Giải Toán 11: Vấn đề 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
VẤN ĐỀ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A. Kiến thức cần nhớ
asin2u = bsinu + c = 0 (a 0) acos2u + bcosu + c = 0 (a * 0) atan2u + btanu = c = 0 (a * 0) acot2u + bcotu + c = 0 (a * 0)
Cách giải:
Đặt t = sinu hay t = cosu với |t| < 1.
" ... , 71 , 1— t = tanu (điều kiện u — + kn)
t = cotu (điều kiện u + krc)
Các phương trình trên thành: at2 + bt + c = 0
Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t.
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u.
Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
asinu + bcosu = c (*) (a, b e R \ Ị0Í)
thì: (*) sinucosa + cosusina
. , . ... c
sin(u + a) -
|c| o
Phương trình (*) có nghiệm — 1 < ] L y a2 + b2
Va2 + b2
Phương trình thuần nhất bộc hai đôi với sinu và cosu
asin2u + bsinucosu + CCOS2U = d
Cách giải:
- Tìm nghiệm u - — + 1<7Ĩ (lúc đó cosu = 0 và sinu = ±1).
- Chia hai vế phương trình cho cos2u + 0 ta được phương trình: atg2u + btgu + C = d(l + tg2u)
Đặt t = tanu ta có phương trình:
(a - d)t2 + bt + c- d = o
Giải phương trình tìm được t = tanu.
Phương trình đối xứng theo sinx và cosx
Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện |t| < V2.
Từ t = ạ/2 sin(x + —) giải phương trình này ta tìm được x.
4
B. Giải bài tập sách giáo khoá
Bài 1
Giải
sin X = 0 sinx = 1
X = kĩt
X - — + k2ĩt 2
[ Giải phương trình: sin2x - sinx = 0
sinxfsin X -1)
Bài 2
Giải các phương trình sau:
2cos2x - 3cosx + 1 = 0 b) 2sin2x + V2 sin4x = 0
—
Giái
a)- 2 cos2 X - 3cosx + ! = ()
cos X = 1
1 «
cos X = —
X = k2n
X = ±— + k27i
3
b) 2sin2x + V2 sin4x = 0 2sin2x(l + v/2 COS2x) = 0
sin 2x = 0
X = k —
2
cos 2x = -
Giá
i các phương trình sau:
a)
sin 2 COS— + 2 = 0
2 2
b)
8cos2x + 2sinx -7=0
c)
2 tan2 X + 3 tan X + 1 = 0
d)
tanx - 2cotx +1=0
(
>iai
. 9 X X
9 X
X
a)
sin 2cos— + 2 = 0 COS — + 2 COS 3 = 0
2 2
2
2
X
cos— = 1
Bài 3
371 .
X = ±—— + K71 8
2
cos— = -3 2
b) X = -7- + k27t, X - — + k27i
Đáp số: X - Ìỉ4ĩĩ
X = arcsin
Bài 4
+ k2x, X = 7Ĩ - arcsin
Giải các phương trình sau:
2sin2x + sinx cosx - 3cos2 = 0
3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2
sin2 X + sin 2x - 2 COS2 X - —
_ 2
2 COS2 X - 373 sin 2x - 4 sin2 X =
Giái
-4
-7 + k2n
a) Ta thấy những giá trị cùa X mà cosx = 0 không nghiệm đúng phương
trình. Chia hai vế phương trình cho COS2X * 0, ta được phương trình
2tan2x + tanx -3 = 0
Đán sô: X = —•- 1<7I, X = arctan + l<7t
4 < 2j
71
b) X = — + krt, X - arctan 3 + k7ĩ 4
X = — + k7t, X = arctan(-5) + kTi
4
2 COS2 X - eTÕ sin Xcos X - 4sin2x + 4 = 0
6cos2 X - 673 sin xcos X = 0
IS
COS X = 0
cos X
77 sin X = 0
X = — + kft
2
tan X
77
X = — + kft 2
X = — + lift 6
Giai các phương trình sau:
id cosx - 77sinx = 77
b) 3sin3x - 4cos3x = 5
c) 2 sin X + 2 cos X - 77 = 0
d) Õcos2x + 12sin2x - 13 = 0
Bài 5
Giải
X = — + k2ft
12
7ft ,
X = + k2ft
12
5 ■ 9 .
