (-1; +-<).
Học sinh clùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm đế chứng minh lại khẳng định trên.
Bài 4
< —	——-—	
Cho hàm sô f(x) = ——	— và g(x) = tanx + sinx.
x“ + X - 6
Với mồi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm sô' liên tục.
Giái
Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoáng (-x; -3), (-3; 2) và (2; +z).
Hàm số y = g(x) liên tục trên các khoảng "2 + 7T + với k e z.
Bài 5
Ý kiến sau đúng hay sai?
“Nếu hàm số y - f(x) liên tục tại điểm x0 còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì y - f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại xử.” Giải
Ý kiến đúng.
Giả sử ngược lại y = f(x) + g(x) liên tục tại Xg. Đặt h(x) = f(x) + g(x). Ta có g(x) = h(x) - f(x).
Vì y = h(x) và y = f(x) liên tục tại x0 nên hiệu của chúng là hàm số y = g(x) phải liên tục tại đó. Điều này trái với giả thiết y = g(x) không liên tục tại Xq.
Bài 6
Chứng minh rằng phương trình:
2x3 - 6x + 1 - 0 có ít nhất hai nghiệm;
cosx = X có nghiệm.
Giái
Tí
a) Áp dụng định lí về hàm số liên tục trên các khoảng: (0; 1) và (1; 2).
b) Hướng dẫn: Xét hàm sô f(x) = cosx - X trên R và hai sô' 0,
Bài 1
Chứng minh rằng: Các hàm sô điểm X e K.
b) Hàm sô f(x) =
c. Bài tập bổ sung
Chứng minh rang:	X3 -1
a) Các hàm số f(x) = X3 - X + 3 và g(x) = ——7 liên tục tại mọi X +1
với X # 2,
với X = 2
liên tục tại điểm X = 2.
X2 - 3x + 2
X - 2
1
x'3 - 1	..	1
c) Hàm sô f(x)
—	— với X*1	. ...
X —1	gián đoạn tại diêm X = 1.
2	với X = 1
Giái
Hàm sô f(x) = X3 - X + 3 xác định trên !R. Với mọi x0 e R, ta có lim f(x) = lim(x3 - X + 3) = X3 - X,, + 3 = f(x„).
Vậy f liên tục tại điểm X |. Do đó hàm số f liên tục tại mọi điểm của
Với mọi X 2, ta có
X' - 3x + 2 (x - l)(x -2)
1 (x) =	-7-	= —	—	 - X - 1.
X - 2	X - 2
Do đó lim f(x) = lim(x - 1) - 1 = f(2).
x->2	x->2
Vậy hàm sô f liên tục tại điểm X = 2.
Với mọi X 1, ta có
P, , _ x : - 1 _ (x - l)(x2 + X + 1)	2 , „ , -I
f(x) = —	- 	——	 = X + X + 1.
Vậy hàm số" f gián đoạn tại điểm X = 1.
Bài 2
Chứng minh rằng:
Hàm số f(x) = X4 - X2 + 2 liên tục trên ỊR;
Hàm số f(x) = ■■ .	liên tục trên khoảng (-1; 1);
Vl - X2
Hàm số f(x) = Vs - 2x2 liên tục trên đoạn [-2; 21.
	1	
Giải
Vì f(x) là hàm đa thức nên hiểri nhiên liên tục trên BL
Hàm số f xác định khi và chỉ khi
1 - X2 > 0 -1 < X < 1.
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1; 1).
Với mọi x0 e (-1; 1), ta có
lim f(x) = lim ,	= ■ ị ■ 1	= f(x„).
x^x0 _ x2 Ạ _ x2
Vậy hàm số f liên tục tại điểm XQ. Do đó f liên tục trên khoảng (-1; 1).
Hàm số f(x) = Vổ - 2x2 xác định trên đoạn [-2; 21.
Với mọi x0 6 (-2; 2), ta có
lim f(x) = Vỗ - 2x2 = f(x,j).
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2). Ngoài ra, ta có lim+ f(x) = Vs - 2.(—2 )2 = 0 = f(-2)
và lim f(x) = Vs - 2.22 = 0 = f(2).
x->2“	"
Do đó hàm sô’ f liên tục trên đoạn [-2; 21.
Bài 3
Chứng minh rằng các hàm só" sau dây liên tục trên tập xác định của chúng:
, X2 + 3x + 4	,	r	 r-	
a) f(x) - 1	 b) f(x) = Vl - X + V2 - X
2x +1 -
Giai
l]
ì - X > 0
■	 X < 1.
a) Tập xác định của hàm sô f là R \ I 2 I ■ Hàm phân thức hữu tỉ f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng
b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi
2 - X > 0
Do đó tập xác định của hàm sô' f là (- Với mọi x0 e (-co; 1), ta có
f(x0).
lim f(x) = lim ivi - X + ạ/2 - X) — Jl - x0 + J2 - x0 -
x->x0	X—>X0 \	/ V	¥
Vậy hàm sô' f liên tục trên khoảng (-x; 1). Ngoài ra
lim f(x) = lim(-7l - X + V2 - x) = 1 = f (1) x->r	x-»l“
Do đó hàm số f liên tục trên (-X- 1],
Bài 4
Chứng minh rằng phương trình:
X2COSX -f xsinx + 1 = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 7t).	
Giải
Hàm sô' f(x) - x2cosx + xsinx + 1 liên tục trên đoạn [0; 7i], f(0) = 1 > 0, f(ĩĩ) = 1 - 7I2 < 0. Vì f(0) và f( 1) trái dấu nên, theo Hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm sô' liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c 6 (0; tc) sao cho f(c) - 0. Sô' thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 5
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham sô' m:
(1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0
Giíii
Xét hàm sô' f(x) = (1 - m2)x5 - 3x - 1.
Vì f(0) - -1 0 nên f(-l).f(0) < 0 với mọi m. (1) f(x) là hàm đa thức, liên tục trên R.
Do đó, nó liên tục trên [-1; 0|.	(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0), nghĩa là phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.