Giải Toán 11: Vấn đề 5. Xác suất của biến cố
VẤN ĐỀ 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN cố A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa xác suất Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chi có một sô hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số ■ là xác suất của A 1 z , A n(íl) ’ biến cô A, kí hiệu P(A). n(Q) Chú ý P(A) = n(A) n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n(Q) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Tính châ't của xác suất Định lí Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, ta có định lí sau đây: ' a) P(0) = 0, P(Q) = 1 0 < P(A) < 1, với mọi biến cố A Nếu A và B xung khắc, thì P(A u B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất). Hệ quả Với mọi biến cố A, ta có P(Ã) = l-P(A). Các biến cô' độc lập, công thức nhân xác suâ't A và B là hai biến cố độc lặp khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B) B. Giải bài tập sách giáo khoa Bài 1 Z — 7 ~ 7 7 ”77 77 “ — ■ 7 77 ■ ' Gieo ngâu nhiên một con súc săc cân đôi và đông chât hai lân. Hãy mô tả không gian mẫu; Xác định các biến cố sau: A: “Tổng sô' chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”; B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”. Tính P(A), P(B). Q = j(i, j) I 1 < i, j < 61 A = í(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 5)1; B = 1(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)). P(A) = ^,P(B) = ịị Bài 2 _ _ - - ______— ._____- - . . Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngầu nhiên ba tấm. Hãy mô ta khung gian mẫu. Xác định các biến cô sau: A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”; B: “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”. Tính P(A), P(B). Giái Vì không phân biệt thứ tự và rút không hoàn lại nên không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 3 của 4 sô'. Vậy n(Q) = cj’ = 4. A = 1(1, 3, 4)1, n(A) = 1; B = 1(1, 2, 3), (2, 3, 4)1, n(B) = 2 0 P(A) = Ậ;P(B) = ^ = ị 4 4 2 Bài 3 Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi. Giải Vì một đôi giày có 2 chiếc khác nhau nên bốn đôi giày khác cỡ cho ta 8 chiếc giày khác nhau. Vì chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày tu bốn đôi giày (8 chiếc) nên mỗi lần chọn ta có kết quả là một tồ hợp chập 2 cùa 8 phần tử. Vậy không gian mẫu gồm n(Q) = Co = —7— = 28 phần tử. 216! Gọi B là biến cố: “Hai chiếc chọn được tạo thành một đôi”, ta có n(B) = 4. Vậy P(B) = n(B) n(Q) _4_ 28 Trả lời: Xác suất đế hai chiếc chọn được tạo thành một đôi từ bốn đôi giày cỡ khác nhau là . Bài 4 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng nhất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình X2 + bx + 2 — 0. Tính xác suất sao cho: Phương trình có nghiệm; Phương trình vô nghiệm; Phương trình có nghiệm nguyên. Giai Không gian mẫu có sáu kêt quá đồng khá năng: Q = 11, 2 61. n(íĩ) = 6 Kí hiệu A, B, c lần lượt là các biến cô tương ứng với các càu a), b), c). Ta thây phương trình bậc hai có nghiệm khi và chi khi \ = b2 - 8 > 0. Do đó, ta có: A = (b e Q i b2 - 8 > 01 = 13, 4, 5, 61, n(A) = 4. P(A) = ^^ = | = |. n(Q) 6 3 Vì B = Ã nên P(B) = P(Ã) = 1 - P(A) = 1-| _ n(C) - 1 3 C = f31, n(C) = 1, P(C> = ^ = | Vậy Bài 5 Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho: Cả bốn con đều là át; Được ít nhất một con át; Được hai con át và hai con K. : S Giải Không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 4 của 52 (con). Vậy n(O) = Cl2 = 270725 Kí hiệu A, B, c là các biến cố cần tính xác suất tương ứng với các câu a), b), c). Ta có n(A) = cl = 1,P(A) = « 0,0000037 i a co 4 n(Q) 270 725 Gọi B là biến cố: “Trong bốn con bài rút ra có ít nhất một con At” thì B là biến cố: “Trong bốn con bài rút ra không có con Át nào”. Vì n(Ẽ) = c,l8 = 194 580 nên P(B) = « 0,7187 và n(Q) 270725 P(B) = l-P(B) « 0,2813- n(C) = C:.C: = 36,P(C) = « 0,000133 ’ 11 n(Q) 270 725 Bài 6 Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngầu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho: Nam, nữ ngồi đối diện nhau; Nư ngồi đôi diện nhau. Giai Để xác định, ta đánh sô bốn ghê như hình 1. Không gian mẫu gồm các hoán vị của 4 người. Vậy n(fì) = 4! = 24. Kí hiệu A: “Nam, nữ ngồi đối diện nhau”, B: “Nữ ngồi đối diện nhau”. 