Giải Toán 11: Vấn đề 2. Qui tắc tính đạo hàm
VẤN ĐỀ 2: QUY TAC tính đạo hàm A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ Đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương các hàm sô’ Đạo hàm của tổng và hiệu các hàm số ĐỊNH LÍ 1 Nếu các hàm số u = u(x) và V = v(x) có đạo hàm trên J thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên J và (u + V)’ = u’ + v’, (u - v)’ - u’ - v’. Đạo hàm của tích các hàm số ĐỊNH LÍ 2 Nếu các hàm sô’ u = u(x) và V = v(x) có đạo hàm trên J thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên J và (uv)’ = u’v + uv’ Đặc biệt, nếu k là hằng sô’ thì (ku)’ - ku’. Đạo hàm của thương hai hàm sô’ Ta có thể chứng minh được định lí sau: ĐỊNH LÍ 3 Nếu các hàm sô’ u = u(x), V = v(x) có đạo hàm trên J và v(x) 0 trên J u ' f uỴ u' V - uv' Đạo hàm của hàm sô hợp ĐỊNH LÍ 4 Nê’u hảm số u = g(x) có dạo hàm tại X là u và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yu thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại X là ys = yu-ux B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KIIOA Bài 1 X4 2x3 4x2 , c) y = - —+ — 1 2 3 5 d) y = 3x5(8-3x2) (ìiâi Ap dụng định nghĩa đạo hàm của một tổng, một tích, ta được kết quả a) 5x4 - 12x2 + 2 b) -2x3 + 2x- — q 9 9 8 c) 2x3 - 2x2 + — X 5 ơ d) -63x6 + 120x4 Bài 3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (x7 - 5x2)3 2x c) y = “ X -1 • b) y = (x2 + 1X5 - 3x2) 3-5x d) y - 9 X - X + 1 (ỉiải Áp dụng định nghĩa đạo hàm của một tích, một thương, ta được kết quả: a) 3x5(x5 - 5)2(7xõ - 10) b) -4x(3x2 - 1) , -2(x2 +1) c) 9 9 (X2 -1)2 6n c n f e) m + —7 X < X 7 Bài 4 - 5x2 - 6x - 2 d) -7 7 (x2 - X + l)2 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y - X2 - xVx + 1 C)v- x . ' y /9 9 , (a là hăng sô) Va - X b) y = -Ự2 - 5x - X2 J 1 + x d) y = r—— Vl - X (ìiái Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, ta được kết quả q a) 2x - — Vx 2 x2(3a2 - 2x2) c) =- -ự(a2 - X2)3 u \ 5 b) —_ 2V2-5X-X2 , 3 - X d)— 2Ví 1 - X)3 Bài 5 Cho y = X'3 - 3x2 + 2. Tìm X để: a) y’ > 0 b) y’ < 3 Giiíi Tính đạo hàm, sau đỏ giai các bất phương trình tương ứng: Kết quá: a) X 2 b)l-V2<x<l + V2 c. BÀI TẬP BỔ SI NG Bài 1 Tìm đạo hàm của hàm số y = -X2 + 2x + 3 X3 -2 Giai Ap dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương, ta được , (-X2 + 2x + 3)'(x3 - 2) - (-X2 + 2x + 3)(x3 - 2)' y= (x3-2)2 _ (-2x + 2)(x3 - 2) - (-X2 + 2x + 3).3x2 (x3 - 2)2 . (x3 - 2)2 -2x4 + 2x3 + 4x - 4 - (-3x4 + 6x3 + 9x2) Vậy: y’.= Bài 2 X - 4x3 - 9x2 + 4x - 4 (x3 -2)2 Tìm đạo hàm của hàm số y = (x - 2)7x2 + 1 (ìiiii y = (x - 2)' 7x2 + 1 + (x - 2) ^7x2 + 1j = 7x2 + 1 p, - , / 2 -7 . x(x - 2) _ 2x2 - 2x + 1 Vx2 + 1 Vx2 + 1 (x-2)(x2 +D' 2V? Giái phương trình f(x) = 0, biết ràng „ 2 - 2x + X2 f(x)=— X2 -1 Với những giá trị nào cua X thì f(xJ < 0? Suy ra: y' = Vx2 + 1 + Bài 3 Giái (2x - 2)(x2 - 1) - 2xfx2 - 2x + 2) (x2-l)2 2x3 - 2x2 - 2x + 2 - 2x3 + 4x2 - 4x Ta có: f'(x) = 2x2 - 6x + 2 (X2 -l)2 f ’(x) = 0 (x2 - l)2 X2 - 3x + 1 - 0 X * ±1 Giài phương trình X2 - 3x + 1 = 0, ta được X = điều kiện X * ±1) -3 ± Vo (thỏa mãn Vậy nghiệm cùa phương trình f(0) = 0 là -3 ±75 X = -3-# -3 + 75 Với X thóa mãn điều kiện — —— < X < —-—, X 5* -1 thì f'(x) < 0 2 2 D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Cho f(x) = X5 + X3 - 2x - 3. Chứng minh rằng f(l) + f(-l) = -4f(0) Bài 2 Cho f(x) = 2x3 + X - 72, g(x.) - 3x2 + X + 72 Giải bất phương trình f(x) > g’(x). Bài 3 Cho f(x) = 2x3 - X2 + 73, g(x) = X3 +^-- 73 Giải bất phương trình f(x) > g’(x) Bài 4 , . . . , , (x-2)(8-x) Tính cp’(2), biết rằng ọ(x) = X Bài 5 Chứng minh rằng nếu V là thế tích hình cầu bán kính R thì V(R) là diện tích mặt cầu đó.