Giải Toán 11: Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học

  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 1
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 2
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 3
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 4
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 5
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 6
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 7
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 8
  • Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học trang 9
CHƯƠNG 3: DÃY SỘ
CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
VẤN ĐỂ 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
A. Kiến thức cần nhớ
Đế chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) là một mệnh đề đúng với mọi sô’ nguyên n > p (p G N* cho trước) bằng phương pháp quy, nạp, cần thực hiện hai bước sau:
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.
Bước 2 (bước quy nạp). Với k là một số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p, xuất phát từ giả thiết A(n) là một mệnh đề đúng khi n = k, chứng minh A(n) cũng là một mệnh đề đúng k^ii n = k + 1.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Chứng minh rằng với n e N ta có các đẳng thức:
. o , c . o .	.	1 n(3n + 1)
2 + 5 + 8 + ... + 3n — 1 —	—
,1 2" -1 °’ 2	4	8	- 2n 2"
c)
"1 2 rv 2 ’. o 2	.	2
1” + 2 + 3 + ... + n
n(n + l)(2n + 1) ~6
(ỉiái
a) Bước 1: Khi n = 1, vê trái chi có một số hạng là 2, vế phải bằng 1.13.1+ 1)	„
Vậy hệ thức a) đúng.
Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k > 1, tức là
lr (	"4* lì
Sk = 2 4- 5 4- 8 4-... 4- 3k - 1 = ——— (giả thiết quy nạp).
Ta phái chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phài chứng minh:
o _ o o o .OI- 1 , ro/1	1	11 (k + l)[3(k 4- 1) + 1Ị
sk+1 = 2 + 3 + 8 + ... 4- 3k - 1 + [3(k + 1) — 1 ] =	'
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
= O,. 4- ÓK 4- z = 	 4 ỐK4-Z = 	—
2 2
_ 3(k2 + 2k 4-1) 4- k 4-1 (k 4- l)[3(k 4-1) 4-1] 2 - 2
G _ c , 91. , o _ k(3k 4-1)	3k" 4- k 4- 6k 4- 4
(đpcm)
Sk+1 = Sk 4- 3k 4- 2 =	V-— 4- 3k 4- 2 =
Vậy hệ thức a) đúng với mọi n e N*.
Với n = 1, hệ thức đúng.
Đật vê trái bằng Sn.
Giả sử có S,. =
= (k > 1).
2k+i
Ta phải chứng minh Sk+1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Sk+f - Su + ^ĨP+| — u ,	k+1
2k+1-2 + l 2k+l -1
2k -1
ỌK+l
Vậy hệ thức b) đúng với mọi n e N'. c) Hệ thức c) đúng với n = 1. Đặt vế trái bàng Sn. Giả sử đã có:
k(k 4- l)(2k 4- 1)
Sk =	—	 (k > 1)
D
Ta phái chứng minh
' _ (k + l)(k + 2)[2(k + l) + l|
Jk+I
(đpcm)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
G _ c /1- , 1|2 _ k(k + l)(2k + 1)	2
Sk+| — Sk 4- (k 4-1)" —	+ (k + 1)-
6
_ /1	1, k(2k 4-1) + 6(k 4-1)	2kJ 4- k 4- 6k 4- 6
= (k 4-1)V—= k + 1). —-——
6 6
_ (k + l)[2k(k + 2) + 3(k + 2)1 _ (k + l)(k + 2)[2(k + 1) + 1Ị
(dpcm)
Chứng minh rằng với n e N: ta có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4" + 15n - 1 chia hết cho 9;
c) n3 + lln chia hết cho 6.
	—
Vậy hệ tlìức c) đúng với mọi n e N”.
Bài 2
Giiíi
Đặt Sn - ri3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì Sj = 9 • 3.
Giả sử với k > 1 dã có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) : 3.
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 : 3.
Thật vậy: Sk+1 = (k + l)3 + 3(k + l)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 = k3 + 3k2'+5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3).
Theo gia thiết quy nạp thì Sk : 3, ngoài ra 3(k2 + 3k + 3) : 3 nèn S] Vậy Sn : 3 với mọi n 6 N*.
Đặt Sn = 4“ + 15n - 1.
Với n = 1, Sj = 41 + 15.1 - 1 = 18 : 9.
Giả sử với k > 1 thì s, = 4k + 15k - 1 chia hêt cho 9.
ỉ 3.
Ta phái chứng minh Sk+1 Thật vậy, ta có:
9.
sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) - 1 = 4(4k + 15k - 1) - 45k + 18 = 4Sk - 9(5k - 2)
Theo giá thiết quy nạp thì Sk : 9 nên 4Sk : 9, mặt khác 9(5k - 2) do đó s, . : 9.
do đó Sk+1 : 9.
Vậy s ị 9 với mọi n 6 N*. c) Đặt An - n3 + lln.
