Giải Toán 11: Ôn tập chương IV

ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 1
Hay lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm sô.
Giili
Học sinh tự giải.
Bài 2
Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết |un - 2| < vn với n và lim vn = 0. Có kết luật gì về giới hạn của dãy sô' (un)?
Giai
Áp dụng quy tắc “kẹp” của dãy số suy ra lim Uu = 2.
Bài 3
Tên của một học sinh được mã hóa bởi sô 1530. Biết rằng mỗi chư số trong sô này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, o với:
H = lim(7n2 + 2n - n)
Vn - 2
3" - 5.4"
N = lim
0 = lim
3n + 7~	ỉ-4"
Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chù' số trên bời các chữ kỉ hiệu biếu thức tương ứng.
(hái
Tính giá trị của từng giới hạn, ta được: A = 3; H = 1, o = 5, N = 0. Vậy tên của học sinh đó là HOAN.
Bài 4
Có nhận xét gì về công bội của các cấp số lùi vô hạn?
Cho ví dụ về một cấp sô nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi câp số nhân đó.
(hái
Công bội q của câp số nhân lùi vô	hạn có trị tuyệt	đối nhỏ hơn 1.
*	Ví dụ về cấp số	nhân lùi vò hạn	có công bội q là	số âm:
1.1.	1	.	_	, Q _	U1 _ 2
1; - —	—	;•••	Tông cua cấp sô	nhân này: ồ -	1- q - 3
a) 2 d) -X
Bài 6
b) ? 1
e,Ế
c) -X
f) 0
* Học sinh tự cho ví dụ về cấp sô nhân lùi vô hạn có công bội q là số dương.
Cho hai hàm số f(x) =	ý— và g(x) = —	+-.
X'	X
Tính limf(x); limg(x); lim f(x) và lim g(x).
X—>0	X—>11	X--H-CO	X—>+03
Hai đường cong sau đây là đồ thị cùa hai hàm số đã cho. Tìi' kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mồi hàm số dó.
lim f(x) = +00 , lim(x) = +00 , lim f(x) = -1, lim g(x) = +00
x->0	X—>0	X—>+00	X-++O0
Đựờng cong thứ nhất là đồ thị của hàm sô y = g(x), đường cong thứ hai là đồ thị của hàm số y = f(x).
Bài 7
nếu X > 2
nếu X < 2
Xét tính liên tục trên K của hàm số 'x2 -x-2
g(x) =
Giai
Áp dụng định nghĩa hàm số liên tục tại một điếm, suy ra hàm số liên tục bên phải và bên trái tại điểm X = 2. Tù' đó suy ra hàm số liên tục trên K.
Bài 8
Chứng minh rằng phương trình X5 - 3x4 + 5x - 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5).
	ĩ	
Giâi
Hướng dãn: Xét dấu f(0), f(l), f(2), f(3).
Bài tập trắc nghiệm
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Ạ. Một	dãy sò có giới hạn	thì luôn luôn tăng	hoặc	luôn	luôn giam.
11	n2 + 1
Mệnh đề nào sau đày là mệnh đề đúng?
A. lim u = 0
B. limun =
c. lim un = 1
D . Daộ (un) không có giới hạn khi n -> +x.
Cho dãy số (un) với un = -72 + (72)' + ... + (72)". Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
1 /0
lim u = 72 + (72)" + ... + (72)n +... = ——7=
1-72
lim un = -X c. lim un - +x
D. Dãy sô' (un) không có giới hạn khi n -> +x.
..	-3x - 1
lim ———- bằng: x-»r X - 1
A. -1	B. -X	c. -3
Tìm phương án đúng.
1 - X2
Cho hàm sô' f(x) = -	.
14.
lim f(x) bằng:
X—>—co
A. +x	B. 1
Tìm phương án đúng. Cho hàm số
c.