a ft 2ft 7 4
X = — + — + k——, keZ (vui COS a - —• sin a = —) 3 6X 3 7 5
ft^l /7- ( ft^l 1
= V2 cos
c) 272 cos X - — I 4y
2cos^x + -7.^ = 77 <
—sin 3x - — cos3x - 1 sin(3x - a) = sin — 3x = a + — + k2ft
<x”2'=7ft Đáp số: X = + k2ft, X = --7- + k2ft
5 , 12 . , 12 vi
d) ~--cos2x + 77sin2x = 1 sin(2x + a) = lo2x + a= — + k2ft
13 13 - 2
7t a , z ,, . 5 “ 12
X = — + kft (voi sin a - —; cos a - ——)
42 13 13
Bài 6
Giái các phương trình sau: a) tan(2x + l)tan(3x - 1) = 1
( 71'ì 1
b) tan X + tan X H— =1
I 4/ J
Giải
ft , ft -
Đáp sôl X = —— + k —, k e z
10 5
tan X + 1 2
tan X + = 1 tan X - 3 tan X = 0
1 - tan X „. _
Đáp sỏ: X = /ỉTT. lỉ e z, .V = arctaiì3 + kĩĩ, k e £
Giái phương trình:
2 cos 2x + 2 cos X - 77 = 0
Bài 1
c. Bài tập bổ sung
Giiíi
2 COS 2x + 2cos X - 72 = 0 2(2COS' X - 1) + 2COSX - 72 = 0 ^2
4 COS2X + 2 cos X - (2 + 72) = 0
72
cos X -
cosx = --
1 + 72
cosx -
~ 71 _ , 71 l.o_
cos X — COS — X = ± — + k27I A /1
, , 1 + 72 „ , . _
Phương trình cosx = — vô nghiệm VI
1 +V2
> 1.
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm X = ±—I- k27t. „. . ' 4
Bài 2
Giải phương trình:
73 sin X - cos X = 1 (1)
Giải
Ta có 7(73 )2 + l2 = 2. Chia hai vế của (1) cho 2, ta được:
kt . 1_ 1
(1) ——sin X-—cosx = —
■ /V 2 2. 2
^73 7C 1 • 7Ĩ ~ , ... . .
Do —— = cos— và — - sin— nên phương trình trên có thè viêt là
2 6 2 6 " “
7t . .71 1, . [ 71 I . 71
COS —sinx - sin —cosx = — hay sin X -— = sin— nn ươ
6 6 2 l 6 J 6
7t Tĩ
x-2 = l + k27i 6 6
7t , „
X = — + k27i
3
X = 71 + k27ĩ
71 5n . l_r>_
X - -7 = —- + 1<271 6 6
TC
Kết luận: Phương trình (1) có các nghiệm X = — + k27i và X = 71 + k27ĩ.
Bài 3
Sử dụng công thức biến đổi tồng thành tích hoặc thành tống đế giải các phương trình sau:
a) cosxcosõx = cos2xcos4x b) cos5xsin4x = cos3xsin2x
c) sin2x + sin4x - sin6x d) sinx + sin2x = cosx + cos2x
Giai
a) cosxcosõx = cos2xcos4x cos6x + cos4x = cos6x + cos2x X = líTt
cos4x = cos2x
4x = 2x + k27i 4x = -2x + k27ĩ
X = k — và X = — + k —
' 2 14 7 ~ .
sin2x + sin4x = sin6x 2sin3xcosx = 2sin3xcos3x
sin3x(cosX - COS 3x) = 0
Chú ý:
sin 3x = 0 cos X = cos 3x
•»
„ _ 1-71 X = k —
3
X = krc
X = k — 2
Kết quả trên có the viết gọn thành hai họ nghiệm X = k — và X = k--.
