Giải Toán 11: Vấn đề 5. Đạo hàm cấp cao

VẤN ĐỂ 5: ĐẠO HÀM CẤP CAO
A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa
Đạo hàm cáp n (n 6 N, n > 2) của hàm số y = f(x), kí hiệu là f“’(x) (hay y(n))), là đạo hàm của đạo hàm cấp (n - 1) của hàm số f(x), tức là
fn,(x) = [p’-^x)]’
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Gia tốc tức thời tại thời điếm t0 (hay còn nói: gia tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyến động với phương trình s = s(t) là
y(t0) = s”(t0)
B. GLÌI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1	’	
Tìm đạo hàm câp hai của các hàm số sau tạo các diêm đã chi ra:
f(x) = (x + 10)6, f "(2)
f(x) = sin3x, f	f"(0), f’
Giái
Đáp số:
-9 ; f"(0) = 0 ; f"
9
2
622 080. “ '-(1
Bài 2
b)-y =-== Vi - X
d) y - cos2 X
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
y = 	
1 - X
y = tan X
Giai'
Đáp sô': a) y" =
c) y" =
(1 - x) 2sin X COS3 X
b) y" = ■
4^(1 - X)5 d) y" = -2cos2x
Bài 1
( Cho f(x) = (2x - 3)5. Tính f”(3).
c. BÀI TẬP
Giải
Ta có f(x) = 5.2 (2x - 3)4 = 10 (2x - 3)4 f’(x) = 80 (2x - 3)3 f”(x) = 2.240 (2x - 3)2 = 480 (2x - 3)
Từ đó f (3) = 480 (6 - 3)2 = 480 . 9 Vậy: f”(3) - 4320.
Bài 2
Tính y<ll), biết rằng y — 2 Z 7
	 x - 3x + 2	
Giâi
Ta có:	X2 - 3x + 2 = (x - l)(x - 2)
cho nên
Tù' đó
y =
y'"1
1
x-2
1
x^3x72
_1	
(x - l)(x - 2)
Ta tìm đạo hàm cấp n của hàm sô f(x) =
Ta có
x-2
x-2
(x - 2)'
^x - 2 < 1
(x - 2)a
-1.2.3
: (x-2)4
= (-l)k
kx — 2
Giả sử đã có	2 J -V (x-2)k+1
Lấy đạo hàm hai vế ta được
1 ỹ*"	. ..k.,k!((x-2>“)’
k!
(n)
x-2
= (-l)
= (-l)
(x-2)
2k+2
k+1 k!(k + l)(x-2) (x - 2)2k+2
= (-l)
k+1
(k + 1)!
(x - 2)k+2
Vậy
x-2
= (-1)"
n!
n+r
(x-2)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
(n)
= (-1)"
n!
Vậy đạo hàm cấp n của hàm sô' đằ cho là:
1 1
(x-1)
Bài 3
yn = (—1)" n!
(x-2)1
n+1
(x — 1)
Chứng minh rằng: (sinax)'"’ = a" sin^ax + (n è N )
(cosbx)1"' = bn cos^bx + n^(n 6 N ) Giải
Ta có (sin ax)' - a cos ax = a sin ^ax +
(sin ax)" = a2 cos ax + — = a2 sin ax + 2
2 I 2
Giả sứ đã có: (sin ax)'k’ = ak sin^ax + k I
Lấy đạo làm hai vế ta được:
(sin ax),k+" = ak+1 cos^ax + k J = ak+l sin ^ax + k
71
■+• — 2
ak+l sin
Vậy (sinax)" = a" sin (ax + n
ax + (k + 1)
(n e N's)
Chứng minh tương tự ta cũng được:
(cos bx)"'1 = bn cos I bx + n
(n £ N*)
X2 + X - 2
2
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1
Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y - sinõx cos2x.
Bài 2
Tính đạo hàm cấp n của hàm sô
2x + 1 y
Bài 3
Tính đạo hàm cấp n của hàm số x + 1
y = ^