D. -1
f(x) =
7x +1 m
nếu X * 3
L	nếu X = 3
Để hàm sô' f(x) liên tục tại X = 3 thì phải chọn m bằng bao nhiêu? A. 4	B. -1	’	c. 1	’	D. -4
15. Cho phương trình
-4x3 + 4x -1 - 0 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hàm sò f(x) = -4x3 + 4x - 1 liên tục trên ]R;
Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (-x; 1); c. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (-2; 0);
(1)
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoang —3; 7
Đáp án bài tập trắc nghiệm 9. B	10. B
12. D	13. A
ll.c 14. D
15. B
Câu 1. (2 điểm)
2n:' - 2n + 3
ĐỀ 1 (45 phút)
Tính lim-
1 - 4n:ì
Câu 2. ( 2 điểm)
Tính tống S = 9 + 3 + l + ...+	„ + ...
Câu 3. (2 điếm)
,	1- X" - 2x - 4
Tính lim	——	
X->.T . 3 - X Câu 4. (2 điểm)
3" +l-sin —
Tính lim —	—	2-.
3"
Câu 5. (2 điềm)
Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (-4; 0)? X3 + 3x2 _ 4x - 7 = 0.
ĐÁP ÁN
Câu 1. (2 điếm)
..	2n3 - 2n + 3	..
lim	= lim
1 - 4n
Câu 2. (2 điểm)
2-A 3
— 2	'3
n n
1-4
n'
Vì 9,3,1,...,	3 ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn, có công bội q - —
và 11! = 9, nên
S = 9 + 3 + l + ... + -“-77 +
3n-3
1-T
3
Câu 3. (2 điếm)
Ta có:	limíx’ - 2x - 4) = -1 < 0, lim(3 - x) = 0 ,
x->3-	\-»3“
và 3 - X > 0 với mọi X e (--x; 3).
,. X2 — 2x - 4 Do đó lim
3 - X
Câu 4. (2 điếm)
71
= —00.
Ta có
3n+l-sin— /, yi sin n= 1+4
3 J 3"
sin -
3"
và
3"
3"
(1)
Mặt khác, lim-4- = lim í 4 I =0, nên —• ..	3"	. 13 J	3
dương bât kì kề từ một số hạng nào đó trở đi.
có thể nhỏ hơn một sò’
sin ■
Từ (1) suy ra,
có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kề từ một số
. n
hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim
3” + 1 - sin —
Do đó lim	—	— = lim
3”
sin ■
= 0.
n sin -
1+ - -
3"
= 1.
Câu 5. (2 điếm)
fix) = X3 + 3x2 - 4x - 7 là hàm số đa thức nên liên tục trên R.
Mặt khác, f(O).f(-2) = (-7).5 < 0. Nên phương trình có nghiêm trong
khoảng (-2; 0) và do đó có nghiêm trong (-4; 0).
Câu 1. (3 điếm)
ĐỀ SỐ 2 ( 45 phút)
Cho hai day số có sô hạng tổng quát là un - —7 và Vn = -	
'	n	4n +1
Tính lim un và lim V .
7Ĩ
Dùng kết quả câu a, chứng minh rằng hàm sô f(x) = sin— không
có giới hạn khi X -> 0.
Câu 2. (4 điếm)
Tính các giới hạn sau:
b) lim (-5x3 + X2 - 2x + 1)
X—>-«
.. 3x + 5
lim ———
2x - 4
Câu 3. (2 điếm)
nếu X -2
f(x) =
Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: X" + 3x + 2
X + 2
3	nếu X = -2
Câu 4. (1 điếm)
Cho ví dụ về hàm sô y = f(x) thỏa mãn f(a).f(b) < 0, nhưng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoáng (a; b).
DẤI’ ÁN
Câu 1. (3 điếm)
a) lim u„ = lim —7 = 0, lim v„ = lim	= lim —- = 0
4n + l	4 + i
n
Hàm sô f(x) - sin— xác định trên R \ ÌO|.
X	' •
Ta có un, vn đều thuộc R \ {0} với mọi n và
.71	.	...
f(un) = sin—j— = sinn 7t = 0,
n':
X •	71	_ .	(4n + 1)71	(	 1