„ _ _ , , ~ X „ _ n , , 271 2 3
d) X = 71 + k27i và X = — + k —
6 3
Bài 4
Dùng công thức hạ bậc đế giải các phương trình sau:
sin24x + sin23x = sin22x + sin2x
cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
Giải
a) sin24x + sin23x - sin22x + sin2x
4(1 - COS 8x) + 4(1 - COS 6x) = — (1 - cos4x) + 4(1 - cos2x) 2? ~ 2 , ‘2 2
cosSx + cos6x = cos4x + cos2x cosĩxcosx = cos3xcosx COS X = 0
cos7x = cos3x
7C
2
2
7Ĩ . K_ — + k7ĩ
x = k-
rx=kD
Có thế’ thu gọn thành
2
x-k-
V
L‘ 5)
7Ĩ
+ kTt
7Ĩ 7Ĩ 7Ĩ 71
b) X = — + k —, X = — + k— và X =
10 5 4 2
Bài 5
Giải các phương trình sau:
a) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
sinx + sin2x + sỉnSx = c
sin x = V2 sin 5x - cos X 1.1 2
—• rv * TÃ — —• 4
sin 2x cos 2x sin 4x
d) sin X + cos X =
cos 2x
1 - sin 2x
(hái
a) Ta biến đổi vế trái như sau:
(sinx + sin3x) + sin2x = 2sin2xcosx + sin2x = sin2x(2cosx + 1) Tương tự, cosx + cos2x + cos3x = cos2x(2cosx + 1). Đo đó
sinx + sin2x + sin3x - cosx + cos2x + cos3x
sin2x(2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1) ■>
. (sin2x - cos2x)(2cosx + 1) = 0
Vậy ta phải giai hai phương trình:
71 K
sin2x - cos2x = 0 X - — + k —-
8, 2
1 . . - , 2* .
2cosx + 1 = 0 « cos X = -- X = ± — + 1í2tĩ Kết luận:
71 71 2tĩ
Phương trình có các nghiệm là X = — + k — và X = ±—- + k27t
O 2 2
b) sin X = 72 sin 5x - COS X 4= sin X + -4= COS X = sin 5x V2 72
. ( 71^
sin I X + - I = sin 5x o
5x = X + — + k27t
71 . 71
X = — + k — 16 2
5x = — - X + 1<2tĩ 4
c) ĐKXĐ: sin4x 0 (điều kiện này đã bao gồm sin2x i 0 và cos2x * 0). Với điều kiện đó, ta có thê nhàn hai vế của phương trình với sin4x:
1.1 2 . . 1 . 1 1
1 — —- — 1 — —-
sin2x cos2x sin4x sin2x cos2x sin2xcos2x
2x = k27i
71
sin —
4 2x = -^ + k27i 2
Ta thấy ngay: Nếu 2x = k27t thì sin2x - 0; nếu 2x = 11 + 1{2ti thì cos2x = 0,
đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
cl) ĐKXĐ: sin2x Ị 1. Với điều kiện đó, ta có
cos 2x . cos” x - sin” X
sin X + cos X = ———•— sin X + cos X =
■i=> sin2x + cos2x = 1 o sin 2x +
l-sin2x (cosx-sinx)2
cv (sin X + cos x) I 1 —;
cos X - sin X
71 .
sinx + cosx = 0 X - - — + kTĩ 4
cos X - sin X
= 1 cosx - sinx = 1 <
X - k27i
71 , 1.0, X = - — + k 2 71
9
Dề thấy các giá trị tìm được cua àn đều thoa mãn ĐKXD (để kiêm tra, chú ý rằng do 1 - sin2x - (cosx sinxl2 nên.diều kiện sin2x í- 1 tilling đương với điều kiện co.sx - sinx - 0). Vậy phương trình dã cho có các nghiệm là
71 „ 7Ĩ
X = k27t, X = - — r ktĩ và X = - — + 1v2ti 1 2
■)
Bài 6
sau
Dùng công thức biến dổi tổng thành tích đê giài các phương trình
sinxsinĩx = sin3xsin5x
sin5xcos3x = sin9xcos7x
cosxcosSx - sin2xsin6x - sin4xsin6x = 0
(iiiii kĩt 4_
Hướng cM/ỉ:
sin xsin 7x = (cos 6x - COS 8x) và sin 3xsin 5x = p-(cos 2x - COS 8x) 2 2 Chú ý thu gọn hai họ nghiệm thành cột.