Với n = 1, ta co.Aj = l3 + 11 = 12 : 6. Giả sử với n = k > Ị đã có:
Ak = (k3 + llk) : 6 Ta phái chứng minh Ak+1 : 6.
Thật vậy, ta có:
Ak+1 —	(k + 1)’ +	ll(k + 1) — k3 + 3k2 + 3k +	1	+	llk + 11
=	(k'! + llk)	+ 3(k2 + k + 4) - Ak + 3(k2	+	k	+	4).
Vì Ak	•	9	và	kJ + k + 4	= k(k + 1) + 4 là sô chăn
Vậy	A	=	n3	+ lln chia	hết cho 6 với mọi n e N".
k(k + 1) + 4 là số chẵn nên Ak J
6.
Bài 3
Chứng minh với mọi số tự nhiên n > 2, ta có các bất đẳng thức: a) 3" > 3n + 1	b) 2,,+1 > 2n + 3
Giải
Dễ thấy bất đắng thức đúng với n = 2.
G iaũsoũbaẾ rĩaúg thoà nung VÔŨI n — k > 2, tức là 3k > 3k + 1	(1)
Nhân hai vế của (1) với 3, ta được
3k+1 > 9k + 3 o 3k+1 > 3k + 4 + 6k - 1.
Vì 6k - 1 > 0 nên
3k+l > 3k 4- 4 hay 3k+1 > 3(k 4- 1) 4- 1, tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n > 2.
Với n - 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7.
Vậy bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1, tức là
2k+1 > 2k + 3	(2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh:
2k+2 > 2(k + 1) + 3 « 2k+2 > 2k + 5 Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
2k+2 > 4k + 6 o 2k+2 > 2k + 5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1 > 0 nên 2k+2 > 2k + 5.
Vậy 2n+1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n > 2.
Bài 4
'	—	- ĩ ĩ	ĩ 7	—	'
Cho tông Sn --	- + ... 4—■	với n e N .
.7,7 7 1.2 2.3 n(n +1)
Tính Sp S2, S3
Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Giải
Tacó	S'=ĩ7 = l
s	v+l = f
2 1.2 2.3 3
s =- + — + — = - 12 + 2-3 + 3.4	4 ’
Từ câu a) ta dự đoán
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp.
„ 1 _ 1
Khi n - 1: &1 - — - 777 ■ Vậy đăng thức (1) đúng.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k > 1, tức là c _ 1 , 1 ,	,	1	_ k
1.2 2-3 lựk + 1) k + 1.
Ta phải chúng minh nó cũng đúng khi n = k 4- 1, nghĩa là phải chúng minh
Sr+1 -
Ta CÓ
1	k .	1
+ ■
'k J (k + l)(k + 2) k + 1 (k + l)(k + 2) k'+2k + l _ k + 1 ~ (k + l)(k + 2) " k + 2
tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Bài 5
Chứng minh số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
n(n - 3)
i)l + 2 + ... + n
Giải
Với n = 4, ta có tứ giác.
Thay n = 4 vào công thức,ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là
Vậy khẳng định là đúng với n - 4.
Giả sử đa giác lồi k cạnh (k > 4) có sô' đường chéo k(k - 3)
là 	ị	 (giá thiẽt quy nạp).
Xét đa giác lồi k + 1 cạnh.
Ta phải chứng minh công thức đúng với k + 1, nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi k + 1 cạnh có số đường chéo là
(k + l)[(k + 1) - 3]
2	k(k — 3)
Nối A1 và Ak, ta được đa giác k cạnh AjA^.Aj. có —	 đường chéo
(giả thiết quy nạp).	'	2
Nối Ak+1 với các đỉnh A2, A3,...,Ak_p ta được thêm k - 2 đường chéo, ngoài ra AjAj. cũng là một đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là
k(k - 3)
+ k-2 + 1 =
k2 - k-2 _ (k + l)[(k + 1) - 31
2 2 2 Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Vậy bài toán đã được chúng minh.
Bài 1
c. Bài tập bổ sung
Chứng minh rằng với mọi sô nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức sau:
n(n + 1)
b) 1“ + 2“ + ... + n' —
n(n + l)(2n + 1)
l2 + 32 + ...+ (2n-l)2 =
n(4n2 -1)
Giâi
l + 2 + 3 + ... + n =
n(n +1)
(1)
Ta sẽ chứng minh
với mọi số nguyên dương n, bằng phương pháp quy nạp.
, , 1.(1+ 1)
Với n = 1, ta có 1 =	. Như vậy, (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n - k, k e N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, tư giả thiết quy nạp ta có
1,0,0,	1.	/1,	11 _ k(k + 1)	/1	-11 _ (k + l)(k + 2)
+ 2 + 3 + ... + k + (k + 1) —	—	h (k + 1) —	—	.