1 2 4 3 Hình 1 hai cách. a) Đầu tiên xếp nam ngồi ở ghế (1) và ghế (2), có hai cách. Sau khi nam đã ngồi ở ghế (1) và ghế (2), xếp tiếp nữ vảo ghế (3) vả ghê (4), có Hoán vị chỗ ngồi của hai bạn đối diện cho nhau, có 2.2 cách. Vậy theo quy tắc nhân, ta có số cách là 2.2.2.2 = 16 (cách). Như vậy, n(A) = 16 và P(A) = = 77 = • n(Q) 24 3 b) Vì có 2 nam và 2 nữ xếp vào 4 ghế như hình 12 nên khi nữ ngồi đối diện nhau thì lập tức nam cũng ngồi đối diện nhau. Mặt khác, các cách xếp chỉ có thể là nam, nữ ngồi đối diện hoặc nữ đối diện nhau hoặc nam đối diện nhau, do đó trong trường hợp này B = A ■ Vậy P(B) = PÍA) = 1-P(A) = |. Bài 7 Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mồi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả. Kí hiệu A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhâ't trắng”; B là biến cố'. “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”. Xét xem A và B có độc lập không. Tính xác suâ't sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lây ra khác màu. Giải Đánh số các quả cầu trong mỗi hộp từ 1 đến 10 sao cho các quả cầu trắng trong hộp 1 được đánh số’ từ 1 đến 6 và các quả cầu trắng trong hộp thứ hai được đánh sô' từ 1 đến 4. Ta có: A = id, j)| 11 < i < 6; 1 < j < 101; B = i(i, j)|l < i < 10; 1 < j < 4} Từđó P(B) = 444 = 4 I 10.10 10. và AB = l(i, j) 11 < i < 6; 1 < j < 4) P(AB) = -14- = P(A).P(B) 10.10 Tư đó A và B độc lập. Kí hiệu biến cq_(7 “Lâ'y được hai quả cùng màu”. Ta có c = A.B A.B . Do hai biến cố AB, AB xung khắc và A, B là hai biến cố độc lập nên P(C) = P(AB) + P(ÃẼ) = P(A)P(B) + P(Ã)P(B) - 24 , 24 _ 48 _ 12 _ ĩõõ + ĩõõ - ĩõõ - 25 1 Do biến cố “Lấy được hai quá khác màu” là c nên xác suất cần tìm là — - 1213 P(C) = l-P(C) = 1-AL = 47. 25 25 c. Bài tập bổ sung Bài 1 _ _ Một vé xổ sô có 4 chữ số. Khi quay số, nếu vé bạn mua trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì. Bạn An mua một vé xổ số. Tính xác suất để An trúng giải nhất. Tính xác suất để An trúng giải nhì. Giải Số kết quả có thể là 104 = 10000 và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An. Do đó xác xuất trúng giải nhất của An là IQ QQQ - 0,0001. Giả sử số vé của An là abed • Các kết quả trùng với đúng ba chữ số của An là abet (t * d) hoặc abtd * c) hoặc atcd (t * b) hoặc tbcd (t * a). Vậy có9 + 9 + 9 + 9 = 36 kết quả ở đó vé của An trúng giải nhì. Do đó xác suất trúng giải nhì của An là - = 0,0036. 10000 Bài 2 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50. Mô tả không gian mẫu. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính xác suất của A. Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4. Giải Q = 11, 2..., 501 Qa = (2, 3, 5, ,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47). P(A) = ^ = 0,3 50 , 3 Gọi B là biến cố “Số được chọn nhỏ hơn 4”. Ta có P(B) - “ = 0,06. 50 Bài 3 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất đế: Sổ” được chọn là sô nguyên tố. Sô' được chọn chia hết cho 3. ' , Giâi Gọi A là biến cố “Số được chọn là sô' nguyên tô'”. Tập các sô' nguyên ...... . 4 tô nhỏ hơn 9 là {2, 3, 5, 71. Ta có P(A) = — = 0,5. 8 b) Gọi B là biến cô' “Số được chọn chia hết cho 3”. Tập các sô' nguyên dương chia hết cho 3 và nhỏ hơn 9 là 13; 61. Do đó P(B) = -^ = 0,25. Bài 4 Danh sách lớp cùa Hường đánh số từ 1 đến 30. Hường có sô thứ tự là Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất đế Hường được chọn. Tính xác suất đế Hường khòng được chọn. Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hường 1 được chọn. Giải ! Gọi A là biên cô “Hường được chọn”. Ta có P(A) = —- . — 29 30 P(A) = 1 - P(A) = II Gọi B là biến cố “Bạn có số thứ tự nhỏ hơn 12 được chọn”. Ta có P(B) = ——. 30 Bài 5 Chọn ngâu nhiên 5 người có tên trong một danh sách 20 người đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lờn hơn 10 (tính chính xác đến hàng phẫn nghìn). Giái Sô' trường hợp có thế là C'4 • Số trường hợp thuận lợi là số cách chọn 5 số trong tập il, 2,..., 10}. Do đó, số trường hợp thuận lợi là . Vậy xác suất cần tìm là