b) X
a) X
sindxsinõx + sin4xsin3x - sin'2xsinx - 0 .
kn _ 71 kĩi
4 jx = 24 12
Hướng dẫn:
"in 2x)
sin 5x COS 3x = ị (sin 8x + sin 2x) và sin 9x cos7x = Ậ(sin 16" - 2 2 7t , 7Ĩ k7t
X = — + k7t;x = — + ——
’ 2 18 9
Hướng dẫn:
cos xcos 3x = — (cos4x + cos 2x),sin 2xsin 6x = Ậ(cos4x - COS 8x) 2 2
và sin 4xsin 6x = i(cos 2x - cos lOx)
k7i k7i , ,
X = ——; x = ; x = ± — + kTt
2 5 3
Hướng dẫn: Biến đồi phương trình đã cho như sau:
sin4xsin5x + sin4xsin3x - sin2xsinx - 0
sin 4xsin 5x + i(cos X - cos7x + COS 3x - COS x) = 0
sin4xsin5x + sin5xsin2x = 0 sinõx(sin4x + sin2x) = 0
Bài 7
Tìm X e [0, 141 nghiệm đúng phương trình . Cơs3x - 4cos2x + 3cosx -4-0 (*)
Giiii
Ta có (*) (4cos:ix - 3cosx) - 4(2cos2x - 1) + 3cosx -4 = 0 4cos:ix - 8cos2x = 0 4cos2x(cosx - 2) - 0
cos X = 0
o> cos x = 2 (loại vì ịcosxị < 1)
o X = — + kx (k e Z)
Ta có: X e ro, 14] 0 < — + kn < 14
7t' , , , . K
- „ ắ k7i < 14 - 77 2 2
-0,5 = < k < - 3,9
Mà k e z nên k 6 10, 1, 2, 3Ì
_ ,, f 7Ĩ 3tc 5tc 7tc
Do đó: X e < —,
2 ’ 2 ’ 2
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Giải các phương trình:
a) sin2 77-2 COS 77 + 2 = 0
2 2
c) 2sin2x + 5cosx +1=0
Bài 2
Giải các phương trình:
2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0
3sin22x - 4sin2xcos2x + 5cos22x = 2
sin2 X + sin 2x - 2 COS2 X = 77
__ 2
2 COS2 X - 3a/3 sin 2x - 4 sin2 X = -4
Bài 3
Giải các phương trình: a) cos x - V3 sin X = V2 c) 2 sin X + 2 COS X - V2 = 0
Bài 4
Giải các phương trình: a) sin9x - Cơs6x = sin3x c) cos3xsin2x = cos5xsin4x
Bài 5
Giải các phương trình: tan 2x tan X 5
b) 8cos2x + 2sinx -7=0 d) 30cos23x - 29sin3x - 23 = 0
b) 3cos3x - 4cos3x = 5 d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0
b) cos3x + cosõx + cos7x = 0 d) sin6xsin2x = sinl3xsin9x
a)
tan X tan 2x 2 c) tanx + tan2x - tan3x = 0
Bài 6
Giải các phương trình: a) (sin X + COS x)2 = -^ + COS2 X c) V3 sin X - COS X = 5
b) sin1 X + cos'1 X
d) tanx + cot2x = 2cot4x
b) 5cos2x - 12sin2x = 13 d) 2sin2x - 3sinxcosx + 5cos2x = 1
Bài 7
Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau luôn có nghiệm: msin2x - (2m + Dsinxcosx + (m + l)cos2x = 0