2
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
12 . o2 .	. „2 n(n + l)(2n + l)
1 + 2 + ... + n =	 (1)
6
với mọi n > 1.
Với n = 1, ta có 1 =	. Như thế, (1) đúng khi n = 1.
, 6
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k, k e N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
-2 , o2 ,	1,2	/1	1 \2 _ k(k + l)(2k + 1)	.,	2
1 + 2 + ... + k + (k + 1) =	-7	+ (k + 1)
6
_ (k + l)(2k2 + k + 6k + 6) _ (k + l)[2k(k + 2) + 3(k + 2)1
(k + l)(k + 2)(2k + 3)
6
Tư các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n > 1.
Ta sẽ chứng minh
,2	„2	. zo 1,2	n(4n2 -1)
1 +3 + ... + (2n - 1) =	 (1)
với mọi sô’ nguyên dương h, bằng phương pháp quy nạp.
.12	1	1.(4.12 -1)	, .
Với n - 1, ta có 1=1 =	—	, chứng tó (1) đúng khi n = 1.
Giả sứ (1) đúng khi n = k, k e N', ta sẽ chứng minh nó cũng dũng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giá thiết quy nạp ta có
l2 +32 + ;.. + (2k -l)2 +[2(k + l)-l|2 = k(4k ~1>+(2k + l)2 3
4k3 + 12k- + Ilk + 3 4k'J(k + 1) + 8k(k 4-1) 4- 3(k + 1)
3	"	3
_ (k + l)[4(k2 + 2k + l)-l] _ (k + l)[4(k + l)2 -11
7	,3,	7.1.	.3	,
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi sô nguyên dương n.
Bài 2	
Chííng minh rằng với mọi số nguyên dương n; ta luôn có bất đẳng thức .
	72 7n	
Giải
Ta sẽ chứng minh
14—7= 4-... 4—7= < 2 Trĩ	(1)
72 7n
với mọi n G FT, bằng phương pháp quy nạp.
Với n - 1, ta có 1 < 27Ĩ ■ Như vậy, (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k e FT, ta sẽ chứng minh nó cùng đúng khi
n = k 4- 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
1.1.	,1,	1	Q FT	1
1 + —= + ... 4—— 4—.....	< 27k 4—7--==.	(2)
72 7k 7k + l	7k + l 1 '
Lại có
27k
4-
7k 4-1
= 4k 4-
47k	1
7k 4-1 k 4-1
< 4(k 4-1).
Suy ra
27k 4—7-	< 27k 4-1.	/0,
7k + l '	(3)
Từ (2) và (3) ta được điều cần chứng minh.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương'n. Bài 3
Cho số thực X * k2ĩt, k s z. Chứng minh rằng
. nx . (n 4- l)x sin . .sin
•	•	_	.	9	9
sin X 4- sin 2x 4-... 4- sin nx =	
. X sin -
với mọi sò', nguyên dương n.	"	
Giai
Ta sẽ chứng minh
. nx . (n4-l)x sin ~ .sin
sin X 4-sin 2x 4-... 4-sin nx =	-	
. X	'1'
sin ’
2
với mọi n e FT, bằng phương pháp quy nạp.
Dễ thấy (1) đúng khi n = 1.
Giả sú' (1) đúng khi n - k, k e N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
. kx . (k + l)x sin V sin
ọ	9
sin X + sin 2x +... + sin kx + sin(k + l)x =	-	+ sin(k + l)x
■ X
sin "
2
sin(k + l)x
2 f • kx	(k + l)x x>
. x l 2	2	2
sin _
2
(k + l)x
sm 2	r_:_ kx ._ (k + 2)x kx'i
2 2
. X sin ’
2
Từ các chứng minh trên suy ra, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 4
Với mỗi sô nguyên dương n, đặt un = 5 . 23n~2 + 33u_1. Chứng minh
rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 19.	
Giải
Ta sẽ chứng minh
un : 19,	(1)
với mọi số nguyên dương n, bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1, ta có
Uj = 5.231-2 + 331’1 = 10 + 9 = 19.
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k e N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, ta có
uk+1 - 5.23(k+1’ - 2 + 33(k+l’-1 = 8.5.23k_2 + 27.33k_l = 8(5.23k_2 + 33k_1) + 19.33k’1 = 8.uk + 19.33k"1	(2)
Vì uk '■ 19 (theo giá thiết quy nạp), nên từ (2) ta được điều cần chứng minh.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi sô nguyên dương n.
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 2, ta có các bất đẳng thức:
3
3“ > 3n + 1	b) 2n - n >
Bài 2
————— với n G N . n(n +1)
và chứng minh bằng quy nạp.
Cho tống Sn = --- +	+ ... +
12	2 3
Tính Sp S2, Sg.
Dự đoán công thức tính Sn
Bài 3
Chứng minh rằng tổng số đo các góc của đa giác lồi n cạnh (n > 4) là 2(n - 2) vuông.